Η αναζήτηση βρήκε 7432 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: 0-1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 67

Re: 0-1

Με προλάβανε αλλά μιας και έγραψα και τις λεπτομέρειες... Με ισχυρή επαγωγή στο $m$ όπου $n=2m$ το μήκος της $a$. Για $m=0,1$ είναι προφανές. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για κάθε άρτιο $m \leqslant k$ και έστω μια ακολουθία $a$ μήκους $2k+2$. Αν είναι της μορφής $0b1$ ή της μορφής $1b0$ τότε το $b$ έχει ...
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστο γινομένου
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 461

Re: Μέγιστο γινομένου

Ακόμη μία απόδειξη. Ας γράψω $r = f(1)= a+b$ και $s=f(0)=b$. Τότε $\displaystyle ab = (r-s)s = -\left(r-\frac{s}{2}\right)^2 + \frac{s^2}{4} \leqslant \frac{1}{4}$ με ισότητα αν και μόνο αν $|s|=1$ και $r=s/2$. Μένει να κάνουμε τον απλό έλεγχο ότι η $f(x) = \pm \frac{x+1}{2}$ ικανοποιεί τις συνθήκες.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 8:07 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 410

Re: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 7:26 pm
Ετσι η εξίσωση ((t+k)^{2}+m)^{2}+r=0

έχει ρίζες τα 1,9,25,49

Αυτό όμως είναι ΑΤΟΠΟ(γιατί ; )

Οι ρίζες της εξίσωσης εμφανίζονται σε ζεύγη της μορφής (x,-x-2k). Δηλαδή σε ζεύγη με σταθερό άθροισμα -2k. Τα 1,9,25,49 όμως, δεν μπορούν να χωριστούν με τέτοιο τρόπο.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 337

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.

Το είχα βάλει πέρσι και στο πρόβλημα της εβδομάδας.

Για κάτι αρκετά πιο δύσκολο δείτε και αυτό.
από Demetres
Κυρ Δεκ 09, 2018 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B6
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 85

Putnam 2018/B6

Έστω S το σύνολο όλων των ακολουθιών μήκους 2018 των οποίων οι όροι ανήκουν στο σύνολο \{1,2,3,4,5,6,10\} και έχουν άθροισμα 3860. Να δειχθεί ότι

\displaystyle  |S| \leqslant 2^{3860} \left(\frac{2018}{2048} \right)^{2018}
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 10:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη περίμετρος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 145

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Μιχάλη, στο ελάχιστο δεν θα έχουμε $MC \perp BM$. Θα έχουμε $\angle AMB = \angle BMN = \angle MBA$. Άρα $AB = AM=MC = 2MN$. Από Θεώρημα Συνημιτόνων, θέτοντας $x=BM$ έχουμε $\displaystyle (MN)^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{ax}{2}$ και $\displaystyle (MC)^2 = x^2 + a^2 - ax$ Από την $MC = 2MN$ παίρν...
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 7:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Διαφορετικές διαφορές
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 197

Re: Διαφορετικές διαφορές

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 08, 2018 2:00 pm
Μπορούμε πολύ καλύτερα. Αποδεικνύεται ότι για μικρά x είναι x-\sin x  \approx \dfrac {1}{2}(\tan x-x)

Ας δούμε επίσης και την ανισότητα \displaystyle  x - \sin{x} < \frac{\tan{x}-x}{2} για x \in (0,\pi/2).
από Demetres
Σάβ Δεκ 08, 2018 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 410

Re: Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού

Έστω $k(x) = g(h(x))$ και έστω $x_1,x_2$ οι ρίζες του $f$. Τότε το $k(x)$ είναι πολυώνυμο τετάρτου βαθμού. Για κάθε $1 \leqslant n \leqslant 8$ είναι $f(k(n)) = 0$ και άρα υπάρχει $i \in \{1,2\}$ ώστε $k(n) = x_i$. Επειδή το $k$ είναι τετάρτου βαθμού, για τα μισά $n$ θα έχουμε $k(n) = x_1$, και για ...
από Demetres
Παρ Δεκ 07, 2018 4:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 110

Re: Putnam 2018/A4

Ωραίο. Θα το δείξω με επαγωγή στο $m+n$. Είναι προφανές όταν $m=n=1$ αφού $a_1 = 1$, άρα $gh = e$ που δίνει $h = g^{-1}$ και άρα και $hg = e = gh$. Για το επαγωγικό βήμα ελέγχουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: Αν $m >n$ θέτω $m' = m-n, n' = n$. Τότε $a_k' = a_k - 1$ για κάθε $k$. Θέτω $g' = gh$ και ...
από Demetres
Πέμ Δεκ 06, 2018 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 787

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

Θα δείξω ότι $k \geqslant n-1 - \log_2 n $ το οποίο (για $n \geqslant 4$) είναι καλύτερο φράγμα. Έστω $x_{n-k+1} = \cdots = x_n = 1$ και έστω επίσης ότι $x_i = y_i+1$ για $1 \leqslant i \leqslant n-k$. Τότε $\displaystyle n + y_1 + \cdots + y+{n-k} = (y_1+1) \cdots (y_{n-k}+1) \geqslant (y_1+\cdots ...
από Demetres
Τετ Δεκ 05, 2018 2:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 201

Re: Διοφαντικη εξίσωση (x^2+2y^2=z^2)

Μιας και μπήκε στο ΑΕΙ ας δούμε και μια λύση με το Hilbert Satz 90 . Αντί του ζητουμένου, θα βρούμε όλες τις ρητές ρίζες της $a^2 + 2b^2 = 1$. Δεν είναι δύσκολο να μετακινηθούμε μεταξύ των δύο. Θεωρούμε την επέκταση $\mathbb{Q}(i\sqrt{2})$ υπέρ του $\mathbb{Q}$. Είναι κυκλική επέκταση με γεννήτρια τ...
από Demetres
Τετ Δεκ 05, 2018 10:55 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A6
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 65

Putnam 2018/A6

Έστω σημεία $A,B,C,D$ στο επίπεδο, ανά τρία μη συνευθειακά. Τα τετράγωνα των μηκών των τμημάτων $AB,AC,AD,BC,BD$ και $CD$ είναι όλα ρητοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι ο λόγος των εμβαδών $\displaystyle \frac{E(\triangle ABC)}{E(\triangle ABD)}$ είναι επίσης ρητός. Νομίζω εύκολη για Α6. Θα δείξουν βέβαια ...
από Demetres
Τετ Δεκ 05, 2018 10:40 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A5
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 151

Putnam 2018/A5

Έστω απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ώστε f(0) = 0, f(1) = 1 και f(x) \geqslant 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.

Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος n και πραγματικός αριθμός x ώστε f^{(n)}(x) < 0.
από Demetres
Τετ Δεκ 05, 2018 10:37 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 110

Putnam 2018/A4

Έστω πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι $m,n$ και έστω $\displaystyle a_k = \left\lfloor \frac{mk}{n} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m(k-1)}{n} \right\rfloor$ για $k = 1, 2, \dots, n$. Έστω $g,h$ στοιχεία μιας ομάδας $G$ ώστε $\displaystyle gh^{a_1} gh^{a_2} \cdots gh^{a_n} = e,$ όπου $e$ το τα...
από Demetres
Τετ Δεκ 05, 2018 10:14 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 2018/A1
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 268

Re: Putnam 2018/A1

Μάλλον απλή για το επίπεδο των φοιτητών που παίρνουν μέρος στον διαγωνισμό. Μιχάλη, σχεδόν πάντα η Α1 και η Β1 είναι απλές. Έχουν 6 ασκήσεις την ημέρα να λύσουν οπότε δεν χάθηκε ο κόσμος να βάλουν και κάποιες εύκολες. Μιας και ο Δημήτρης έβαλε την άσκηση εδώ να σημειώσουμε ότι η άσκηση έχει εμφανισ...
από Demetres
Τρί Δεκ 04, 2018 4:37 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A3
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 102

Putnam 2018/A3

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)

όπου οι x_1, x_2, \dots, x_{10} είναι πραγματικοί αριθμοί ώστε

\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0.
από Demetres
Τρί Δεκ 04, 2018 4:21 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A2
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 85

Putnam 2018/A2

Έστω $S_1, S_2, \dots, S_{2^n - 1}$ τα μη κενά υποσύνολα του$\{1, 2, \ldots, n\}$ με κάποια σειρά, και έστω $M$ ο $(2^n - 1) \times (2^n - 1)$ πίνακας του οποίου το $(i, j)$ στοιχείο είναι το $\displaystyle m_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{\gr αν } S_i \cap S_j = \emptyset \\ 1 & \text{\gr αν } S_i ...
από Demetres
Τρί Δεκ 04, 2018 4:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 2018/A1
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 268

Putnam 2018/A1

Το Σαββατοκύριακο που μας πέρασε διεξήχθη ο διαγωνισμός Putnam. Θα βάλω σιγά σιγά τα θέματα. Ξεκινάω από το Α1 που είναι κλασικό και κάνει και για το Γυμνάσιο.

Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) ώστε

\displaystyle  \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2018}
από Demetres
Τρί Δεκ 04, 2018 3:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με αφορμή
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 421

Re: Όριο με αφορμή

οπότε χρειάζεται λιγότερη αυστηρότητα αφού αν κάτι πάει στραβά αμέσως θα το καταλάβουμε. Τόλη, νομίζω το κλειδί είναι εδώ. Μπορεί και να μην το καταλάβουμε καθόλου. Ιδίως αν δεν έχουμε στην διάθεσή μας κάποιο υπολογιστικό πακέτο. Π.χ. Να υπολογιστεί το $\displaystyle I = \lim_{n \to \infty} \int_{-...
από Demetres
Δευ Δεκ 03, 2018 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με αφορμή
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 421

Re: Όριο με αφορμή

Δεν στέκουν όλα. Πρέπει να ελέγχονται. Στην συγκεκριμένη περίπτωση δουλεύει το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης αρκεί να εφαρμοστεί σωστά. Ας γράψουμε $\displaystyle a_n = \sqrt{n}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos{x}}{(1+x^2)^n} \, \mathrm{d}x.$ Είναι απλό ότι αυτά τα ολοκληρώματα υπάρχουν. Κάνοντας...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση