Το δεκαδικό μέρος των $a/b$ και $a'/b$ είναι το ίδιο αν $a \equiv a' \bmod b$ οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $a > 0$. Τότε υπάρχει $m \geqslant 3$ ώστε το πηλίκο του $10^m/b$ λήγει σε $143$. Δηλαδή $10^ma = qb + r$ με $q \equiv 143 \bmod 1000$ και $0 \leqslant r < b$. Αφού $m \geqslant 3$, τότε $1...

Άσκηση 1 (Special paper, Ιούνιος 1977). Αν $z=re^{i\theta} $ και $\lambda = e^{i\pi /n}$, όπου $n,k$ θετικοί φυσικοί, να εκφράσετε το $ \left |z+\lambda ^k\right |^2 $ συναρτήσει των $r, \, \theta, \, k$. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \sum _{k=1}^{2n} \cos \left ( \theta - \dfrac {k\pi}{n} \right ) =0...

Θεωρούμε τη συνάρτηση



και παρατηρούμε ότι .

Α΄ Κατηγορία Πρόβλημα 1: Μυρμήγκια κάθονται σε κάθε μια από τις κορυφές $A_i \ (i=1,2,...,n)$ και στο κέντρο $O$ ενός κανονικού ν-γώνου. Τα μυρμήγκια ξεκινούν να κινούνται κατά μήκος των πλευρών του ν-γώνου και κατά μήκος των γραμμών $A_iO \ (i=1,2,...,n)$. Υπολογίστε την πιθανότητα να μη συναντηθο...

Αρχικά μαντεύουμε ότι η $\{1,\vartheta,\vartheta^2\}$ είναι μια βάση. (Αν είναι λάθος αυτό που μαντέψαμε δεν πειράζει, θα διορθωθεί αργότερα.) Πρέπει τώρα να βρούμε τη διακρίνουσα $\Delta(1,\vartheta,\vartheta^2)$. Αν $\beta,\gamma$ οι άλλες δύο ρίζες του πολυωνύμου τότε έχουμε $\displaystyle \Delta...

Έστω $x,y,z$ οι ρίζες του $P$. Τότε $\displaystyle x+y+z = \frac{\beta}{\alpha} < \frac{\delta}{\gamma} = \frac{xyz}{xy+yz+zx} $ Ας παρατηρήσουμε ότι $xy+yz+zx = \frac{\gamma}{\alpha} > 0$. Έστω $x \in \mathbb{R}$. Αφού $\delta \neq 0$, τότε $x \neq 0$. Τότε έχουμε $\begin{aligned} x \geqslant \frac...

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντές μας!

Α΄ Κατηγορία Πρόβλημα 6: Είναι δυνατό στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb{R}^{2}$ ένα αριθμήσιμο σύνολο μεμονωμένων σημείων να έχει μη υπεραριθμήσιμα συσσώρευσης; Ναι υπάρχει. Έστω $q_1,q_2,\ldots$ μια απαρίθμηση των ρητών και έστω $\mathbb{N} = A_1 \cup A_2 \cup \cdots$ όπου $Α_1,A_2,\ldots$ ξένα μεταξύ...

Β΄ Κατηγορία Πρόβλημα 6: Να αποδειχτεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n\geq 3$ υπάρχουν $n$ διακριτά σημεία στο επίπεδο, όχι συνευθειακά, ώστε όλες οι ανά δύο αποστάσεις μεταξύ των σημείων αυτών είναι ακέραιοι αριθμοί. Ας το δυσκολέψουμε. Δείξτε το ίδιο με την επιπλέον συνθήκη ότι τα σημεία πρέπει να...

Ευχαριστούμε Νίκο. Το έκανα. Να προσθέσω και εγώ κάποιες προτάσεις. Αναμένουμε και από άλλους προτάσεις, ειδικά από όσους διακρίθηκαν σε τέτοιους διαγωνισμούς. Για Ανάλυση προτείνω και την τριάδα βιβλίων "Problems in Mathematical Analysis" των Kaczor και Nowak. Νομίζω είναι πιο απλό για αρχή από το ...

Το axiom of foundation ισχύει παρόλο που έχουμε ότι $1 \in 1$. Μάλλον για να πάρεις ότι αν ισχύει το axiom of foundation συνεπάγεται ότι $A \notin A$ μάλλον χρησιμοποιείς ένα από τα αξιώματα schema που δεν ισχύουν στο συγκεκριμένο μοντέλο. Axiom of Foundation Για κάθε $x$ έχουμε ότι αν $x \neq \emp...

Και τα δύο βραβεία είναι εξίσου σημαντικά. Τα ονόματα των μαθηματικών που τα κέρδισαν το επιβεβαιώνουν. Σε μια παλιά του συνέντευξη ο Endre Szemerédi είχε πει ότι τα τρία σημαντικότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το Fields Medal, το Wold Prize και το Abel Prize. Όταν αργότερα τον ρώτησαν πως νιώθει...

Δεν νομίζω ότι ισχύουν και τα 7. Π.χ. δεν ισχύει το axiom of regularity/foundation αφού το συγκεκριμένο αξίωμα έχει ως συνέπεια ότι $A \notin A$ για κάθε $A$. Επίσης, αναλόγως με το πως θα γραφτεί το Axiom of Pairing τότε μπορεί και να μην ισχύει. Π.χ. το σύνολο $\{0\}$ δεν ανήκει στο V αφού δεν είν...

Βγαίνει και στοιχειωδώς. Θα υποθέσω ότι $a \geqslant 0$. Επιλέγω $z = \sqrt{3}/3$ και αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν πραγματικοί $x,y$ ώστε $x^2 + y^2 = 2/3$ και $x+y = a - \sqrt{3}/3$. Τότε $\begin{aligned} \Delta &= (x+y)^2 - 4xy = x^2 + y^2 - 2xy = 2(x^2+y^2) - (x+y)^2 \\ &= \frac{4}{3} - a^2 + \fra...

Στην υπόδειξη χρησιμοποιεί ότι $tr(ABC)=tr(ACB)$, αυτό από που το συμπεραίνουμε; Από ότι έχω δει στην θεωρία ισχύει $tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$ και $tr(ABC)=tr(ACB)$ ισχύει μόνο αν είναι συμμετρικοί οι πίνακες. Σωστά, αλλά εδώ ισχύει επίσης ότι $AC = I$ άρα $C = A^{-1}$ και $CA = I = AC$. Οπότε έχουμ...

Ναι Τόλη, αυτός είναι ο λόγος. Ψάχνοντας το λίγο βρήκα και τη σωστή εντολή. Με τον πιο κάτω κώδικα θα μας δώσει την απάντηση σε 890 δεκαδικά ψηφία. Το 890 το επέλεξα γνωρίζοντας πως η τελική απάντηση είναι περίπου $10^{-879}$ και είπα να έχω καμιά δεκαριά ακόμη ψηφία. N[Integrate[(x*ln(x))^2020,{x,0...

Το Wolfram δίδει απάντηση $0$, αλλά πολύ αμφιβάλω αν όντως κάνει τόσο. Προφανώς δεν είναι σωστό αφού το ολοκλήρωμα είναι σίγουρα θετικό. (Ολοκλήρωμα συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης η οποία δεν είναι ταυτοτικά μηδέν.) Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η τελική απάντηση είναι πολύ μικρή (δείτε τον ασυμπτω...

ΘΕΜΑ 4 Έστω $n\geq 3$ ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα $n\times n$ που αποτελείται από $n^2$ μοναδιαία τετράγωνα. Για κάθε θετικό ακέραιο $m$ έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια $1 \times m$ (τύπου I) και ορθογώνια $m\times 1$ (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα $n \...

Γρηγόρη και Γιώργο, δεν αρκεί μόνο η εύρεση μέγιστου και ελάχιστου αφού τότε θα έχουμε δείξει μόνο το .

Για την ισότητα μπορούμε π.χ. να επικαλεστούμε ότι η συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτική.

Η προσθετική θεωρία αριθμών είναι ένας μαγικός κλάδος. Δεύτερη Άσκηση Ο $k$-οστός τριγωνικός αριθμός είναι ο $\frac{k(k+1)}{2}$. Είναι γνωστό(Gauss) ότι κάθε μη αρνητικός ακέραιος είναι άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών. Να δείξετε ότι αυτό δεν βελτιώνεται, δηλαδή ότι δεν είναι όλοι οι ακέραιοι άθρ...