Καλό βράδυ σε όλους. Ακριβώς όπως τα γράφεις Γιώργο! Ας το δούμε κι' από την ...ανάποδη: Ο κύκλος μπορεί ν' αποφύγει το πολύ μία από τις Μίνα-Νίνα Αν $AB=AN \neq AM$ τότε ο κύκλος αποφεύγει την Νίνα Αν $AB=AM \neq AN$ τότε ο κύκλος αποφεύγει την Μίνα Αν τέλος είναι $AB=AM=AN$ ε τότε.. φταίει ο κύκλ...

Καλό βράδυ. Κατ' αρχήν ένα ακόμη εύγε στον Πρόδρομο! Για τον Στάθη το μόνο που μπορώ να πω είναι ότι την άσκηση την '' κατέβασε ως να ήταν μπεκάτσα στο φτερό" .. :coolspeak: .. Πράγματι το σκεπτικό που είχα κατά τη δημιουργία του θέματος ήταν ακριβώς αυτό που αποκάλυψε ο Στάθης!! Με τα δεδομένα που...

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τον μοναδικό Πρόδρομο και βεβαίως τον Γιώργο για την κάλυψη του θέματος! Μόνο για το β' ερώτημα μια ακόμη διαδρομή Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος ΙΙ.PNG Όπως έχει δειχθεί τα $L,E,N$ είναι συνευθειακά , άρα $\dfrac{\left ( ELA \right )}{\left ( ENA \right )}=\dfrac{LE}{EN}$.Οι ...

Καλησπέρα σε όλους . Προς το παρόν δεν έχω "κλειδώσει" την απόδειξη του θέματος που ακολουθεί όμως... μένουμε μέσα στο περιβάλλον του :logo: , συνεπώς :) δεν πρέπει ν' ανησυχώ! 4-4 Καθέτων ..γεννητούρια.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$, το μέσον $O$ της $BC$ και τα σημεία $L,N$ της $BC$ ώστε να είναι ...

Καλησπέρα. Γιώργο,Γιάννη, Νίκο , Μιχάλη και Παναγιώτη σας ευχαριστώ για τις, καίριες από την πλευρά σας, επεμβάσεις-λύσεις! Θα αναφερθώ μόνο σε δύο σημεία: Ι) Ας δείξουμε το δεύτερο επίταγμα που γράφει ο Νίκος, ότι (αριστερά στο σχήμα) είναι $BP=CF$. Θεωρώντας επιπλέον το μέσον $K$ της $BF$ έχουμε ...

Καλησπέρα. Μια παραλλαγή - κάπως ..μακρύτερη- για την ποικιλία. Ορθ. τρίγωνο ΙΙ.PNG Φέρω $AP \perp AM$ με $P \in BC$. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $PAM$ είναι $AC=MC$ άρα η $AC$ διάμεσος κι' έτσι $\widehat{APC}=\dfrac{\widehat{C}}{2}$. Τότε $\widehat{PAN}=\dfrac{\pi -B}{2}-\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi }{4}$ κα...

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο και Γιώργο για τις κομψές τους λύσεις!
Θα υποβάλω .. προσεχώς προσωπική λύση (αν δεν καλυφθεί) με χρήση τριγ. αριθμού μόνο του .
Φιλικά, Γιώργος.

Καλημέρα! Προσπάθησα να κάνω το παρόν θέμα κατά μία έννοια...φαιδρό! Μίνα ή Νίνα ;.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ και την ημιευθεία $Ax$ ώστε η $AC$ να είναι διχοτόμος της $\widehat{BAx}$. Ο κύκλος $( C,CB) $ τέμνει την $Ax$ σε δύο (διαφορετικά) σημεία. Στο ένα..μένει η Μίνα ενώ στο άλλο η Νίνα . Γί...

Καλό βράδυ! Ορθογώνιο τρίγωνο.PNG Από τα ισοσκελή τρίγωνα $BAN,CAM$ παίρνουμε $\widehat{AMC}=90^\circ -\widehat{C}/2$ και $\widehat{ANB}=90^\circ -\widehat{B}/2$. Τότε στο τρίγωνο $MAN$ έχουμε $\widehat{M}+\widehat{N}=180^\circ -\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=135^\circ$ άρα $\widehat{MAN}=45^\c...

Χαιρετώ. Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG Δίνεται το τρίγωνο $ABC$. Το σημείο $R$ διατρέχει την διχοτόμο $AD$ . Η κάθετη από το $R$ προς την $BC$ τέμνει την διάμεσο $AM$ στο $E$ και η παράλληλη από το $E$ προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $Q$ και την $AC$ στο $F$. Ακόμη, ο κύκλος των $R,E,Q$ τέμν...

Καλό μήνα! Παρά τους χαλεπούς καιρούς, ας αισιοδοξούμε.. Βρείτε τη βάση.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $\widehat {A}=50^\circ$. Το $E \in AB$ ώστε $\widehat {BCE}=40^\circ$. Αν $AE=2$ τότε: Να υπολογιστεί το μήκος της $BC$ . Μερικοί .. :) ..επιμένουν και χωρίς "έτοιμους" τριγωνομετρικούς αρι...

Καλό βράδυ σε όλους. Ακόμη μία , λογιστική με δύο εκφράσεις του εμβαδού. Από $AC \perp BD$ έπεται $\left ( ABCD \right )=AC\cdot BD/2\Rightarrow 4\left ( ABCD \right )^{2}=AC^{2}\cdot BD^{2}=\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2} \right )$ ενώ και $4\left ( ABCD \right )^{2}=\left ( a+b \r...

Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG $\bigstar$ Το τρίγωνο $ABC$ έχει πλευρές $\left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right )$ και $I$ το έγκεντρο αυτού. Αν $BE \perp CI$ με $E \in CA$ τότε Να εξεταστεί αν το $I$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ...

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι .

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι .. Φιλικά, Γιώργος.

Καλημέρα . Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG Το $I$ είναι το έγκεντρο και το $G$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ , η $AD$ διχοτόμος του ενώ τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AB$ και $AC$. Οι $DM,DN$ τέμνουν τις $IB,IC$ στα $E,P$ αντιστοίχως.Αν $IG \parallel BC$ τότε: Ι) Να εξεταστεί αν το $PIED $ είναι εγγράψ...

Χρόνια πολλά στους εορτάζοντες. Ιδιαίτερες ευχές στον Βαγγέλη Μουρούκο και τον Βαγγέλη Παπαπέτρου!
Καλή δύναμη και πολλή υπομονή σε όλους μας.

Καλό βράδυ.
Οι όροι στο α' μέλος είναι μη αρνητικοί άρα πρέπει , δηλ επιτρεπτές για το οι τιμές : .
Φιλικά, Γιώργος.

Καλησπέρα και χρόνια πολλά! Από ένα θερμό :clap2: στους Ορέστη,Πρόδρομο και Θεοδόση κι' ένα εύγε για τα εντυπωσιακά αντανακλαστικά τους! Ευχαριστώ βεβαίως τους Νίκο και Μιχάλη για την συνδρομή τους. Μια ακόμη προσέγγιση. Πανσέληνος.PNG Στο σχήμα αριστερά είναι $CE=BC$. Με τη βοήθεια των γωνιών προκ...

Καλό βράδυ. Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες επεμβάσεις σας! Το σχήμα που είχα κατά νου είναι περίπου το ίδιο με το τελευταίο του angvl . Ας το δούμε γενικότερα: Σύγκριση εμβαδών.PNG Τα τρία ορθογώνια τρίγωνα είναι προφανώς ίσα συνεπώς τα $BAD$ και $BAC$ με πλευρές $\left ( b,b,a \right )$ και $\...

Καλό βράδυ. Κάθετες κι' αυτές!.PNG Το τραπέζιο $ABCD$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και $AD=CD$ ενώ είναι $AB=75$ και $BC=100$. Έστω $M$ το μέσον της $BC$ και σημείο $E \in AD$ ώστε $ME=86$. Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ . Σας ευχα...