Ανισότητες!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$ με $\displaystyle{\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1}$ ,
αποδείξτε ότι

$\displaystyle{a+b+c\geq ab+bc+ca.}$

Tsiri · #2

Μια προσπάθεια (παρακαλώ πείτε μου αν κάνω λάθος στις υποθέσεις):

Έστω ότι a > 1,b > 1,c > 1

. Τότε οδηγούμαστε σε άτοπο αφού:
$1 \le\sum{\frac{1}{{1 + a + b}}} < \sum{\frac{1}{3}} = 1$

Άρα, για ένα τουλάχιστον από τα a,b,c

ισχύει (ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας για το α) ότι: $1 \ge a$
Μπορώ όμως ακόμα να υποθέσω ότι $a \ge b \ge c$ , επειδή οι παραστάσεις είναι συμμετρικές. Αυτό σημαίνει ότι $1 \ge a \ge b \ge c$ . Άρα:
$ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2 \le a + b + c$
αφού $1 \ge a \Leftrightarrow a \ge a^2$

Ισότητα ισχύει για a = b = c = 1

#3

Tsiri έγραψε:Μια προσπάθεια (παρακαλώ πείτε μου αν κάνω λάθος στις υποθέσεις):

......
Άρα, για ένα τουλάχιστον από τα ισχύει (ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας για το α) ότι: $1 \ge a$
Μπορώ όμως ακόμα να υποθέσω ότι $a \ge b \ge c$ , επειδή οι παραστάσεις είναι συμμετρικές. Αυτό σημαίνει ότι $1 \ge a \ge b \ge c$ .

Δε μπορείς να υποθέσεις ότι $a\leq 1$ και $c\leq b\leq a$ .

Μπορείς να υποθέσεις μόνο ένα από τα δύο, όχι όμως και τα δυο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ksofsa · #4

Από την ανισότητα Cauchy-Schwartz παίρνουμε
$(1+a+b)(c^2+a+b)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow \frac{1}{1+a+b}\leq \frac{c^2+a+b}{(a+b+c)^2}$

Οπότε:
$1\leq \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}{(a+b+c)^2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$

Μήπως μου ξεφεύγει κάτι;

Nick1990 · #5

Πολύ καλή η λύση του ksofsa.

Έχω μια διαφορετική:

Λόγο συμμετρίας υποθέτουμε πως
$a \geq b \geq c$

τότε έχουμε:
$\frac{1}{b+c+1} \geq \frac{1}{a+c+1} \geq \frac{1}{b+a+1}$

και

$a(b + c + 1) \geq b(c + a + 1) \geq c(a + b + 1)$

οπότε η ανισότητα Chebyshev θα δώσει:

$3(a + b + c) = 3\sum_{cyclic}{\frac{1}{b+c+1}a(b + c + 1)} \geq (\sum_{cyclic}{\frac{1}{b+c+1}})(\sum_{cyclic}{a(b + c + 1)}) \geq \sum_{cyclic}{a(b + c + 1)} = 2(ab + bc + ca) + (a + b + c)$
Από όπου έπεται το ζητούμενο.

Ανισότητες!

Ανισότητες!

Re: Ανισότητες!

Re: Ανισότητες!

Re: Ανισότητες!

Re: Ανισότητες!

Μέλη σε σύνδεση