Απολογούμαι για την καθυστέρηση στην ανάρτηση των θεμάτων. Προβλημα 1: Μια ευθεία στο επίπεδο ονομάζεται παράκτια αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα των $x$, τον άξονα των $y$, ή προς την ευθεία $x + y = 0$. Δεδομένου ακεραίου $n \geqslant 3$, να προσδιορίσετε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους $...

Καλησπέρα σε όλους από το Σαράγεβο.

Το πρόβλημα 2 ήταν δημιουργία του Θεόκλητου Παραγυιού. Συγχαρητήρια στον Γιάννη Γαλαμάτη για το πανέμορφο Πρόβλημα 3.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024. 6. Ο Γιώργος ύψωσε τον αριθμό $4$ σε κάποια δύναμη (μη μηδενικό φυσικό αριθμό) και του προέκυψε αριθμός, που αποτελείται από άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο Γιάννης έγραψε τα ψηφία αυτού του αριθμού με αντίστρο...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024. 5. Σε ένα κυκλικό αυτοκινητόδρομο βρίσκονται $202$ χωριά. Στον αυτοκινητόδρομο κινούνται λεωφορεία, κάθε λεωφορείο κινείται από κάποιο ένα χωριό σε κάποιο άλλο και πίσω στην ίδια διαδρομή, κάνοντας στά...

Μια κάπως πιο προχωρημένη ίσως λύση: Αν $b=c$ τότε $a=b=c$ και άρα $H=G$ οπότε είναι προφανές. (Ή ανευ νοήματος αναλόγως προσέγγισης.) Αλλιώς $\displaystyle \frac{BG^2}{CG^2} = \frac{\mu_B^2}{\mu_C^2} = \frac{2a^2+2c^2-b^2}{2a^2+2b^2-c^2} = \frac{3c^2}{3b^2} \implies \frac{BG}{CG} = \frac{c}{b}.$ Το...

Πιο σύντομα για το (γ) (χωρίς τα προηγούμενα):

Χάθηκαν κάποιες λύσεις στην πιο πάνω ανάρτηση. Επεξεργασία: Όπως με ενημέρωσε ο Μιχάλης εγώ βρήκα περισσότερες λύσεις μια και βρήκα και αυτές με γινόμενο $-12$. :oops: Μόνο για θετικούς αριθμούς υπάρχουν όντως $4$ τρόποι να έχουμε γινόμενο $12$ με $12$ αριθμούς. Οι $12^{1} \cdot 1^{11}$ $6^{1} \cdot...

Αποσύρω τη λύση διότι ήταν εσφαλμένη.

Άσκηση 56 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ που για κάθε $x$ ικανοποιούν $P(2x)= P'(x)P''(x) $ Μια ενδιαφέρουσα «εκτός ύλης» λύση: Αν $P''$ ταυτοτικά μηδέν, τότε και το $P$ είναι ταυτοτικά μηδέν. Αλλιώς το πολυώνυμο έχει βαθμό τουλάχιστον $2$ και συγκρίνοντας βαθμούς παίρνουμε ότι έχει βαθμό ακριβώς ...

. Μένει αναπάντητη η Άσκηση 56. Αναρτώ και μία νέα: Άσκηση 57 Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ που για κάθε $x$ ικανοποιούν $[P(x)]^2= P(P(x))-9$ Ας δούμε κάτι πιο σύντομο. Αν το $P(x)$ είναι σταθερό πολυώνυμο, τότε $P(x) = c$ όπου $c^2=c-9$ που απορρίπτεται. (Αν μιλάμε για πραγματικά πολυώνυμα.) Σε...

Αν είναι αληθής η (d) τότε είναι και οι (c) και (e), άτοπο. Άρα πρέπει $x \leqslant 10$ και άρα η (b) είναι αναγκαστικά αληθής. Αν είναι και η (c) τότε είναι αναγκαστικά και η (e), πάλι άτοπο. Άρα πρέπει $x \leqslant 5$. Τότε η (b) είναι αληθής ενώ οι (a),(c),(d) ψευδείς. Πρέπει λοιπόν η (e) που μέν...

Έστω $t$ μια ρίζα της $f$ σε αυτό το διάστημα. Τότε από Cauchy-Schwarz έχουμε $\displaystyle (a^2+b^2)(t^2+1)^2 = (a^2+b^2)((t^2-1)^2+(2t)^2) \geqslant (a(t^2-1)+2bt)^2 = (2-t)^2$ Άρα $\displaystyle a^2+b^2 \geqslant \left(\frac{t-2}{t^2+1}\right)^2 \geqslant \frac{1}{100}$ αφού $\displaystyle \frac...

Θα δείξουμε ότι αυτό ισχύει αν και μόνο αν το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο. Αν το $\mathbb{F}$ είναι πεπερασμένο, έστω $\mathbb{F} = \{a_1,\ldots,a_n \}$, τότε έχουμε $\Phi((X-a_1) \cdots (X-a_n)) = \Phi(0)$ και ο τελεστής δεν είναι 1-1. Έστω τώρα ότι το $\mathbb{F}$ είναι άπειρο και έστω προς άτοπο ότ...

Για το αρχικό ερώτημα Θα γράφω $x_1,x_2,x_3,x_4$ για τις ρίζες για ευκολία. Έχουμε $x_1 + \cdots + x_4 = 0$ και $x_1x_2 + \cdots + x_3x_4 = -2$ άρα $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = (x_1 + \cdots + x_4)^2 - 2(x_1 x_2 + \cdots + x_3 x_4) = 4$ Από Cauchy-Schwarz, και αφού οι ρίζες είναι ...

Αν $n+1,n+2,\ldots,n+9$ οι $9$ διαδοχικοί ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με $9n+45$ που είναι πολλαπλάσιο του $9$. Αν $m+1,m+2,\ldots,m+10$ οι $10$ διαδοχικοί ακέραιοι, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με $10m+55$ που είναι πολλαπλάσιο του $5$. Άρα αναγκαστικά το $N$ είναι πολλαπλάσιο του ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Σεπ 03, 2024 12:22 pm

είναι οι αριθμοί.Μπορούμε να έχουμε μόνο ένα πολλαπλάσιο του
Προφανώς ο Δημήτρης μπερδεύτηκε και εγραψε

Έτσι όπως τα λες Σταύρο.

Άσκηση 54 Έστω $P,\, Q$ πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Δείξτε ότι αν τα σύνολα $\{ n \in \mathbb N | P(n)\le Q(n) \}$, $\{ n \in \mathbb N | Q(n)\le P(n) \} $ είναι και τα δύο απειροσύνολα, τότε $P=Q$. Θεωρούμε το πολυώνυμο $R = P-Q$ και υποθέτουμε προς άτοπο ότι δεν είναι το μηδενικό πολυώ...

Ας τα μετρήσουμε και λίγο διαφορετικά: Περίπτωση 1: Στα τρία τελευταία ψηφία υπάρχουν δύο οκτάρια: Έχουμε $8$ τρόπους να επιλέξουμε το πρώτο ψηφίο, $7$ τρόπους το άλλο ψηφίο που δεν είναι ίσο με οκτώ και $3$ τρόπους για το που να τοποθετήσουμε το άλλο ψηφίο. Σύνολο: $8 \cdot 7 \cdot 4 = 168$ τρόποι....

Στο συγκεκριμένο διάστημα υπάρχουν $33$ πολλαπλάσια του $3$. Αν επιλέξουμε τους $67$ αριθμούς που δεν είναι πολλαπλάσια του $3$, τότε το γινόμενο δεν θα είναι πολλαπλάσιο του $18$. Εν αντιθέσει, αν επιλέξουμε οποιουσδήποτε $68$ αριθμούς σίγουρα θα έχουμε ένα πολλαπλάσιο του $3$. Επιπλέον, επειδή υπά...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Ιουν 15, 2024 6:51 am

Γράφω μερικούς ακόμα : :