Καλημέρα σε όλους!

Στο τρίγωνο ABC το σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AB=5 και το N το μέσο

της AC=7 . Η AD είναι διχοτόμος . Αν DM=DN , υπολογίστε την πλευρά BC .

Αγνωστη ισότητα.png
Η $MN \parallel BC$ διέρχεται από το μέσον $L$ της $AD$. Είναι $AC>AB$ οπότε γωνίες $x>y$ και $A ...

Καλημέρα σε όλους!
Ευχαριστώ θερμά τους Γιάννη, Γιώργο και Κώστα !

Η προσέγγισή μου που είναι συνάμα το σκεπτικό για την δημιουργία του παρόντος.

Το $ABOC$ είναι ρόμβος. Το $E \in AB$ και το $Z \in AC$ . Οι $CE,BZ$ τέμνονται στο $P$
Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( EAP \right )\cdot \left ...

Χαιρετώ!
Το είναι παραλληλόγραμμο . Το , το με τις να τέμνονται στο . Αν ισχύουν και τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Χαιρετώ!
Λόγος του Αρχιμήδη.png
Το τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Θεωρούμε τα σημεία $E \in AB$ και $Z \in AC$ , τις $BZ,CE$ που τέμνονται στο $H$

και ισχύουν: $BH=2HZ , CH=2HE$ . Αν είναι $BC=12$ και $AH=4$ , τότε

να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{L_{c}}{BC}$ , όπου $L_{c} $ το μήκος ...

Καλή εβδομάδα! Το είναι ρόμβος. Το και το . Οι τέμνονται στο

Να εξεταστεί αν ισχύει

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους!
Νίκο , Μιχάλη και Γιώργο σας ευχαριστώ πολύ!
Μια απόδειξη με διαφορετικό σχήμα:
10-10 tan2x.png

Έχουμε $tanx = m$ και $tan2x=OB=a$. Με εφαρμογή του θ . εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε $m=\dfrac{a}{1+k}$.

Αρκεί να δείξουμε $a=\dfrac{2m}{1-m^2} $. Με αντικατάσταση του $m ...

Καλημέρα!
Με χρήση του σχήματος που ακολουθεί , να αποδειχθεί ο γνωστός τύπος : Δεκτή και κάθε άλλη λύση , ανεξάρτητη από το ως άνω σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Χαιρετώ!

Μόνο στο τελικό βήμα : Αν $tan\left ( \theta +\omega \right )=2$ και $tan\left ( \omega \right )=1/2$ , να βρούμε την $ tan\theta $. Με χρήση του σχήματος
εφαπτομένη.png

Έχουμε $2\omega +\theta =90^{0}$ οπότε $\measuredangle BDE =90^{0}$. Με το Πυθαγόρειο $BD^2=5$ και $DE^2 = {\color ...

Με αφορμή την παρατήρηση του Νίκου:

Doloros έγραψε: Σάβ Σεπ 19, 2026 10:50 pm ... ( Πράσινο-Κόκκινο σημειώσατε )

Στο τετράγωνο το και το Να εξεταστεί αν ισχύει η ισοδυναμία :

Η είναι διχοτόμος της

Καλημέρα! Χαιρετώ τους φίλους μετά από καιρό.

Θεωρούμε το τετράγωνο $ABCD$ και τα σημεία $E,P$ στις πλευρές $BC,CD$ αντίστοιχα

ώστε να είναι $\hat{AEB}=65^{0},\hat{PAE}=35^{0}$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{APE}$, ( κόκκινη γωνία )

Προτείνω την τροποποίηση : $\hat{AEB}=75^{0},\hat{PAE}=45 ...

Χρόνια πολλά σε όλους!

Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

Με την κατανόηση σας για την έλλειψη σχήματος..
Θεωρώ το $L$ συμμετρικό του $Q$ ως προς το $P$
Όπως ο Γιώργος στο#2 είναι
$a^2-2ab=2b^2$. Από Γ.Π.Θ στο τρίγωνο $DQC$ παίρνουμε $QC^2=2b^2+a ...

Χαιρετώ!
Ένα μεγάλο ευχαριστώ Μιχάλη για την κάλυψη όλων των ερωτημάτων!
Πράγματι η σχέση $AB=AC$ δεν είναι αναγκαία για κανένα ζητούμενο.
Λίγο διαφορετική απόδειξη για το τρίτο ζητούμενο.
Έχει αποδειχθεί (απλό, αλλά και χρήσιμο) ότι $(AMHN)=(BHC)$, ενώ
$(BAC)/(AMHN)=1+m+1/m $ με ελάχιστη τιμή ...

Καλημέρα σε όλους!
Από την μελέτη παλαιότερου θέματος έφτασα στο παρόν με τα ακόλουθα τρία ζητούμενα.
Στην διάθεση όλων για τον έλεγχο της ορθότητας καθενός από αυτά.

Θεωρούμε τρίγωνο ABC . Το M \in AB και το N \in AC ώστε να ισχύει AM/MB= NC/AN=m .
Οι BN, CM τέμνονται στο H .
Ι) Να εξεταστεί ...

Χαιρετώ.
Για την δημιουργία του παρόντος , αφορμή κι΄ αιτία είναι το θέμα τούτο

3-8 Εύρεση γωνιών.png
Το τρίγωνο $ABC $ έχει $\widehat A=96^o$ και η $BZ$ διχοτόμος του. Τα $M \in AB$ και $N \in AC$ ώστε $ MN \parallel BC$

Το $F \in MN$ ώστε $FN=NC=\lambda BM$ . Η $ZF$ τέμνει την $BC$ στο $L ...

Χαιρετώ την Κρήτη , καλό μήνα σε όλους!

1-8 προσδιορισμός Ν.Φ.png
Φέρω την διχοτόμο $BZ$ και ας είναι $M$ το μέσον της $BC$ . Η διχοτόμος της $\widehat C$ τέμνει την $ZM$ στο $N$ .

Η παράλληλη από το $N$ προς την $BC$ τέμνει τις $AB,AC$ στα ζητούμενα $D,E$ .

Πράγματι έχουμε λόγω των ίσων ...

Χαιρετώ!


Δυσκολότερη.pngΑς το δυσκολέψουμε : Να αχθεί τμήμα ST\parallel BC , έτσι ώστε : AT=2BS . Στόχος να γίνει πρώτα

η κατασκευή και μετά ο υπολογισμός του x συναρτήσει των b , c ( μιας και η a δεν παίζει ρόλο ) .


Για την κατασκευή.

Θεωρώ σημείο $E$ της $AC,$ ώστε $AE=AB$ και σημείο $P ...

Καλημέρα! Ευχαριστώ θερμά τους Νικήτα και Γιώργο !

Να ευχαριστήσω τον Νικήτα και τον Θανάση (KARKAR) για την βοήθειά τους με π.μ.
όταν προσπαθούσα να ..συμμαζέψω κάτι τεράστια σχήματα..

Ας δούμε για το παρόν θέμα και το εξής: Όπως έδειξαν Νικήτας και Γιώργος ισχύει $BD=2 AD$.
Δείτε το σχήμα ...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ θεωρώ το $M$ μέσο του $AC$ και το $N$ μέσο του $AM$.

Η κάθετη από το $N$ στην υποτείνουσα $BC$ τέμνει την ευθεία $AB$ στο σημείο $D$.

Δείξετε ότι $MB \bot MD$.

Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου


Χαιρετώ! Ανασύρω τούτο το θέμα , όχι άσκοπα, με την απόδειξη της ...

Χαιρετώ και πάλι.
Δυο τρύπες στο νερό.png
Οι χορδές σε κάθε κύκλο είναι παράλληλες. Η (κοινή) κάθετη από το κέντρο προς τις χορδές
διέρχεται ,ως γνωστόν από το μέσο κάθε χορδής.

Έτσι στο έγχρωμο ορθογώνιο ισχύει $a+b+26=m+n+24 \Leftrightarrow a+b+2=m+n $ ή

$\left ( 2a+2b \right )+4=2m+2n$ που ...

Καλημέρα!
Ας μου επιτραπεί να δώσω προς το παρόν απάντηση σε απόκρυψη.
Θα επανέλθω για άρση αυτής και βεβαίως για αιτιολόγηση.

Θεωρώντας τα κέντρα των κύκλων...

Άρση απόκρυψης. Ακολουθεί αιτιολόγηση στο #4