Η αναζήτηση βρήκε 7314 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Αύγ 12, 2018 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 227

Re: IMC 2018/1/5

Γράφω $a_i$ για το μήκος του $P_{i-1}P_{i}$. $(0 \leqslant i \leqslant pq-1)$. Γράφω επίσης $\omega = e^{2\pi i/q}$. Κάθε γωνιά του πολυγώνου ισούται με $\displaystyle \frac{(pq-2)\pi}{pq}$ οπότε οι εξωτερικές γωνιές ισούνται με $\frac{2\pi}{pq}$. Επομένως έχουμε $\displaystyle a_0 + a_1\omega + a_2...
από Demetres
Πέμ Αύγ 09, 2018 3:48 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη ισοδυναμίας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 171

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Προσπάθησε από το

x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A

να καταλήξεις σε άτοπο. Αυτό θα σου δώσει ότι το A \setminus B είναι το κενό σύνολο.
από Demetres
Τετ Αύγ 08, 2018 1:43 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη ισοδυναμίας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 171

Re: Απόδειξη ισοδυναμίας

Το πρώτο μισό είναι εντάξει. Στο δεύτερο μισό δεν πρέπει να ξεκινήσεις από Έστω $x\in A\setminus B\subseteq B\setminus A.$ αλλά από Έστω $A\setminus B\subseteq B\setminus A.$ Επίσης το $x\in A\wedge x\notin B\Rightarrow x\in B\wedge x\notin A$, άρα $A\subseteq B$. χρειάζεται περαιτέρω δικαιολόγηση.
από Demetres
Τετ Αύγ 08, 2018 12:29 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 243

Re: IMC 2018/2/3

Διαφορετικά: Ας γράψουμε $R(m,k)$ για το πλήθος των λέξεων $m$ γραμμάτων στο αλφάβητο $A,B$ όπου ακριβώς $k$ από τα γράμματα είναι $A$ και σε κάθε αρχικό κομμάτι της λέξης υπάρχουν τουλάχιστον διπλάσια $A$ από $B$. Το ζητούμενο ισούται με $R(3n,2n)$ αφού σε κάθε κίνηση του βατράχου μπορούμε να αντισ...
από Demetres
Τρί Αύγ 07, 2018 12:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 189

Re: Ολοκλήρωμα

Έχουμε $\displaystyle I = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(x)} = \int_{3}^{-3} \frac{-\mathrm{d}t}{3+f(-t)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+f(-x)} = \int_{-3}^{3} \frac{\mathrm{d}x}{3+\frac{9}{f(x)}} = \frac{1}{3} \int_{-3}^{3} \frac{f(x)}{3+f(x)} \, \mathrm{d}x $ Άρα $\displaystyle 6I = \i...
από Demetres
Σάβ Αύγ 04, 2018 4:58 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

Re: IMC 2018/2/1

Αμέλησα να το γράψω αλλά μια γενίκευση του πιο πάνω το Λήμμα 1 του κεφαλαίου 10 στο βιβλίο "Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability" του Bollobás. Μπορείτε να δείτε το Λήμμα 1 εδώ: https://books.google.cz/books?id=psqFNlngZDcC&printsec=frontcover&hl...
από Demetres
Σάβ Αύγ 04, 2018 4:50 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/3
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 354

Re: IMC 2018/1/3

dement έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 4:25 pm
Κατ' αρχάς μια απαραίτητη διόρθωση: Το πρόβλημα αναφέρεται σε τετράγωνο πίνακα με ρητά στοιχεία, όχι ακέραια.
Σωστά. Η εκφώνηση μιλούσε για ρητά στοιχεία. Απολογούμαι για το λάθος :oops: αν και δεν επηρέαζε την τελική απάντηση. :)
από Demetres
Σάβ Αύγ 04, 2018 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μερικά θέματα από τον MYMC 2018
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 289

Re: Μερικά θέματα από τον MYMC 2018

Ας υποθέσουμε ότι $f(1) = k$. Αν $k=1$ τότε $f(f(1)) = 1$, άτοπο. Αν $k=2$ πρέπει $f(2) = 2$. Πρέπει επίσης $f(3) +f(4) + f(5) = 9$. Μπορούμε να γράψουμε το $9$ ως $x+y+z=9$ με $x \geqslant y \geqslant z$ και $x,y,z \in \{1,2,3,4,5\}$ με τους πιο κάτω τρόπους: $5+3+1,5+2+2,4+4+1,4+3+2,3+3+3$. (Κατά ...
από Demetres
Σάβ Αύγ 04, 2018 4:27 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ακέραιες τιμές πολυωνύμου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 191

Re: Ακέραιες τιμές πολυωνύμου

Θα χρησιμοποιήσω το πιο κάτω το οποίο αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά. Μια σκιαγράφηση της απόδειξης βρίσκεται εδώ . Αν $f$ ομαλή συνάρτηση και $r$ φυσικός τότε $\displaystyle{ \sum_{k=0}^r (-1)^{r-k} \binom{r}{k} f(x+k) = f^{(r)}(\xi) }$ για κάποιο $\xi \in (x,x+r)$. Στην περίπτωσή μας, για $r=n+1$ ...
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:49 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/5
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 111

IMC 2018/2/5

Έστω \mathcal{D}_R =\{ (a,b)\in \mathbb{Z}^2: 0<a^2+b^2<R\} όπου R > 1. Να υπολογιστεί το

\displaystyle \lim_{R\rightarrow \infty}{\sum_{(a,b)\in \mathcal{D}_R}{\frac{(-1)^{a+b}}{a^2+b^2}}}.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:47 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/4
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 102

IMC 2018/2/4

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη μιγαδικών πολυωνύμων P(x),Q(x) με μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με 1 ώστε το P(x) να διαιρεί το Q(x)^2+1 και το Q(x) να διαιρεί το P(x)^2+1.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 243

IMC 2018/2/3

Έστω $\Omega =\{ (x,y,z)\in \mathbb{Z}^3:y+1\geqslant x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\}$. Ένας βάτραχος κινείται στα σημεία του $\Omega$ με πηδήματα μήκους $1$. Για κάθε θετικό ακέραιο $n$ να βρεθεί με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ξεκινώντας από το $(0,0,0)$ να φτάσει στο $(n,n,n)$ σε ακρι...
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:41 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 359

IMC 2018/2/2

Έστω ακολουθία πραγματικών (a_n)_{n=0}^{\infty} ώστε a_0=0 και

\displaystyle a_{n+1}^3=a_n^2-8 για n=0,1,2,\ldots.

Να δειχθεί ότι η \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{|a_{n+1}-a_n|} συγκλίνει.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/2/1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 326

IMC 2018/2/1

Έστω θετικός ακέραιος k. Να βρεθεί ο μικρότερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο υπάρχουν k μη μηδενικά διανύσματα v_1,v_2,\ldots,v_k στο \mathbb{R}^n ώστε για κάθε i,j με |i-j|>1 τα διανύσματα v_i να v_j είναι κάθετα.
από Demetres
Πέμ Ιούλ 26, 2018 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 335

Re: IMC 2018/1/2

Ήμουν σίγουρος ότι την είχα δει ξανά στο βιβλίο του Halmos "Linear Algebra Problem Book". Το μετροφύλλισα χθες χωρίς να βρω κάτι. Σήμερα θυμήθηκα. Ήταν σε βιβλίο του Halmos αλλά όχι στο πιο πάνω. Είναι η άσκηση 10Β3 στο βιβλίο "Problems for Mathematicians, Young and Old". Αντιγράφω την λύση μιας και...
από Demetres
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 227

IMC 2018/1/5

Έστω πρώτοι αριθμοί p,q με p<q. Έστω κυρτό πολύγωνο P_1,P_2,…,P_{pq} με όλες τις γωνίες του ίσες και όλες τις πλευρές του να έχουν διακεκριμένα ακέραια μήκη. Να δειχθεί ότι

\displaystyle P_1P_2+P_2P_3+\cdots +P_kP_{k+1}\geqslant \frac{k^3+k}{2}

για κάθε 1\leqslant k\leqslant p.
από Demetres
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:27 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 198

IMC 2018/1/4

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f:(0,\infty) \to \mathbb{R} ώστε

\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f’(\sqrt{ab})

για κάθε a,b > 0.
από Demetres
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/3
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 354

IMC 2018/1/3

Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί a ώστε ο πίνακας

\displaystyle \begin{pmatrix} 
    a       & -a & -1 & 0 \\ 
    a       & -a & 0 & -1 \\ 
    1  & 0 & a & -a\\ 
    0      & 1 & a &  -a 
\end{pmatrix}

να είναι το τετράγωνο ενός πίνακα με ρητά στοιχεία.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση.
από Demetres
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:24 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 335

IMC 2018/1/2

Υπάρχει σώμα του οποίου η πολλαπλασιαστική ομάδα να είναι ισόμορφη με την προσθετική του;
από Demetres
Τετ Ιούλ 25, 2018 12:23 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2018/1/1
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 202

IMC 2018/1/1

Έστω ακολουθίες θετικών αριθμών $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ και $(b_n)_{n=1}^{\infty}$. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) Υπάρχει ακολουθία θετικών αριθμών $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ ώστε οι σειρές $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{c_n}}$ και $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{\frac...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση