Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της .

Νίκο, πέραν αυτών έκανα και μια νύξη για τη διατύπωση του Θεωρήματος Bolzano. Ξέρω ότι για σκοπούς Πανελληνίων το σχολικό βιβλίο είναι το «Ιερό Ευαγγέλιο». Με τις διατυπώσεις του σχολικού, και τη διατύπωση της πρότασης όπως την έχεις γράψει, η απάντηση είναι αρνητική. Έχει ήδη δεχθεί από τον chrispa...

Ως θεωρήματα, τα Rolle και Bolzano ισχύουν παντού και πάντα.

Αντιλαμβάνομαι ότι αυτός που έθεσε το ερώτημα σκεφτόταν κατά πόσο ισχύουν για την ίδια συνάρτηση οι προϋποθέσεις των δύο θεωρημάτων, αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία. Εξαρτάται μάλιστα και από το πώς θα διατυπώσεις το θεώρημα Bolzano.

Θα αρχίσω από το (2). Ο ορισμός του $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$ είναι $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S$ όπου το $\mathbf{n}$ είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Υπάρχουν δύο επιλογές για το $\mathbf{n}$ γι' αυτό πρέπει να ...

Πάνε πάνω από 9 χρόνια που είχα κάνει παρόμοια παρατήρηση με τον Λάμπρο εδώ.

Έστω $\det(A) = z$. Τότε έχουμε $zA + \bar{z}A^{\ast} = i(A+A^{\ast})$. Παίρνοντας conjugate transpose έχουμε επίσης και $\bar{z}A^{\ast} + zA = -i(A^{\ast} + A)$. Οπότε καταλήγουμε ότι $A + A^{\ast} = 0$. Αλλά τότε είναι και $zA + \bar{z}A^{\ast} = 0$. Από αυτά τα δυό παίρνουμε $(z-\bar{z})A = 0$. ...

Ένας άλλος τρόπος που αποφεύγει αρκετές πράξεις είναι με τη χρήση της ταυτότητας



όπου μια πρωταρχική κυβική ρίζα της μονάδος. [Εργαζόμαστε σε επέκταση του δακτυλίου μας αν χρειαστεί.]

αυτή η όχι αμελητέα βοήθεια είναι ίσως απόρροια της ενοχής του συστήματος για την μη προετοιμασία των μαθητών στην αντιμετώπιση πραγματικών προβλημάτων Γιώργο, νομίζω ο κυριότερος λόγος που δόθηκε είναι διότι τα άλλα υποερωτήματα εξαρτώνται από αυτό. Αν ένας το βρει λανθασμένα τότε πώς βαθμολογούντ...

Είναι επίσης το πρώτο θεώρημα/πρόταση στο κλασικό βιβλίο μεταθετικής άλγεβρας των Atiyah και Macdonald. Δεν δίνουν καν την απόδειξη.

Μια ερώτηση στην ερώτηση 7 ξέρουμε πως το $f(2)$ είναι το μεγαλύτερο πως μπορούμε να αιτιολογήσουμε αν το $f(0)$ είναι μεγαλύτερο ή το $f(4)$; Ευχαριστώ εκ των προτέρων Χρησιμοποιούμε το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Παίρνουμε $\displaystyle f(2) - f(0) =\int_{0}^{2} f'(x) \,\mathrm{d}x > - \int...

2)Εστω $n\geq 1$ φυσικός. Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle P_{n}(x)=\frac{1}{n!}(x^n(1-x)^n)^{(n)}$ (το έξω $n$ σημαίνει ότι παραγωγίζουμε τόσες φορές) Να δειχθεί ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι. Θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα γινομένου για μεγαλύτερες παραγώγους. Λέει ότι $\di...

1)Αν $d_{n}$ είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των $1,2,3,.....,n$ να δειχθεί ότι υπάρχει $n_0$ ώστε $\displaystyle d_{n}<3^n$ για κάθε $n$ με $n>n_0$ (θέλει βαρεία εργαλεία) Θα χρησιμοποιήσω το Θεώρημα των πρώτων αριθμών. Λέει ότι $\pi(x) \sim \frac{x}{\log{x}}$ όπου $\pi(x)$ το πλήθος των πρώτω...

Δείτε επίσης και εδώ.

Γράφουμε $\omega = e^{\pi i /n}$. Τότε $\begin{aligned} S(n) &= \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \left(\frac{\omega^k + \omega^{-k}}{2}\right)^n \\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{r=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{r} \omega^{kr} \omega^{-k(n-r)} \\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \sum_{k=0}^{n-1} \...

Η ύπαρξη αντίστροφης σε μια περιοχή του $x_0$ είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος της αντίστροφης συνάρτησης αφού η $f'$ είναι συνεχής ως πολυωνυμική και μας δίνεται ότι $f'(x_0) \neq 0$. Το γεγονός ότι η $f^{-1}$ δεν είναι πολυωνυμική αποδεικνύεται και με την μέθοδο του Ορέστη και με την μέθοδο του...

Ευχαριστούμε!

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.

Επίκουρος Καθηγητής Μαθηματικών
UCLan Cyprus

Ένα πρόβλημα με ακριβώς την ίδια ιδέα ήταν από την IMO Shortlist του 1992. Ζητούσε να δειχθεί ότι ο αριθμός είναι σύνθετος.

Απλά να σημειώσω ότι το το γράφουμε με τον κώδικα

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας!