Μεταφράζω υπότιτλους για κάποια courses και συνάντησα τον όρο coterminal angles, που δεν είχα συναντήσει ποτέ ξανά. Ουσιαστικά πρόκειται για γωνίες στις οποίες βάλουμε τις αρχικές πλευρές των γωνιών τη μία πάνω στην άλλη, τότε και οι τελικές πλευρές ταυτίζονται. Πρόκειται δηλαδή για όλες τις γωνίες ...

Το tamu είναι από τα πολύ καλά πανεπιστήμια σε θετικές επιστήμες και μαθηματικά. Το College station είναι μία μικρή πόλη (ή χωριό) η οποία φτιάχτηκε για το πανεπιστήμιο. Όλα κινουνται στους ρυθμούς του πανεπιστημίου. Γενικά έχει καλή φήμη στα εφαρμοσμένα μαθηματικά (σε γεωφυσική, περιβαλλοντικά θέμα...

[*]3 παγκάκια και 8 μαθητές άρα συνολικά $3^8$ περιπτώσεις. Για το $E_1$: Δύο στο πρώτο σημαίνει συνδυασμός 8 μαθητών ανά 2, άρα συνολικά $\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = 28$ συνδυασμοί. Ένας στο δεύτερο σημαίνει άλλοι 6 συνδυασμοί (αφού τώρα είναι 6 οι εναπομείναντες) Οι υπόλοιποι στο τρίτο είνα...

Δε βλέπω κινητικότητα, για αυτό παραθέτω τη λύση. Ας είναι $a_k$ το γεγονός {φοράει κάλτσα στο πόδι $k$} και $b_k$ το γεγονός {φοράει παπούτσι στο πόδι $k$}. Τότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι οι μεταθέσεις των $a_1,a_2,\ldots,a_8,b_1,b_2,\ldots,b_8$ που είναι 16!. Όμως θέλουμε το $a_1$ να προηγ...

Μάλιστα. Τώρα κατάλαβα πού δημιουργήθηκε η σύγχυση. Πάντως νομίζω ότι από την εκφώνηση είναι σαφές ότι ο κάθε μαθητής επιλέγει πού θα κάτσει, οι μαθητές δεν είναι "ομοιόμορφοι". Επίσης, δε μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία θα κάτσουν αλλά μας ενδιαφέρει ποιοι θα κάτσουν πού. Δηλαδή αν στο πρώτο πα...

Σεραφείμ, μήπως η εκφώνηση δεν είναι αρκετά σαφής; Οι δυνατοί τρόποι για να τοποθετηθούν 8 σφαίρες σε 3 κουτιά είναι $3^8$: Για την πρώτη σφαίρα έχουμε 3 επιλογές. Για τη δεύτερη άλλες τρεις, δηλαδή συνολικά $3\times3 = 3^2$. Για την τρίτη άλλες τρεις, δηλαδή $3^2\times 3 = 3^3$ κ.ο.κ. Μήπως εγώ δε ...

Βλέπω ότι η άσκηση δεν είναι απόλυτα σαφής έτσι όπως είναι γραμμένη. Για αυτό πρόσθεσα στην εκφώνηση τις παρακάτω διευκρινίσεις: - "Διαφορετικοί τρόποι" είναι η σειρά με την οποία ντύνει τα πόδια της. π.χ. "κάλτσα στο πόδι 1, παπούτσι στο πόδι 1, κλπ." είναι διαφορετικός τρόπος από "κάλτσα στο πόδι ...

Μία αράχνη έχει οκτώ κάλτσες και οκτώ παπούτσια (όσα δηλαδή και τα πόδια της). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να τα φορέσει; Προσθήκη μετά από σχόλια: - "Διαφορετικοί τρόποι" είναι η σειρά με την οποία ντύνει τα πόδια της. π.χ. "κάλτσα στο πόδι 1, παπούτσι στο πόδι 1, κλπ." είναι διαφορετικό...

Τελευταία ασχολούμαι με τη συνδυαστική αλλά δεν μπόρεσα να βρω αρκετές ασκήσεις στο :logo: . Για αυτό αποφάσισα να αναρτήσω μερικές. Ως πρώτη θα ήθελα να βάλω μία που έστειλε ο παλιός μου δάσκαλος πριν από μερικές εβδομάδες. Κάθε ένας από οκτώ μαθητές επιλέγει να καθίσει τυχαία σε ένα από τρία παγκά...

Δυστυχώς δε χρησιμοποίησα κάποιο open-source μαθηματικό software (δεν έχω χρησιμοποιήσει ποτέ και κανένα) αλλά εμπορικό (MATLAB).

Είναι animated gif. Ουσιαστικά είναι καμία σαρανταριά εικόνες και τις παίζει τη μία μετά την άλλη γρήγορα για να δίνει την αίσθηση της συνέχειας.

Χ

Επειδή θεωρώ ότι αυτή η άσκηση είναι εξαιρετικά διδακτική, ανεβάζω αυτό το animated gif που δείχνει την ευθεία που ενώνει τις εικόνες των και για όποιον θέλει να τη χρησιμοποιήσει.

Ελπίζω να παίζει καλά σε όλους τους browsers.

Χρήστος

Είχα δει παλιότερα σε κάποια ανάρτηση την παρακάτω πολύ ωραία στρατηγική για τέτοιου είδους ασκήσεις. Για αυθαίρετο $x\in\mathbb{R}_+$ oρίζουμε μία ακολουθία $a_n$ τιμών της $f$ ως εξής: $\displaystyle{a_0 = x}$ $\displaystyle{a_1 = f(x)}$ $\displaystyle{a_2 = f(f(x))}$ $\displaystyle{a_3 = f(f(f(x)...

Μιχάλη, ευχαριστώ. Ήμουν σίγουρος ότι εκεί ήταν το λάθος. Ανασκευάζω λοιπόν, ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν αριθμοί $x$ τέτοιοι ώστε $f(x)>x^2$ και ας είναι $a$ ένας από αυτούς. Θεωρώ την ακολουθία αριθμών $(b_n)$ με γενικό τύπο $b_n = \frac{a}{2^n}$ (και η οποία συγκλίνει στο 0) και την ακολου...

Αν και δε χρησιμοποιώ όλα τα δεδομένα (ένδειξη ότι έχω κάνει κάποια αβλεψία), το αναρτώ. Για $x=y=0$, παιρνουμε $f(0)\leq0$ δηλαδή $f(0)=0$ που ικανοποιεί την $f(x)\leq x^2$. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $x$ για τα οποία $f(x)>x^2$ και ας είναι $a>0$ το μικρότερο από αυτά. Τότε για $x=y=a$ παίρνουμε $...

Με πρόλαβε στο τσακ ο Μιχάλης πριν αναρτήσω τη δική μου λύση. Παρόλα αυτά, Μιχάλη, στην απάντησή σου δεν κατάλαβα γιατί είναι άτοπο να αυξάνει το κάτω φράγμα που βρήκες για την $f$. Αφού η $f$ είναι αύξουσα και μη-φραγμένη, δεν είναι λογικό να βρεις μία αύξουσα ακολουθία κάτω φραγμάτων για κάθε τιμή...

Από τα δεδομένα του προβλήματος είναι φανερό ότι οι $z$, $w$, $v$ βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το $O(0,0)$ και ακτίνα $r = |z|=|w|=|v|$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι η σειρά των κορυφών είναι (κατά τη θετική φορά) $z, w, v$. Τότε τα $w$, $v$ προκύπτουν από το $z$ με περιστροφή κατά $1...

Πολύ ωραία λύση, Σπύρο.

Ήμουν σίγουρος ότι υπήρχε πιο κομψός τρόπος αλλά δεν άντεχα να ασχοληθώ άλλο με τη συγκεκριμένη άσκηση. Είχα αρχίσει να

Αν ο $x$ είναι ακέραιος, τότε $a_{n}=\{2^nx\} = 0$ για κάθε $n$ και συνεπώς η $a_n$ είναι μονότονη. Επίσης παρατηρούμε ότι $\displaystyle{a_n = \{2^nx\} = \{2^n(\lfloor x\rfloor+\{x\})\} = \{2^n\lfloor x\rfloor+2^n\{x\}\} = \{2^n\{x\}\}}$ άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $0<|x|<1$ και οι άλλες λύσεις ...

$B^T = [(I+A)(I-A)^{-1}]^T = [(I-A)^{-1}]^T(I+A)^T = (I-A^T)^{-1}(I+A^T)$. Άρα $\displaystyle{B^TB = (I-A^T)^{-1}(I+A^T)(I+A)(I-A)^{-1} = (I-A^T)^{-1}(I+A^T+A + A^TA)(I-A)^{-1}}$. Έχουμε $\displaystyle{B^TB=I \iff }$ $\displaystyle{(I-A^T)^{-1}(I+A^T+A + A^TA)(I-A)^{-1} = I \iff }$ $\displaystyle{I+...

H

Συνεπώς μία αρχική της είναι η .

Άρα το ολοκλήρωμα είναι , .