Δίνεται η παραβολή C:$\chi ^{2}=\frac{1}{\lambda ^{2}+1}\cdot\psi$ και η ευθεία (ε):$\psi=\lambda\cdot\chi +1$, λ$\in$ R
α/ Δείξτε ότι η παραβολή τέμνει την ευθεία σε δύο διαφορετικά σημεία για κάθε λ$\in$ R
β/ Να βρείτε που κινείται το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α,Β τα σημεία του (α ...

Χαιρετώ τον κόσμο του :logo: και σήμερα δίνοντας λύση στην άσκηση :D .
Αρχικά, παρατηρούμε ότι $\chi ^{3} - 3\chi ^{2} + 3\chi -1 = \left(\chi -1 \right)^{3}$. Άρα, πρέπει να ισχύει ότι το $\chi -1$ είναι τρεις φορές παράγοντας του $P\left(\chi \right)$. Εφαρμόζοντας τρεις φορές διαδοχικά το σχήμα ...

1.Έστω $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in C}$. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{E = {z_1} \cdot \overline {{z_2}} + {z_2} \cdot \overline {{z_1}} }$ είναι πραγματικός.

2. Εάν Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1}$ και $\displaystyle{{z_1} \cdot ...

Άσκηση 2

Αν ισχύει ότι:

α/Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού
β/Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του

Άσκηση 1
Αν ισχύει η σχέση:

να δειχθεί ότι κανένας από τους , δεν μπορεί να είναι πραγματικός

Για το β' ερώτημα:
Έχουμε $z=w+5\Leftrightarrow z-w=5\Leftrightarrow \left|z-w \right|=5\Leftrightarrow d_{AB}=5$,
$z=u-5i\Leftrightarrow z-u=-5i\Leftrightarrow \left|z-u \right|=\left| -5i\right|\Leftrightarrow d_{AC}=5$ και (με συνδυασμό των δύο σχέσεων)
$w=u-5i+5\Leftrightarrow w-u=5-5i ...

Δίνονται οι μιγαδικοί $\displaystyle{z,w,u}$ για τους οποίους ισχύουν : $\displaystyle{|z|=2,~w=z+5,~u=z+5i}$.

α) Να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των $\displaystyle{z,w,u}$.

β) Αν $\displaystyle{A,B,C}$ οι εικόνες των $\displaystyle{z,w,u}$ αντίστοιχα, να εξετάσετε αν το τρίγωνο ...

Θέμα 2ο
Δίνεται η παραβολή . Να βρείτε:
α/την κορυφή της
β/τον άξονα συμμετρίας της
γ/τα σημεία τομής της με τους άξονες
δ/τα ακρότατα της

Καλησπέρα :logo:

Με αφορμή τις εξετάσεις που έρχονται ας φτιάξουμε μια τράπεζα θεμάτων με θέματα
που να αφορούν δύο τουλάχιστον κεφάλαια της ύλης και να έχουν τρία τουλάχιστον ερωτήματα.

Θέμα 1ο
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ με $f(x)=2x^2+3x-5,g(x)=x^2+x+3$.
Έστω επίσης η συνάρτηση $h$ με $h ...

Έστω $a,b,c,d$ είναι μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a \leq 1 ,a+b \leq 5 , a+b+c \leq 14, a+b+c+d \leq 30$.

Ν.δ.ο $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} \leq 10$ .

Author: Vasile Cirtoaje.

Παραθέτω τη λύση μου.
Αφού $\alpha \leq 1$ και $\alpha +\beta \leq 5$ $\Leftrightarrow$ $\beta \leq 4 ...

Αν $a,b$ είναι θετικοί αριθμοί , να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

$\displaystyle A = \sqrt {1 + \left[ {\left( {\frac{1}{a} + \frac{{a + 2b}}{{2ab}} + ...+\frac{{a + 99b}}{{99ab}}} \right) - \left( {\frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{3b}} + ... + \frac{1}{{99b}}} \right)} \right] \cdot a}$

Μπάμπης ...

Να επιλυθεί η εξίσωση:

και να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη


*λ πραγματικός αριθμός

Άσκηση 50η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $\hat{\Gamma }=30^{o}$, $\hat{A }=105^{o}$.Αν $AB=x\sqrt{2}$ και $A\Gamma=3x-4$ να βρεθεί το $x$

Χρησιμοποιούμε το νόμο των ημιτόνων:
$\frac{\alpha }{\sin\alpha } =\frac{\beta }{\sin \beta }=\frac{\gamma }{\sin \gamma }$
$\Rightarrow \frac{3\chi -4 ...

1. Τα μέτρα των πλευρών $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ ενός τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{\frac{\alpha-\beta}{\gamma}+\frac{\beta-\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma-\alpha}{\beta}=0}$.
Να βρεθεί το είδος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , δηλ. είναι ...

Και ναι σωστή απάντηση είναι το 24. :10sta10: :clap2: :clap2:

Να η λύση μου:
Τα μηδενικά στο τέλος του αριθμού μάς δείχνουν με ποια δύναμη του 10 πολλαπλασιάζεται ο αριθμός. Έτσι ψάχνουμε να βρούμε πόσα δεκάρια προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό 1•2•3•4•...•100

Όμως 10=2•5 άρα αρκεί να μετρήσω ...

Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:
α=1*2*3*4*5*...*99*100?

Ωραία άσκηση!!!!

ποιος δρόμος οδηγεί στην πόλη?

Επειδη προετοιμαζομαι πολλες ωρες για αυτον τον διαγωνισμο του ευκλειδη της β' γυμνασιου 2010 μηπως θα μπορουσατε να μου προτεινεται τι να διαβασω και τι βιβλια πρεπει να παρω για να τον περασω?Ηδη εχω ξεκινήσει με το βιβλιο της ελληνικης μαθηματικης εταιρειας:
<<ΟΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ...