Η αναζήτηση βρήκε 8027 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Τετ Φεβ 24, 2021 3:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 227
Re: Πρόβλημα Κίνησης: Εργάτης - Λεωφορείο - Οδηγός
Ένας σύντομος τρόπος είναι ο εξής: Θα γράψω Γ για το σημείο όπου συναντήθηκε ο εργάτης με το αυτοκίνητο και Δ για το σημείο όπου βρισκόταν το αυτοκίνητο όταν ο εργάτης κατέβηκε από το λεωφορείο. Έστω επίσης Ε το εργοστάσιο. Άρα έχουμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε στη σειρά. Κάθε μέρα ο εργάτης πάει από το Α ...
- Τετ Φεβ 24, 2021 3:16 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Με το μάτι
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 131
Re: Με το μάτι
Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x) = e^{x/a} - \ln(ax)$ όπου $a > 0$. Για να έχουμε μοναδική ρίζα στο σημείο $x = t$ είναι εύκολο να δειχθεί ότι θέλουμε $f(t) = f'(t) = 0$. Επειδή $f'(x) = \frac{1}{a}e^{x/a} - \frac{1}{x}$, θέλουμε $\frac{t}{a}e^{t/a} = 1$. Έστω $g(x) = xe^x$. Η αντίστροφη συνάρτηση της $g$ ο...
- Σάβ Φεβ 20, 2021 6:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 447
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 5. Στην Χρωματούπολη κατοικούν $99^2$ χρωματούληδες. Μερικοί από τους οποίους είναι ευγενείς (λένε πάντα την αλήθεια) και οι υπόλοιποι ψεύτες (λένε πάντα ψέματα). Τα σπίτια στην πόλη είναι τοποθετημένα ...
- Πέμ Φεβ 18, 2021 1:58 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Γινόμενο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 203
Re: Γινόμενο
Θέτοντας $f(n) = \omega(n)/n$, αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} f(n)^{1/n} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{n}\right)^{1/n} \neq 0$ Ισοδύναμα θέλουμε $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(f(n))}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log(n+1)-\log(n)}{n}$ Οι δυνάμει...
- Τετ Φεβ 17, 2021 2:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Απόδειξη μιας εικασίας
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 286
Re: Απόδειξη μιας εικασίας
Η συγκεκριμένη εικασία είναι από τις σπουδαιότερες εικασίες στη θεωρία γραφημάτων και το ότι επετεύχθει για όλα τα μεγάλα $n$ είναι εντυπωσιακό. Ο Erdos την είχε προκυρήξει και με βραβείο 500 δολαρίων σε όποιον την έλυνε. Είμαι σίγουρος ότι αν ζούσε θα τα πλήρωνε έστω και αν δεν έχει αποδειχθεί για ...
- Τετ Φεβ 17, 2021 1:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1200
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
Έβαλα μια λύση για το 4 εδώ.
- Τετ Φεβ 17, 2021 1:05 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Mια συνδυαστική!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 616
Re: Mια συνδυαστική!
Θα δείξουμε ότι γίνεται για $n=2000$ αλλά όχι για $n=2001,2002$ Έστω ότι γίνεται για κάποιο $n$. Για κάθε αριθμό $k$, έστω $x_k,y_k$ οι θέσεις που εμφανίζεται με $x_k < y_k$. Τότε είναι $\displaystyle \sum_{k=1}^n (x_k+y_k) = 1+2+\cdots + 2n = \frac{2n(2n+1)}{2} $ και $\displaystyle \sum_{k=1}^n (y_...
- Τετ Φεβ 17, 2021 9:58 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1200
Re: Τεστ Εξάσκησης (15), Μεγάλοι
ΘΕΜΑ 2 Για όλους τους θετικούς ακεραίους $m>n$ να δείξετε ότι: $\displaystyle{\lcm(m,n)+\lcm(m+1,n+1)>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}}$ Μία διαφορετική για το 2. Είναι: $\left [ m,n \right ]\leqslant mn, \left [ m+1,n+1 \right ]\leqslant (m+1)(n+1)$. Πρέπει, συνεπώς, να ισχύει ισοδύναμα: $mn+(m+1)(n+1)>\fr...
- Κυρ Φεβ 14, 2021 6:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 347
Re: Η συμμετρία δείχνει τον δρόμο
Διαφορετικά: Παρατηρώ ότι $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{1+a} = 1 - \frac{2a}{a^3} = 1 - \frac{2}{a^2}$ Έχουμε $1 = a^3 - a$, άρα $\displaystyle \frac{1}{a} = a^2 - 1$ και $\displaystyle \frac{1}{a^2} = a - \frac{1}{a} = a-a^2+1$ Άρα $\displaystyle \frac{1-a}{1+a} = 1 - 2(a - a^2 + 1...
Re: Ορίζουσα
Έστω $r_1,\ldots,r_{k+1}$ οι γραμμές του πίνακα. Για $m=k,k-1,\ldots,1$, με αυτή τη σειρά, αλλάζω τη γραμμή $r_{m+1}$ στην γραμμή $\displaystyle \sum_{\ell = 0}^m \binom{m}{l} (-1)^{m-\ell}r_{\ell+1}$ Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην $r_{m+1}$ προηγούμενες γραμμές που δεν ...
- Τρί Φεβ 02, 2021 3:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Μέγιστο εσωτερικού γινομένου
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 246
Re: Μέγιστο εσωτερικού γινομένου
$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OD} \cdot &= \left(\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AC}\right) \cdot \left(\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{BD}\right) \\ &= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{OB} ...
- Σάβ Ιαν 30, 2021 12:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1179
Re: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
Πέραν από το προφανές που νομίζω όλοι θα συμφωνήσουν ότι η πληροφόρηση για το πως διανέμονται τα χρήματα του φορολογούμενου είναι επιθυμητή, ας μην μπούμε σε πολιτική συζήτηση για το ποιο οικονομικό μοντέλο σε σχέση με την τριτοβάθμια εκπαίδευση είναι καλύτερο. Ο καθένας μας έχει τις απόψεις του και...
- Παρ Ιαν 29, 2021 11:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1179
Πανεπιστήμιο Λέστερ - Κατάργηση έρευνας στα καθαρά μαθηματικά
Το Πανεπιστήμιο του Λέστερ αποφάσισε να παύσει την έρευνα των ακαδημαϊκών του στα καθαρά μαθηματικά και να προσλάβει στη θέση του λέκτορες με εστίαση στη διδασκαλία για την παράδοση των μαθημάτων του προπτυχιακού του προγράμματος. Όσοι θέλετε μπορείτε να υπογράψετε διαδικτυακή αίτηση για άρση αυτής ...
- Πέμ Ιαν 28, 2021 12:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Τέλειο τετράγωνο
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 430
Re: Τέλειο τετράγωνο
Βγαίνει με χρήση γενικευμένης Pell. Αρχικά παρατηρούμε από modulo 4 ότι ο $x$ είναι περιττός. Οπότε ψάχνουμε λύσεις της $\displaystyle a^2 - 7b^2 = 2$ με την επιπλέον συνθήκη ότι το $b$ πρέπει να είναι δύναμη του $7$. Η θεμελιώδης λύση της $a^2 - 7b^2 = 1$ είναι η $(8,3)$. Κάθε θεμελιώδης λύση της $...
- Δευ Ιαν 25, 2021 12:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συνάρτηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 204
Re: Συνάρτηση
Για $x=y=0$ παίρνω $f(f(0)) = f(0)^2$. (1) Για $x=y=t$ παίρνω $f(f(0)) = f(t)^2 - t^2$. Άρα έχω και $f(t)^2 = t^2 + f(0)^2$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (2) Για $x=t,y=0$ παίρνω $f(f(t)) = f(t) - f(0) + f(t)f(0)$. Αυτό ισχύει για κάθε $t \in \mathbb{R}$. (3) Έστω $f(0) = a$. Από την (1) παίρνω $f(a)...
- Σάβ Ιαν 23, 2021 7:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1083
Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Αφού δείξουμε ότι τα
είναι μη αρνητικοί, βγαίνει και με modulo 8. Το αριστερό μέλος δεν είναι πολλαπλάσιο του
οπότε αναγκαστικά
και τα πράγματα πλέον είναι εύκολα.



- Πέμ Ιαν 21, 2021 1:35 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
- Απαντήσεις: 26
- Προβολές: 1282
Re: Οι διχοτόμοι τριγώνου συγκλίνουν
Δεν διάβασα με προσοχή όλες τις αποδείξεις οπότε ελπίζω να μην μπήκε. Έστω $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών $B$ και $C$. Θεωρώ τον μετασχηματισμό που προκύπτει μετά από ανάκλαση πρώτα στην $BI$ και μετά στην $CI$. Αυτός είναι στροφή με κέντρο το $I$ και γωνία διπλάσια της $\angle BIC = 1...
- Τετ Ιαν 20, 2021 12:48 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Αριθμοί σε κύκλο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 161
Re: Αριθμοί σε κύκλο
Ας παρατηρήσουμε ότι δεν μπορεί κάποιος από τους αριθμούς να είναι ίσο με $1$ αφού τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο γειτονικών του θα ήταν ίσος με $0$, άτοπο. Έστω $n$ ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς. Οι δυο γειτονικοί του έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το $n-1$ άρα πρέπει και οι δύο να είναι ...
- Τετ Ιαν 20, 2021 12:03 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Ηλικία της Φωτεινής
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 246
Re: Ηλικία της Φωτεινής
Είχα δει π.χ. κάπου το εξής: Σήμερα ο πατέρας έχει διπλάσια ηλικία από τον γιο του, ενώ πριν $5$ χρόνια είχε τριπλάσια. Ποια θα είναι η σχέση των ηλικιών τους μετά από $10$ χρόνια. Στις απαντήσεις είχε το "σωστό" $3/2$. Πέρα από το ότι δεν αναφέρει τίποτα για την ηλικία της μαμάς, αναρωτιέμαι αν το...
- Τετ Ιαν 20, 2021 11:55 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ολοκλήρωμα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 106
Re: Ολοκλήρωμα
Ας παρατηρήσουμε αρχικά ότι $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{x(1+x^k)}\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{x^{k-1}}{1+x^k}\right)\,\mathrm{d}x = \left[\log(x) - \frac{1}{k}\log(1+x^k) \right]_1^2 = \log(2) - \frac{1}{k}\log\left(\frac{1+2^k}{2} \right)$ Με επαγωγή (στο $m=n-r$ ...