Γράφω $a_i$ για το μήκος του $P_{i-1}P_{i}$. $(0 \leqslant i \leqslant pq-1)$. Γράφω επίσης $\omega = e^{2\pi i/q}$. Κάθε γωνιά του πολυγώνου ισούται με $\displaystyle \frac{(pq-2)\pi}{pq}$ οπότε οι εξωτερικές γωνιές ισούνται με $\frac{2\pi}{pq}$. Επομένως έχουμε $\displaystyle a_0 + a_1\omega + a_2...

Προσπάθησε από το



να καταλήξεις σε άτοπο. Αυτό θα σου δώσει ότι το είναι το κενό σύνολο.

Το πρώτο μισό είναι εντάξει. Στο δεύτερο μισό δεν πρέπει να ξεκινήσεις από Έστω $x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.$ αλλά από Έστω $A\setminus B\subseteq B\setminus A.$ Επίσης το $x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A$, άρα $A\subseteq B$. χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση.

Διαφορετικά: Ας γράψουμε $R(m,k)$ για το πλήθος των λέξεων $m$ γραμμάτων στο αλφάβητο $A,B$ όπου ακριβώς $k$ από τα γράμματα είναι $A$ και σε κάθε αρχικό κομμάτι της λέξης υπάρχουν τουλάχιστον διπλάσια $A$ από $B$. Το ζητούμενο ισούται με $R(3n,2n)$ αφού σε κάθε κίνηση του βατράχου μπορούμε να αντισ...

Έχουμε $\displaystyle I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)} = \int_{3}^{-3} \frac{-\mathrm{d}t}{3+f(-t)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(-x)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+\frac{9}{f(x)}} = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} \frac{f(x)}{3+f(x)} \, \mathrm{d}x $ Άρα $\displaystyle 6I = \i...

Αμέλησα να το γράψω αλλά μια γενίκευση του πιο πάνω το Λήμμα 1 του κεφαλαίου 10 στο βιβλίο "Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability" του Bollobás. Μπορείτε να δείτε το Λήμμα 1 εδώ: https://books.google.cz/books?id=psqFNlngZDcC&printsec=frontcover&hl...

dement έγραψε: ↑

Τετ Αύγ 01, 2018 4:25 pm

Κατ' αρχάς μια απαραίτητη διόρθωση: Το πρόβλημα αναφέρεται σε τετράγωνο πίνακα με ρητά στοιχεία, όχι ακέραια.

Σωστά. Η εκφώνηση μιλούσε για ρητά στοιχεία. Απολογούμαι για το λάθος αν και δεν επηρέαζε την τελική απάντηση.

Ας υποθέσουμε ότι $f(1) = k$. Αν $k=1$ τότε $f(f(1)) = 1$, άτοπο. Αν $k=2$ πρέπει $f(2) = 2$. Πρέπει επίσης $f(3) +f(4) + f(5) = 9$. Μπορούμε να γράψουμε το $9$ ως $x+y+z=9$ με $x \geqslant y \geqslant z$ και $x,y,z \in \{1,2,3,4,5\}$ με τους πιο κάτω τρόπους: $5+3+1,5+2+2,4+4+1,4+3+2,3+3+3$. (Κατά ...

Θα χρησιμοποιήσω το πιο κάτω το οποίο αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά. Μια σκιαγράφηση της απόδειξης βρίσκεται εδώ . Αν $f$ ομαλή συνάρτηση και $r$ φυσικός τότε $\displaystyle{ \sum_{k=0}^r (-1)^{r-k} \binom{r}{k} f(x+k) = f^{(r)}(\xi) }$ για κάποιο $\xi \in (x,x+r)$. Στην περίπτωσή μας, για $r=n+1$ ...

Έστω όπου . Να υπολογιστεί το

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών πολυωνύμων με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με ώστε το να διαιρεί το και το να διαιρεί το .

Έστω $\Omega =\{ (x,y,z)\in \mathbb{Z}^3:y+1\geqslant x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\}$. Ένας βάτραχος κινείται στα σημεία του $\Omega$ με πηδήματα μήκους $1$. Για κάθε θετικό ακέραιο $n$ να βρεθεί με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ξεκινώντας από το $(0,0,0)$ να φτάσει στο $(n,n,n)$ σε ακρι...

Έστω ακολουθία πραγματικών ώστε και

για .

Να δειχθεί ότι η συγκλίνει.

Έστω θετικός ακέραιος . Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο υπάρχουν μη μηδενικά διανύσματα στο ώστε για κάθε με τα διανύσματα να είναι κάθετα.

Ήμουν σίγουρος ότι την είχα δει ξανά στο βιβλίο του Halmos "Linear Algebra Problem Book". Το μετροφύλλισα χθες χωρίς να βρω κάτι. Σήμερα θυμήθηκα. Ήταν σε βιβλίο του Halmos αλλά όχι στο πιο πάνω. Είναι η άσκηση 10Β3 στο βιβλίο "Problems for Mathematicians, Young and Old". Αντιγράφω την λύση μιας και...

Έστω πρώτοι αριθμοί με . Έστω κυρτό πολύγωνο με όλες τις γωνίες του ίσες και όλες τις πλευρές του να έχουν διακεκριμένα ακέραια μήκη. Να δειχθεί ότι



για κάθε .

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε



για κάθε .

Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί ώστε ο πίνακας



να είναι το τετράγωνο ενός πίνακα με ρητά στοιχεία.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση.

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;

Έστω ακολουθίες θετικών αριθμών $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ και $(b_n)_{n=1}^{\infty}$. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Υπάρχει ακολουθία θετικών αριθμών $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ ώστε οι σειρές $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{c_n}}$ και $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac...