Ένας σύντομος τρόπος είναι ο εξής: Θα γράψω Γ για το σημείο όπου συναντήθηκε ο εργάτης με το αυτοκίνητο και Δ για το σημείο όπου βρισκόταν το αυτοκίνητο όταν ο εργάτης κατέβηκε από το λεωφορείο. Έστω επίσης Ε το εργοστάσιο. Άρα έχουμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε στη σειρά. Κάθε μέρα ο εργάτης πάει από το Α ...

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x) = e^{x/a} - \ln(ax)$ όπου $a > 0$. Για να έχουμε μοναδική ρίζα στο σημείο $x = t$ είναι εύκολο να δειχθεί ότι θέλουμε $f(t) = f'(t) = 0$. Επειδή $f'(x) = \frac{1}{a}e^{x/a} - \frac{1}{x}$, θέλουμε $\frac{t}{a}e^{t/a} = 1$. Έστω $g(x) = xe^x$. Η αντίστροφη συνάρτηση της $g$ ο...

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 5. Στην Χρωματούπολη κατοικούν $99^2$ χρωματούληδες. Μερικοί από τους οποίους είναι ευγενείς (λένε πάντα την αλήθεια) και οι υπόλοιποι ψεύτες (λένε πάντα ψέματα). Τα σπίτια στην πόλη είναι τοποθετημένα ...

Θέτοντας $f(n) = \omega(n)/n$, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} f(n)^{1/n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^{1/n} \neq 0$ Ισοδύναμα θέλουμε $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}$ Οι δυνάμει...

Η συγκεκριμένη εικασία είναι από τις σπουδαιότερες εικασίες στη θεωρία γραφημάτων και το ότι επετεύχθει για όλα τα μεγάλα $n$ είναι εντυπωσιακό. Ο Erdos την είχε προκυρήξει και με βραβείο 500 δολαρίων σε όποιον την έλυνε. Είμαι σίγουρος ότι αν ζούσε θα τα πλήρωνε έστω και αν δεν έχει αποδειχθεί για ...

Έβαλα μια λύση για το 4 εδώ.

Θα δείξουμε ότι γίνεται για $n=2000$ αλλά όχι για $n=2001,2002$ Έστω ότι γίνεται για κάποιο $n$. Για κάθε αριθμό $k$, έστω $x_k,y_k$ οι θέσεις που εμφανίζεται με $x_k < y_k$. Τότε είναι $\displaystyle \sum_{k=1}^n (x_k+y_k) = 1+2+\cdots + 2n = \frac{2n(2n+1)}{2} $ και $\displaystyle \sum_{k=1}^n (y_...

ΘΕΜΑ 2 Για όλους τους θετικούς ακεραίους $m>n$ να δείξετε ότι: $\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}$ Μία διαφορετική για το 2. Είναι: $\left [ m,n \right ]\leqslant mn, \left [ m+1,n+1 \right ]\leqslant (m+1)(n+1)$. Πρέπει, συνεπώς, να ισχύει ισοδύναμα: $mn+(m+1)(n+1)>\fr...

Διαφορετικά: Παρατηρώ ότι $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{a^3} = 1 - \frac{2}{a^2}$ Έχουμε $1 = a^3 - a$, άρα $\displaystyle \frac{1}{a} = a^2 - 1$ και $\displaystyle \frac{1}{a^2} = a - \frac{1}{a} = a-a^2+1$ Άρα $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - 2(a - a^2 + 1...

Έστω $r_1,\ldots,r_{k+1}$ οι γραμμές του πίνακα. Για $m=k,k-1,\ldots,1$, με αυτή τη σειρά, αλλάζω τη γραμμή $r_{m+1}$ στην γραμμή $\displaystyle \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{l} (-1)^{m-\ell}r_{\ell+1}$ Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην $r_{m+1}$ προηγούμενες γραμμές που δεν ...

$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} \cdot &= \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{BD}\right) \\ &= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{OB} ...

Πέραν από το προφανές που νομίζω όλοι θα συμφωνήσουν ότι η πληροφόρηση για το πως διανέμονται τα χρήματα του φορολογούμενου είναι επιθυμητή, ας μην μπούμε σε πολιτική συζήτηση για το ποιο οικονομικό μοντέλο σε σχέση με την τριτοβάθμια εκπαίδευση είναι καλύτερο. Ο καθένας μας έχει τις απόψεις του και...

Το Πανεπιστήμιο του Λέστερ αποφάσισε να παύσει την έρευνα των ακαδημαϊκών του στα καθαρά μαθηματικά και να προσλάβει στη θέση του λέκτορες με εστίαση στη διδασκαλία για την παράδοση των μαθημάτων του προπτυχιακού του προγράμματος. Όσοι θέλετε μπορείτε να υπογράψετε διαδικτυακή αίτηση για άρση αυτής ...

Βγαίνει με χρήση γενικευμένης Pell. Αρχικά παρατηρούμε από modulo 4 ότι ο $x$ είναι περιττός. Οπότε ψάχνουμε λύσεις της $\displaystyle a^2 - 7b^2 = 2$ με την επιπλέον συνθήκη ότι το $b$ πρέπει να είναι δύναμη του $7$. Η θεμελιώδης λύση της $a^2 - 7b^2 = 1$ είναι η $(8,3)$. Κάθε θεμελιώδης λύση της $...

Για $x=y=0$ παίρνω $f(f(0)) = f(0)^2$. (1) Για $x=y=t$ παίρνω $f(f(0)) = f(t)^2 - t^2$. Άρα έχω και $f(t)^2 = t^2 + f(0)^2$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (2) Για $x=t,y=0$ παίρνω $f(f(t)) = f(t) - f(0) + f(t)f(0)$. Αυτό ισχύει για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (3) Έστω $f(0) = a$. Από την (1) παίρνω $f(a)...

Αφού δείξουμε ότι τα είναι μη αρνητικοί, βγαίνει και με modulo 8. Το αριστερό μέλος δεν είναι πολλαπλάσιο του οπότε αναγκαστικά και τα πράγματα πλέον είναι εύκολα.

Δεν διάβασα με προσοχή όλες τις αποδείξεις οπότε ελπίζω να μην μπήκε. Έστω $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών $B$ και $C$. Θεωρώ τον μετασχηματισμό που προκύπτει μετά από ανάκλαση πρώτα στην $BI$ και μετά στην $CI$. Αυτός είναι στροφή με κέντρο το $I$ και γωνία διπλάσια της $\angle BIC = 1...

Ας παρατηρήσουμε ότι δεν μπορεί κάποιος από τους αριθμούς να είναι ίσο με $1$ αφού τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο γειτονικών του θα ήταν ίσος με $0$, άτοπο. Έστω $n$ ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς. Οι δυο γειτονικοί του έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το $n-1$ άρα πρέπει και οι δύο να είναι ...

Είχα δει π.χ. κάπου το εξής: Σήμερα ο πατέρας έχει διπλάσια ηλικία από τον γιο του, ενώ πριν $5$ χρόνια είχε τριπλάσια. Ποια θα είναι η σχέση των ηλικιών τους μετά από $10$ χρόνια. Στις απαντήσεις είχε το "σωστό" $3/2$. Πέρα από το ότι δεν αναφέρει τίποτα για την ηλικία της μαμάς, αναρωτιέμαι αν το...

Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x(1+x^k)}\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{x^{k-1}}{1+x^k}\right)\,\mathrm{d}x = \left[\log(x) - \frac{1}{k}\log(1+x^k) \right]_1^2 = \log(2) - \frac{1}{k}\log\left(\frac{1+2^k}{2} \right)$ Με επαγωγή (στο $m=n-r$ ...