Ας το δούμε. Μοιάζει λίγο με τη δεύτερη επίσημη λύση στη σκέψη αλλά διαφέρει στην εκτέλεση. Προφανώς ο $p=2$ απορρίπτεται αφού ο $a^3 - 3a + 1$ είναι πάντα άρτιος. Επίσης ο $p = 3$ είναι δεκτός αφού $a^3 - 3a + 1 \equiv a+1 \bmod 3$ άρα $3|a^3 - 3a + 1 \iff a \equiv 2 \bmod 3$. Υποθέτουμε τώρα ότι $...

Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές ικανοποιεί την εξίσωση για κάθε . Να αποδειχθεί ότι για κάθε .

Έστω ακέραιος $d \geqslant 2$. Να δειχθεί ότι υπάρχει σταθερά $C(d)$ ώστε να ισχύει το εξής: Για κάθε κυρτό πολύτοπο $K \subseteq \mathbb{R}^d$ το οποίο είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, και κάθε $\varepsilon \in (0,1)$, υπάρχει κυρτό πολύτοπο $L \subseteq \mathbb{R}^d$ με το πολύ $C(d)\...

Έστω πίνακες τέτοιοι ώστε όπου ο ταυτοτικός πίνακας. Να αποδειχθεί ότι

Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) $w$ οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: (1) Η $w$ αποτελείται από $n$ γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$. (2) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $a$. (3) Η $w$ έχει άρτιο πλήθος από $b$. ...

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει: $f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και $f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$ Επαγωγικά είναι απλό ότι $f(x+n) = f(x) + n$ για κάθε $x \in \mathbb{N}^+$. Έστω $q \in \mathbb{Q}^+$ και έστω $n \in \mat...

Μα έχω δείξει πιο πάνω ότι μόνο η γραμμική ικανοποιεί το συγκεκριμένο. Με μόνη διαφορά ότι το δεν καθορίζεται μονοσήμαντα. Όλα τα ικανοποιούν. Αλλά άλλη τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.

ΘΕΜΑ 2 Στην περιφέρεια ενός κύκλου τοποθετούμε τους αριθμούς $1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.$ Έστω $S$ το μεγαλύτερο άθροισμα τριών διαδοχικών αριθμών. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $S.$ Αγνοώντας το $1$ οι υπόλοιποι αριθμοί χωρίζονται σε τρεις τριάδες διαδοχικών αριθμών με συνολικό άθροισμα $84...

Για $a=0$ και $b=x \neq 0$ είναι $\xi = 0$ οπότε πρέπει $f(x) = f(0) + xf'(0)$. Η συγκεκριμένη ικανοποιείται και για $x=0$ οπότε η $f$ είναι γραμμική. Όπως έχει ήδη παρατηρήσει ο Μιχάλης, οποιαδήποτε γραμμική ικανοποιεί τη συνθήκη. Αν απαγορεύσουμε την επιλογή $a=0$ αφού κανονικά είναι $\displaystyl...

Filippos Athos έγραψε: ↑

Σάβ Ιούλ 25, 2020 9:14 pm

Όμως αντικαθιστωντας το στις αρχικές εξισώσεις δεν παίρνουμε δέκτες λύσεις. Άρα η άσκηση αποδείχθηκε.

Εντάξει, δεν είναι δύσκολο από δω και πέρα, καλό όμως είναι να γίνουν οι πράξεις.

Αν $y = 0$, τότε $7^x = z^2-1 = (z-1)(z+1)$. Επειδή $(z-1,z+1) = (z-1,2) \in \{1,2\}$, πρέπει $z-1 = 1$. Τότε $z=2$ που δίνει $7^x = 3$, άτοπο. Άρα $y \geqslant 1$ οπότε $7^x \equiv z^2 \bmod 5$. Έχουμε $z^2 \equiv 0,1,4 \bmod 5$. Αν όμως $x$ περιττός τότε $7^x \equiv 2,3 \bmod 5$, άτοπο. Άρα $x = 2...

Νομίζω στον σύνδεσμο δεν παραθέτει μαθηματικούς όρους με λατινογενή ρίζα, αλλά άλλες λατινικές λέξεις ή φράσεις που μπορεί κάποιος να συναντήσει και στα μαθηματικά. (Γι' αυτό απουσιάζουν όλοι αυτοί οι όροι που παραθέτει ο Νίκος καθώς και άλλοι πολλοί βέβαια.) Κάτι άλλο που μου προξένησε εντύπωση είν...

Ας δούμε ακόμη μία. Σύντομη μεν, εκτός φακέλου δε. Μπορώ να γράψω $c, \overline{c},-c,-\overline{c}$ για τους μιγαδικούς που αντιστοιχόυν στα $C,B,A,D$ στο σχήμα του Γιώργου στη δεύτερη ανάρτηση. Τότε $\displaystyle \begin{aligned} (MA)(MC) = (MB)(MD) &\iff |z^2 - c^2| = |z^2 - \overline{c}^2| \\ &\...

Επιλέγουμε τους $k$ κοινούς μαθητές με $\binom{r}{k}$ τρόπους. Ακολούθως τους υπόλοιπους $n-k$ μαθητές που θα διαγωνιστούν στη συνδυαστική με $\binom{r-k}{n-k}$ τρόπους και τους υπόλοιπους $m-k$ μαθητές που θα διαγωνιστούν στη γεωμετρία με $\binom{r-n}{m-k}$ τρόπους. Τελική απάντηση: $\displaystyle ...

Φέτος διεξήχθει για πρώτη φορά ο διαγωνισμός Cyberspace Mathematical Competition. Ελλάδα και Κύπρος λάβαμε μέρος με πλήρεις ομάδες των 8 ατόμων εκ των οποίων τα 2 ήταν απαραίτητα κορίτσια. Ο διαγωνισμός έλαβε μέρος τη Δευτέρα 13/7 και Τρίτη 14/7. Κάθε μέρα αποτελείτο από 4 προβλήματα το πρώτο εκ των...

Μιχάλη, έχει γίνει ένα μπέρδεμα στο θέμα που αναφέρεσαι. Η ανισότητα δεν έχει ακόμη αποδειχθεί.

Έχει γίνει ένα μπέρδεμα εδώ μιας και έχουμε δυο διαφορετικές ανισότητες. Επανέφερα ένα κομμάτι στην αρχική ανάρτηση που μάλλον διαγράφηκε ή τροποποιήθηκε. Ονόμασα τις ανισότητες 1 και 2 ώστε να ξέρουμε για ποιες μιλάμε. Η Ανισότητα 1, με κάποιες απαραίτητες διορθώσεις $z=x+iy$ έχει λυθεί. Η Ανισότητ...

Μπορούμε βέβαια να σκεφτούμε και ως εξής: Αν ο Λάμπρος πήρε το $6$ σαφώς και δεν θα ζητήσει να αλλάξουμε. Αν πήρε το $5$ πάλι δεν θα ζητήσει να αλλάξουμε διότι αν έχω το $6$ σίγουρα δεν θα δεχθώ οπότε μόνο σε χειρότερη μοίρα μπορεί να είναι. Αν πήρε το $4$ πάλι δεν πρέπει να ζητήσει να αλλάξουμε. Δι...

Ισοδύναμα, γράφοντας $n = qk+r$ με $r \in \{0,1,2,\ldots,k-1\}$, θέλουμε να υπολογίσουμε το $\displaystyle S =\sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1} \frac{r}{(qk+r)^2+(qk+r)} = \sum_{q=0}^{\infty} \sum_{r=1}^{k-1} \left(\frac{r}{qk+r} - \frac{r}{qk+r+1}\right) $ Τηλεσκοπικά όμως, είναι $\displaystyle ...

Για , πρώτο, έχουμε . Τότε όμως, αν το σύνολο των πρώτων, είναι



το οποίο είναι γνωστό ότι αποκλίνει.