Το πρέπει να ανήκει στο . Πρέπει δηλαδή να υπάρχουν ώστε . Λύσε το σύστημα ώστε να βρεις τις τιμές των και ακολούθως την τιμή του . Κάνε κάτι παρόμοιο για το .

Αν η είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μια διαμέριση ώστε και ότι . Άρα είναι .

Μπορείς τώρα να βρεις κλιμακωτή ώστε και ;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 3. Ο Ανδρέας, ο Γιώργος, ο Βασίλης και ο Γρηγόρης παίζουν σε ένα πίνακα $100 \times 2019$ ($100$ γραμμές, $2019$ στήλες). Παίζουν με την σειρά, πρώτα ο Ανδρέας, ύστερα ο Γιώργος, μετά ο Βα...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 4. Ο φυσικός αριθμός $n$ έχει ακριβώς $1000$ φυσικούς διαιρέτες (συμπεριλαμβανομένου του $1$ και του ίδιου του $n$). Αυτοί οι $1000$ διαιρέτες γράφονται κατά αύξουσα σειρά. Προέκυψε ότι, ο...

Εύκολο γι' αυτό δίνω μόνο υπόδειξη:

Δείξε ότι υπάρχει ώστε για κάθε .

Θα πρόσθετα πως όταν χρησιμοποιούμε αυτόν τον συμβολισμό πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι κάνουμε κατάχρηση του συμβόλου της ισότητας (abuse of notation). Aκριβολογώντας, με το $O(f(\varepsilon))$ (όταν $\varepsilon \to 0$) εννοούμε το σύνολο των συναρτήσεων $g$ για τις οποίες υπάρχουν $C,\delta > 0$ ...

Ας γράψουμε $T$ για το αναμενόμενο πλήθος τραγουδιών που θα ακούσουμε μέχρι να φτάσουμε στο τραγούδι μας ακολουθώντας τη βέλτιστη στρατηγική. Επίσης ας γράψουμε $T_i$ για το αναμενόμενο πλήθος όταν ακούσουμε το τραγούδι $i$. Είναι $T = 1 + \frac{T_1 + \cdots + T_{100}}{100}$. Όταν ακούσουμε το τραγο...

Γιώργο, πολύ το χάρηκα ιδίως τα ασυνάρτητα της παραγράφου $7$ του λογισμού (που παραπέμπεις). Λίγο παρακάτω έμαθα και τι είναι λογάριθμος. Εαν δεν ήξερες είναι «Πόσο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό Χ, για να έχουμε τον αριθμό Υ;» $\dfrac {Y}{X}$, λέω εγώ, αλλά ποιος ακούει. Αυτό θα μπορούσα ν...

Έχουμε $\displaystyle I_n =n\int_{0}^{\infty} xe^{-x} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{n-1}{k}e^{-kx}\,\mathrm{d}x = n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom{n-1}{k}\int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x}\,\mathrm{d}x$ Όμως $\displaystyle \int_{0}^{\infty} xe^{-(k+1)x} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{xe^{-(k+1)x}}{k+1} \rig...

Υπόδειξη: Τι μπορούμε να πούμε για το διάστημα σύγκλισης της και πως σχετίζεται με την άσκησή σου;

Χρόνια μας πολλά!

Έστω $x \in [0,1]$. Ορίζουμε $\displaystyle f(a_2,\ldots,a_n) = (1-x)(1-a_2)\cdots (1-a_n) + x - \frac{1}{(1+a_2) \cdots (1+a_n)}$ για $a_2,\ldots,a_n \in [0,x]$. (Δεν θέτω περιορισμό διάταξης στα $a_2,\ldots,a_n$) Η $f$ είναι κοίλη σε κάθε μεταβλητή $a_k$ ($k \geqslant 2$) οπότε η $f$ παίρνει ελάχι...

Venegrom καλωσόρισες στο :logo: Ο κανονισμός μας ορίζει τα μαθηματικά να γράφονται στο LaTeX (για πρώτη φορά το διόρθωσα) και να γράφουμε τονισμένα ελληνικά (διόρθωσέ το). Για την άσκηση τώρα (φαντάζομαι εννοείς το διάστημα $[0,a]$) η απάντηση είναι ότι δεν μπορείς να το δείξεις διότι δεν ισχύει. Πρ...

Υπάρχει ένας ακόμα . Είναι : $\sin\dfrac{96989\pi}{10^6}=\dfrac{3}{10}$ :lol: Καλό. Πάρα πολύ καλή προσέγγιση. Όχι και ιδιαίτερα εντυπωσιακή. Έχουμε: $\displaystyle \left|\sin\left( \tfrac{(m+1)\pi}{10^6}\right) - \sin\left( \tfrac{m\pi}{10^6}\right)\right| = 2\left|\cos\left( \tfrac{(2m+1)\pi}{2 \...

Έστω ακολουθία $(a_n)$ όπου κάθε όρος είναι ίσος με $0$ ή $1$ με την επιπλέον συνθήκη ότι $a_n=0$ αν $n$ σύνθετος. [Οι πρώτοι αριθμοί δεν παίζουν κανένα ρόλο. Επιλέξτε το αγαπημένο σας άπειρο υποσύνολο φυσικών $S$ για το οποίο $\sum_{s \in S} \frac{1}{s} $ αποκλίνει και θέστε $a_n=0$ για $n \notin S...

Καλησπέρα σας! Αν δεν κάνω λάθος,οποιαδήποτε οκτάδα με 7 περιττούς και 1 άρτιο αριθμό ,δεν έχει τετράδες με ίδιο άθροισμα. Οπότε,μήπως έχει παρερμηνευθεί κάτι; Φιλικά, Βέτσικας Αλέξανδρος Όπως το καταλαβαίνω επιτρέπεται οι τετράδες να έχουν κάποια στοιχεία τα ίδια. Αυτό που απαγορεύεται είναι να εί...

Βάζω μια λύση χωρίς ανάλυση. Παρατηρούμε αρχικά ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα αφού αν $a > b > 0$ τότε (με $x = a-b,y=b$) έχουμε $\displaystyle f(a) \geqslant f(b) + bf(f(a-b)) > f(b)$ Ισχυρίζομαι επίσης ότι $f(x) < x+1$ για κάθε $x > 0$. Σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει $x > 0$ και $y \geqslant 1...

Ύπαρξη: Ορίζουμε $a_1 = [x]$. Έχοντας ορίσει τα $a_1,\ldots,a_n$ τότε ορίζουμε $a_{n+1}$ ως τον μέγιστο φυσικό με $a_{n+1} \in \{0,1,\ldots,n\}$ και $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a_k}{k!} \leqslant x $ Έστω $\displaystyle x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k!}.$ Ισχυρίζομαι ότι $0 \leqslant x-...

Είναι λανθασμένο το συγκεκριμένο βήμα. Μάλιστα είναι το κλειδί για να δείξουμε ότι υπάρχει μετρήσιμη συνάρτηση περιοδική στους ρητούς. Έστω $C$ το σύνολο Cantor και έστω $C' = C+\mathbb{Q} = \{c+q:c\in C,q\in \mathbb{Q}\}$. Το $C$ έχει μέτρο $0$ και το $C'$ είναι αριθμήσιμη ένωση μεταφορών του $C$ κ...

Από τους δυο προσθετέους ο ένας είναι μικρότερος του $200$ άρα ο άλλος πρέπει να είναι μεγαλύτερος του $9800$ για να είναι το άθροισμα πενταψήφιο. Θέλουμε λοιπόν το γινόμενο δύο διψήφιων αριθμών να είναι τουλάχιστον $9801$. Υπάρχει μόνο ένα τέτοιο γινόμενο, το $99^2$ που είναι ακριβώς ίσο με $9801$....