Διαφορετικά. Έστω $t \neq 0$. Τότε $\displaystyle f(x+2t) - f(x+t) = tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right)$ και $\displaystyle f(x+3t) - f(x) = 3tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right).$ Άρα $\displaystyle f(x+3t) - 3f(x+2t) + 3f(x+t) - f(x) = 0$ για κάθε $x$ και κάθε $t \neq 0$. Προφανώς ισχύει και για $t=0$...

Ας το δούμε και γεωμετρικά. Έστω $x,y,z \geqslant 0$ ώστε να ισχύει η ισότητα. Θεωρούμε στον χώρο τα σημεία $O = (0,0,0), A = (\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}), B = (\sqrt{x},2\sqrt{y},2\sqrt{z})$ και $C = (\sqrt{x},2\sqrt{y},3\sqrt{z})$. Τότε $(OA) = \sqrt{x+y+z}, (AB) = \sqrt{y+z}, (BC) = \sqrt{z}$ και...

Η απάντηση είναι όχι και στο δύο. Είναι πολύ βασικό όμως να κατανοήσεις τους λόγους. Μπορείς τώρα που ξέρεις ότι οι απαντήσεις είναι όχι να σκεφτείς και να μας πεις γιατί;

Summand έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 16, 2019 5:26 am

Καλησπέρα!


Η απάντηση είναι όχι!


Η προς απόδειξη σχέση γράφεται .

Κάπως πιο σύντομα από εδώ. Πρέπει τα να είναι και τα δύο δυνάμεις του . Αλλά , άτοπο.

Από Taylor μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n$ με την σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στον δίσκο $|z| < 2$. Τότε έχουμε: $\displaystyle \frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \frac{\overline{f(z)}}{z-\alpha} \,\mathrm{d}z =\frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \sum_{n=0}^{\infty} \f...

Χμ, γιατί όχι και από τις 20 μέχρι τις 29 Ιανουαρίου 2021;

Καλησπέρα και πάλι και ευχαριστώ για την βοήθεια! Θεωρώ πως έχω καταλήξει σε μια λύση, αισθάνομαι όμως πως υπάρχουν ακόμη ορισμένα "μελανά σημεία" στη λύση μου. Αν $g(y+1)\neq 1$ τότε επιλέγοντας όπως μου είπατε $\frac{g(y)}{g(y+1)-1}\rightarrow x$ έχουμε $xg(y+1)=x+g(y),(7)$ Για $x=1$ στην $(7)$ Γ...

Ας αποδείξουμε πρώτα το τελευταίο. Από το θεώρημα rank-nullity καθώς και το γεγονός ότι $\mathrm{Ker}(f_{i}) = \mathrm{Im}(f_{i-1})$ για κάθε $i$, έχουμε $\displaystyle \dim(V_i) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Ker}(f_i)) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Im}(f_{i-1}))$ Άρα τηλεσκοπικά...

Όπως ανέφερε και ο Μιχάλης είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν εδώ.

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...

Ας αποφύγουμε τη γεωμετρική πρόοδο: Το $99\cdots 9$ με $n$ ψηφία ισούται με $10^n-1$. Άρα το $11\cdots 1$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}.$ Άρα το $aa\cdots a$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9}.$ Άρα το $aa\cdots ab$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaysty...

Γιάννη, πολύ ωραία μέχρι στιγμής. Δίνω το επόμενο βήμα που είναι και μια σημαντική τεχνική στις συναρτησιακές εξισώσεις: Αν $g(y+1) \neq 1$ τότε επιλέγω $\displaystyle x = \frac{g(y)}{g(y+1)-1}.$ Με αυτήν την επιλογή έχω $xg(y+1) = x+g(y)$. Οπότε έχω και $\displaystyle y = xf(y) = \frac{f(y)g(y)}{g(...

Υπενθυμίζεται ότι ο φάκελος αυτός είναι για να βάζουμε ασκήσεις και να αφήνουμε τους φοιτητές να απαντούν και όχι για να είναι λυσάρι των φοιτητών. Στέλιο, για να δούμε αν κατάλαβες πως να λύνεις και μόνος σου τέτοιες ασκήσεις δοκίμασε το πιο κάτω: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών συνθηκών: $y'-5y=x, y(...

Αν ο Δημήτρης λέει αλήθεια, τότε ο Βασίλης λέει ψέματα, άρα ο Γιώργος αλήθεια και άρα ο Αντώνης ψέματα. Αυτό είναι συμβατό με τη δήλωση του Αντώνη (αφού λέει ψέματα). Αν ο Δημήτρης λέει ψέματα, τότε ο Βασίλης λέει αλήθεια, άρα ο Γιώργος ψέματα και άρα ο Αντώνης αλήθεια. Αυτό δεν είναι συμβατό με τη ...

Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί. Έστω $\alpha \neq 0,-1$. Θέτουμε $A =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1/\alpha & 1 \end{pmatrix} $ και $B =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $. Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι $A^2=A$ και $B^2=B$. Επίσης, $\displaystyle A-B ...

Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω: Χρησιμοποιώντας ότι $A^2=A$ και $B^2=B$ έχουμε $(A-B)(A+B-AB) = A+AB-AB-BA-B+BAB = A-BA-B+BAB = (I-BA)(A-B)$ Αφού ο $A-B$ είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο $I-BA$ είναι αντιστρέψιμος....

Θέτουμε $s=a+b$ και $p=ab$. Οι δυο εξισώσεις γίνονται $s^2-2p = 7$ και $s^3-3sp = \sqrt{23}$. Λύνοντας την πρώτη από αυτές ως προς $p$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε $s^3 - 21s+2\sqrt{23} = 0$. Θέτοντας $s = t\sqrt{23}$ καταλήγουμε στη $23t^3 - 21t+2=0$. Παρατηρούμε ότι η $t=-1$ είναι ρίζ...

Έγινε αλλαγή φακέλου.

Απόπειρα λύσης Γνωρίζουμε ότι η έκφραση $a\equiv 3mod4$ ισοδυναμεί με την έκφραση $a=3+4k, k\epsilon \mathbb{Z}$. Ομοίως για την δεύτερη γραμμική ισοδυναμία καταλήγουμε στο ότι $a=4+6k, k\epsilon \mathbb{Z}$. Εφόσον θέλουμε να πληρούνται και οι δύο συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε τις ισότητες ως προς...

Μάλλον το δεξί μέλος θέλει έκτη αντί τρίτη δύναμη. Η ανισότητα είναι προφανής για $x=0$ ή $y=0$. Αλλιώς θέτουμε $y=kx$ και το ζητούμενο γίνεται $\displaystyle 4(k+1)^6 \geqslant (k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3)$ Εν αναμονή καλύτερης απόδειξης, αυτό είναι ισοδύναμο (σύμφωνα με το wolframalpha) με το $\displa...