Ευχαριστώ τον Γιώργο για την βοήθεια, τον Δημήτρη και τον Μιχάλη για τις λύσεις τους!! Με αφορμή και την εδώ (κυρίως τριγωνομετρική) λύση, έφτασα στο προς απόδειξη λήμμα που ακολουθεί , χρήσιμο ίσως και σε άλλο θέμα. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC=b, BC=a$ και $AE=k, E \in AC$. Ας είναι $\angle A...

Καλημέρα και καλή Ανάσταση! Το τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία $ \angle A=80^o $, ενώ$AB=AC$ Το σημείο $H \in BC$ ώστε το $AB$ να είναι μέσος ανάλογος των $BH,BC$. Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου $BC$να έχει τριπλάσιο εμβαδόν από αυτό του κυκλικού ημιδίσκου με διάμετρο την $AE$ Να...

Χαιρετώ! 8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg Το τρίγωνο $AMO$ έχει γωνίες $\angle A =96^o $ και $\angle O =48^o$. Στην προέκταση της $OA$ θεωρούμε το σημείο $N$ ώστε $ON=AM$ και στην πλευρά $OA$ το σημείο $I$ ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ Ι) Να βρεθεί η (Γεωμετρική ) γωνί...

Ευχαριστώ τον Γιώργο και στο παρόν θέμα! Δυο λόγια μόνο για το $cos\dfrac{\pi }{5}$. Όπως είδαμε είναι $\dfrac{BI}{ID} =\Phi $ τότε και $\dfrac{BC}{IB} =\dfrac{BD}{IB} =\Phi $ . Η σχέση $\dfrac{BC}{IB} =\Phi $ προκύπτει , σύμφωνα και με το θέμα πέντε παρά κάτι (στο τέλος του) αφού το τρίγωνο $BIC$ ...

Αναπάντεχη όσο και θλιβερή η είδηση για την απώλεια του Σταύρου .. Θερμά συλλυπητήρια στην οικογένειά του, σε όλους τους δικούς του ανθρώπους και βεβαίως στους πολλούς καλούς φίλους του και εδώ στο :logo: Είχα την τύχη να τον συναντήσω και από κοντά στην Λευκάδα, έστω και για λίγο.. Καλό του ταξίδι...

Χαιρετώ! Το παρόν θέμα είναι σε μερικούς από μας πολύ γνωστό έως τετριμμένο. Θεωρώ όμως ότι αρκετοί μαθητές μας δεν το γνωρίζουν και ίσως το βρουν ενδιαφέρον αλλά και χρήσιμο.. 27-3 Χρυσή τομή και παραλληλία .png Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $AB=AC$ και $ \angle C=72^0$. Το $M$ είναι μέσον το...

Καλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους! Πριν λίγα χρόνια ένας μαθηματικός ζήτησε από τους μαθητές του στο Γυμνάσιο να σχεδιάσουν σε κατάλληλο χαρτί το ακόλουθο: Ορέστης ο εξαιρετικός!.png Τα τμήματα $MA,ZH$ τέμνονται κάθετα στο $A$ . Έχουν μήκη $AH=5, AZ=11$ και $AM=6$. Το ημικύκλιο διαμέτρου $ZH$ τέμν...

Χαιρετώ όλους! Μια προσέγγιση στο ίδιο πνεύμα με αυτή της #6 ανάρτησης Έστω $S$ τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ και $D$ η προβολή του στη διάμετρο. Οι εφαπτόμενες του ημικυκλίου στα $A, B$ τέμνουν τις $BS, AS$ στα $P, Q.$ Αν $M$ είναι το μέσο του $SD,$ να δείξετε ότι $OM\bot PQ.$ 22-3a.p...

Θανάση και Γιώργο σας ευχαριστώ! Τη γενίκευση, όπως βλέπω την απάντησε πολύ εύστοχα ο Θανάσης. Συμφωνώ απολύτως! Η δική μου πρόθεση είναι ..αντίθετης διαδρομής: Δημιούργησα το παρόν με σκοπό να δοθεί μια ακόμη λύση στο θέμα που παραπέμπει κι' ο Θανάσης. Με την -ανεξάρτητη από εκείνο- απόδειξη της ε...

Χαιρετώ! Με αφορμή πρόσφατο -ενδιαφέρον!- θέμα. 18-3 Ημικύκλιο και καθετότητα.png Στο σχήμα (*) τα σημεία $Z,H \in AB$ , ενώ τα $A,E,D$ είναι συνευθειακά όπως και τα $B,E,C$. Τα τμήματα $CA, EZ, DB$ είναι κάθετα στην $AB$. Ι) Αν δοθούν $AZ=HB=4 , ZH=5$ και $EZ=6$ τότε α) Να υπολογιστούν τα μήκη των...

Καλημέρα ,καλή Κυριακή σε όλους ! Θέτω υπό τον έλεγχο όλων προσέγγιση για την απόδειξη της ως άνω πρότασης Η$ f $ ως συνεχής σε κλειστό έχει μέγιστο το$ f(p)=m , 0<p<n $ I) Για κάθε $a \in (0, m) $ από Θ.Ε.Τ υπάρχουν $ x _{1}\in (0,p) $ και$ x _{2}\in (p, n) $ Ώστε $ f(x_{1}) = f(x_{2}) = a$ , με $...

Χαιρετώ μικρούς και μεγάλους! Λόγος..Φημισμένος!.png Η καμπύλη του σχήματος είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο $f(x)=-x^{2}+4x$. Τα σημεία $O,E$ είναι οι τομές της με το οριζόντιο άξονα $x'x$. Τα $N,A,B,M$ είναι σημεία του $x'x$ , ενώ τα $C,D,K,L$ ανήκουν στην γρ. παράσταση της $f$ Το...

Καλημέρα! Σ΄ ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την ενασχόλησή σου με το παρόν θεμα και βεβαίως για τα σχετικά γραφήματα! Οι λόγοι $a/b$ και $b/a$ πράγματι , όταν ο ένας διατρέχει το $(0, +\infty)$ τότε και ο άλλος διατρέχει (με αντίθετη διαδρομή) το ίδιο σύνολο. Μετά από σχετική μελέτη θέτω υπ΄ όψιν όλων τ...

Χαιρετώ!

Η γωνία (σε μοίρες) προφανώς κατασκευάζεται!

Αφαιρούμε απ' αυτήν την άρα ..προσφορά του Θανάση..

Καλή Σαρακοστή σε όλους!
Μόνο απάντηση στο α΄ ζητούμενο σε απόκρυψη.. Θα επανέλθω αν δεν καλυφθεί ο τρόπος που ακολούθησα..

Καλημέρα σε όλους! Με αφετηρία θέμα της Γ Λυκείου , έφτασα στον ακόλουθο ισχυρισμό . Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f$, με πεδίο ορισμού το $[0,n]$ και σύνολο τιμών το $[0,m]$ Για κάθε τιμή $a\in \left ( 0,m \right )$ υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in \left ( 0,n \right )$ με $x_{1}<x_{2}$ τέτοια ώστε $f(x_{1})...

Χαιρετώ όλους! 16-2 Εσωτερικό τμήμα.png Έστω $O$ το μέσον της $AM$ (κέντρο του κύκλου ). Όπως ο Γιώργος $AP=2AM/3\Rightarrow OP=AM/6$ ενώ $OS= R= AM/2 $ Με το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $BAM$ παίρνουμε $AM^{2} =\dfrac{5a^2}{4}$ και με το αυτό θεώρημα στο τρίγωνο $POS$ βρίσκουμε τελικά $SP=\dfrac{5a\sqr...

Την Καλημέρα μου σε φίλους! Λόγε ανίκατε μάχαν! .png Το τρίγωνο $ABC$ , όπως αποδείχθηκε, είναι του τύπου $(36^{0},72^{0},72^{0})$ με την $BE$ διχοτόμο του. Συνεπώς ισχύει $ \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{EC}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b-a}$ που είναι ο ορισμός (κατά τον Ευκλείδη ) της διαίρεσ...

Καλησπέρα στους συνονόματους και σε όλους! Ελαφρά παραλλαγή της λύσης του Γιώργου. Από τον τύπο της διχοτόμου προς την υποτείνουσα έχουμε $ AD^{2}=\dfrac{2(bc)^2}{(b+c)^2}$ Με χρήση και της σχέσης $(1)$ από #2, Θέτοντας$ bc=k$ παίρνουμε την εξίσωση $k^2-4k-50=0$ με θετική ρίζα $bc=k=2+3\sqrt{6}$ οπό...

Καλημέρα! Μια προσπάθεια με ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ, που -εικάζω βάσιμα- είναι επιθυμία και του Νίκου! Ευκλείδεια προς τέρψιν του Ν.Φ !.png Θεωρώ το ορθ. τρίγωνο $BAF$ με κάθετες $BF=5$ και $AF=2$ . Στο σχήμα η $BF$ είναι ο οριζόντιος άξονας , ενώ η $BH$ έχει εξίσωση $y=x+2$ Τα $K,L$ διαιρούν το $BA$ σε λόγο $\...