Είναι γνωστό ότι ο είναι άρρητος για . Από την στιγμή που το έχουμε αυτό η άσκηση είναι ουσιαστικά τετριμμένη αφού αν , με θετικό ακέραιο και μη αρνητικό ακέραιο, τότε που δίνει και .

Βάζω μια σύντομη λύση αν και δεν είναι η αρχική μου απόδειξη. Ισοδύναμα, θέτοντας $m = n-k$, θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle \sum_{i=0}^m (-1)^i \binom{m}{i} \frac{(k+1)(k+2) \cdots (k+m+1)}{m!(k+i+1)} = 1$ το οποίο είναι προφανές (λέμε τώρα) αφού το αριστερό μέλος είναι το πολυώνυμο παρεμβολ...

ΘΕΜΑ 2. Δέκα αριθμοί επιλέγονται από τους $1,2,3,\ldots, 37.$ Να δειχθεί ότι μπορούμε να επιλέξουμε τέσσερις διακεκριμμένους αριθμούς από αυτούς τους δέκα, έτσι ώστε το άθροισμα δύο εξ αυτών να ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο. (δεν είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση) Έστω $a,a+d_1,a+d_1,.......

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....

αρχιμήδης έγραψε: ↑

Τετ Ιουν 26, 2019 1:48 pm

Τα αποτελέσματα από την jbmo ξέρει κανείς πότε θα αναρτηθούν στην επίσημη σελίδα;

Είναι ήδη αναρτημένα εδώ.

Έστω $X_1,X_2,\ldots$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές οι οποίες παίρνουν την τιμή $1$ με πιθανότητα $c$ και την τιμή $0$ με πιθανότητα $1-c$. Έστω $Y_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$. Τότε $\displaystyle P\left(Y_n < c\right) = \sum_{i < nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i}$ και $\displaystyle P\left(Y_n \geq...

Το (Ι) είναι το θεώρημα Lucas. (Υπάρχει απόδειξη με γεννήτριες συναρτήσεις στο σύνδεσμο.) Το (ΙΙ) είναι ασφαλώς άμεση συνέπεια του (Ι). Είναι επίσης και συνέπεια του θεωρήματος Kummer

ΘΕΜΑ 2. Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει ένα πολλαπλάσιο του $n$ το οποίο έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με $n$. Γράφουμε $n = 2^a \cdot 5^b \cdot m$ όπου $a,b$ μη αρνητικοί ακέραιοι και $m$ θετικός ακέραιος με $(m,10)=1$. Τότε $10^{k\varphi(m)} \equiv 1 \bmod m$ για κάθε θετικό ακέραιο...

Πολύ ωραία τα test σου Αχιλλέα! Ήταν τυχερός ο Θάνος που είχε τη βοήθειά σου! Ως Πρόεδρος της Problem Solving Committee προτίμησα να μην ασχοληθώ με τα test σου πριν το διαγωνισμό μήπως και κάποια λύση που θα έβαζα εμπεριείχε ιδέες παρόμοιες με λύσεις θεμάτων που προτάθηκαν. Τώρα όμως μπορώ ελεύθερα...

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ. (Δείτε την τελευταία γραμμή.)

Υπάρχουν άλλοι;

Altrian έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 24, 2019 12:04 pm

Demetres έγραψε: ↑

Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am

Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.

Καλημέρα.Επισυνάπτω μια λύση. Υπάρχουν και άλλες ισοδύναμες.

Δεν είναι σωστή. Υπάρχουν κελιά με τρεις μαύρους γείτονες.

silouan έγραψε: ↑

Σάβ Ιουν 22, 2019 6:28 pm

Προφανώς η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες,

Μπορούμε εδώ να χρησιμοποιήσουμε και τον κανόνα προσήμων του Descartes για να δούμε ότι το πολυώνυμο έχει ακριβώς μία θετική και ακριβώς μία αρνητική ρίζα.

Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.

Η Κυπριακή αποστολή κατέκτησε τέσσερα χάλκινα μετάλλια με τους:

Κυριάκο Τσιαννή
Μιχάλη Χριστοφή
Παναγιώτη Χατζηκώστα
Δανάη Μακρίδου

Επίσης από την δεύτερη μας ομάδα χάλκινο μετάλλιο κατέκτησε ο:

Ραφαήλ Στυλιανιού

Πες μας επίσης γιατί η $\displaystyle f(z) = \tfrac{z}{2}\left(1 + \cos\left( \tfrac{\pi}{z} \right) \right)$ δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης $f(0) = 0$.) Συγχωρέστε με αν πω πατάτα, αν δείξουμε ότι η f δεν είναι μιγαφικώς παραγωγίσιμη στο 0 δεν έχουμε απαντήσει? Ναι, αυτό πρέπει να δείξεις...

Πες μας επίσης γιατί η δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης .)

Γνωρίζεις την απάντηση της άσκησης ή χρειάζεσαι βοήθεια για να την λύσεις;

Για το Α4) το β ) αν κάποιος απαντούσε: "Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα? Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) ...

Για το Α4) το β ) αν κάποιος απαντούσε: "Λάθος, διότι πρέπει η f να ειναι συνεχής στο x0 (και υπάρχουν μη-συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο σημείο)." δεν θα ήταν επισης σωστή η απαντηση του χωρίς να δώσει αντιπαράδειγμα? Η παρένθεση ειναι δικιά μου. Θα ηταν σωστή λοιπόν η παραπάνω απάντηση στο Α4) β) ...

LXXXII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXX Μαθηματική Γιορτή, θέματα της 7ης τάξης. Πρόβλημα 6. Στη σειρά είναι τοποθετημένα $100$ νομίσματα, μερικά με κορόνα προς τα πάνω και τα υπόλοιπα με γράμματα προς τα πάνω. Με μια κίνηση επιτρέπεται να διαλέξουμε εφτά νομίσματα, που κείτονται ανά ίσα διαστήματα ...