Να μελετήσετε την συνάρτηση με , ως προς την μονοτονία

4) Είναι $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,\frac{\ln \left( {{e}^{x}}+\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{2}{3} \right)}{{{\ln }^{2}}\left( \ln x \right)}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,\frac{x\ln x\left( {{e}^{x ...

3) Γνωρίζω ότι ${{e}^{x}}\ge x+1$ με το ίσον να ισχύει μόνο για $x=0$.
Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=f(x)-x-1$ με $x>0$ για την οποία έχω :
$\displaystyle{{g}'(x)={f}'(x)-1=\frac{{{e}^{x}}+{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}+\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{2}{3}}-1=\frac{-\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-\frac{2}{3}}{{{e}^{x ...

Συγχαρητήρια για το βιβλίο

Μια απορία στο 3 επαναληπτικό θέμα (σελ 172 )πως βρίσκω το πρόσημο της $f{}'$
Αν η $f$ γνησίως αύξουσα η παράγωγός δεν είναι υποχρεωτικά θετική ( σελ 274 σχολικό βιβλίο)


Καλησπέρα alekos100. Αφού πρώτα σε ευχαριστήσουμε που προμηθεύτηκες και μελέτησες το βιβλίο μας ...

Β. Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη, θα είναι και η $\sqrt{16+{{f}^{2}}(x)}={f}'(x)$.
Οπότε παραγωγίζοντας έχουμε ${{f}'}'(x)=\frac{2f(x){f}'(x)}{2\sqrt{16+{{f}^{2}}(x)}}\Rightarrow {{f}'}'(x)=\frac{f(x){f}'(x)}{{f}'(x)}\Rightarrow {{f}'}'(x)=f(x)$
Άρα $\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{-1 ...

Οι μιγαδικοί είναι εκτός ύλης και με το καινούργιο σύστημα και με το παλιό.
Μια ματιά στο ΦΕΚ...

H 3.

$\displaystyle{\frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}\le \frac{\sqrt{a}}{{{b}^{3}}\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{{{a}^{3}}\sqrt{a}}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{3}}{{b}^{3}}}\le \frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}{{{a}^{3}}{{b}^{3}}\sqrt{ab}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\sqrt{ab ...

Την Κυριακή το παράρτημα Αιτωλοακαρνανίας της Ε.Μ.Ε είναι στην ευχάριστη θέση να τιμήσει τον Νέστορα Χαχάμη, ο οποίος πλέον σπουδάζει στο Μ.Ι.Τ.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη , έχουμε :
$9{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( y-z \right)\left( z-x \right)\left( x-y \right)=-15\Leftrightarrow 3\left( y-z \right)\left( z-x \right)\left( x-y \right)=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\left( 1 \right)$
Επειδή
$\left( y-z \right)+\left( z-x \right ...

Χρόνια πολλά σε όλα τα παιδιά του mathematica που γιορτάζουν σήμερα.
Καλή χρονιά σε όλους.

ΑΣΚΗΣΗ 32: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(100-99+98-97+ . . . +2-1):\frac{2+4+6+8+ . . . +100}{1+2+3+4+ . . . +50}}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.


Είναι
$\left( 100-99+98-97+...+2-1 \right):\frac{2+4+6+...+100}{1+2+3+...+50}=$ $\left( 1+1+1...+1 \right):\frac{1+1+2 ...

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle{x\in \left[ \frac{1}{2},+\infty \right)\bigcup \left\{ 0 \right\}}$ .

Η εξίσωση έχει την προφανή λύση $\displaystyle{x=0}$.

Αναζητούμε αν υπάρχουν λύσεις $\displaystyle{x\ge \frac{1}{2}}$ (διαφορετικές του μηδενός)

$\displaystyle{\sqrt{{{x}^{2}}+1 ...

Χρόνια πολλά σε όλους όσους γιορτάζουν σήμερα.

ΑΣΚΗΣΗ 1234: Αν $\displaystyle{p,q,m,n}$ είναι αριθμοί πρώτοι και αν $\displaystyle{3p+q = 3m -n =k}$ , όπου ο $\displaystyle{k}$ είναι επίσης πρώτος, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{3m - q = 8}$


ΑΣΚΗΣΗ 1234


Αν $p,q>2$ τότε θα είναι περιττοί (αφού είναι πρώτοι) , οπότε $3p+q=k$ άρτιος ...

Χρόνια πολλά με υγεία και ευτυχία.

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση. Θεόδωρος Παγώνης , Μαθηματικός .

Άσκηση 1232

Έστω $\displaystyle{S}$ το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών , τότε θα έχουμε :

$\displaystyle{S=\left( 1+3+...+2n-1 \right)+\left( -2-4-...-2n \right)=}$

$\displaystyle{=\frac{n}{2}\left( 1+2n-1 \right)+\frac{n}{2}\left( -2-2n \right)={{n}^{2}}-n-{{n}^{2}}=-n}$

Μετά την διαγραφή ...

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και οι λύσεις της θα είναι οι τετμημένες των σημείων

τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)={{3}^{4{{x}^{3}}-3x}}}$ και $\displaystyle{g(x)=\frac{2x}{4{{x}^{2}}+2x+1}}$ .

Είναι $\displaystyle{{f}'(x)={{3 ...

Έστω $c$ το πλάτος των κλάσεων. Επειδή η μικρότερη διάρκεια είναι 0 και η κεντρική τιμή της 5ης κλάσης είναι 18
θα έχουμε
$\displaystyle{\frac{4c+5c}{2}=18\Leftrightarrow 9c=36\Leftrightarrow c=4}$

Γ2. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 5η κλάση είναι 36ο , επομένως θα έχουμε ...

H πρώτη σχέση γίνεται :

$w\bar{w}\left( \bar{w}-{{w}^{10}} \right)={{\bar{w}}^{12}}-{{w}^{3}}\Leftrightarrow w{{\bar{w}}^{2}}-\bar{w}{{w}^{11}}-{{\bar{w}}^{12}}+{{w}^{3}}=0\Leftrightarrow$


$w\left( {{{\bar{w}}}^{2}}+{{w}^{2}} \right)-\bar{w}\left( {{w}^{11}}+{{{\bar{w}}}^{11}} \right)=0$ (1 ...