Καλό βράδυ. Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ξεχωριστές λύσεις! Ακόμη μία με τη βοήθεια και του σχήματος. Από το Φ στο π..ΙΙ PNG.PNG Είναι $\widehat{B}=\widehat{C}=54^{0}$ και $\widehat{BZE}=2\cdot 18^{0}=36^{0}$ άρα $\widehat{BEZ}=90^{0}$ δηλ $BZ$ διάμετρος. Έχουμε $cos18^{0}=\dfrac{BM}{BH}...

Γεια σας. Με άριστα το 10.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC=15$ και $BC=18$.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο $E$ επί της πλευράς $AB$. Η $CE$ τέμνει την διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο σημείο $H$. Ο κύκλος που ορίζουν τα $B,E,H$ τέμνει ξανά την $BC$ στο $N$. Να δειχθεί ότι ισχύει $BN\leq 10$ . $24$ ώρες γ...

Καλησπέρα. Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα $a,b$ είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί ενώ το $x$ μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$. Να βρεθεί η τιμή του $x$ που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$...

Χαιρετώ τους φίλους! Μετά και τις νέες εξαιρετικές προσθήκες από τους Γιώργο και Αλέξανδρο ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των $k$ και $m$ ( δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος ) Έχουμε $AF=ma...AE=ka$ οπότε $BF=(1-m)a...DE=(1-k)a$ ενώ $ \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}...

Καλό βράδυ σε όλους! Μια λογιστική λύση Ισόπλευρα και μέσα.PNG Αν $L$ το μέσον του $AS$ αρκεί να δείξουμε ότι $LM=LN=MN$ Έστω $BM=1$ (μονάδα μέτρησης) και $BS=k$. Τότε έχουμε: Στο τρίγωνο $LAM$ είναι $AM=\sqrt{3}..AL=1-\dfrac{k}{2}$ και $\widehat{LAM}=30^{0}$. Στο $BMN$ είναι $BM=1..BN=k/2$ και $\w...

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Ratio για την ενασχόληση με το θέμα. Όμως.. Καθώς το $E$ διατρέχει την πλευρά $AB$ η $BZ$ δεν είναι διάμετρος του κύκλου . Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το $(BZ)$ γίνεται μέγιστο όταν η $BZ$ γίνει διάμετρος.. Μέγιστο..ΙΙ.PNG Αν $BZ$ διάμετρος αυτό σημαίνει $\widehat{BCE}=\w...

Καλή Κυριακή! Με αφορμή άλλο θέμα έφτασα στο ανοικτό (*) θέμα που ακολουθεί Τρίγωνο, κύκλος σε...καλά χέρια!.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$ με $AB=AC$ και $M$ το μέσον της $BC$. Το σημείο $E$ κινείται στην πλευρά $AB$. Η $CE$ τέμνει την $AM$ στο $H$ και ο κύκλος των $B,E,H$ τέμνει την $BC$ και στο $...

Καλημέρα σε όλους! Από το Φ στο π.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $AB=AC...\widehat{A}=72^{0}$ και $M$ το μέσον της $BC$. Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{BCE}=18^{0}$. Η $CE$ τέμνει την $AM$ στο $H$. Αν $BC=5\Phi cm$ ( $\Phi $ , ο χρυσός αριθμός ) τότε Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκο...

Καλημέρα! Με χρήση του σχήματος Α.Π KARKAR.PNG Τα $P,H$ είναι τα μέσα των $AZ,CE$ με $AZ \parallel EC$. Τότε , ως γνωστόν , η $PH$ διέρχεται από την τομή $M$ των διαγωνίων $AE,ZC$ του τραπεζίου $ZECA$ Αν $BC=AD=a...BE=DZ=b$ τότε $AP=\dfrac{a+b}{2}$ και $BH=a+\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{a+b}{2}$ άρα $AP= ...

Καλό βράδυ! Αν μέσον του τότε οπότε το παραλληλόγραμμο , άρα .

Ακόμη και . Προκύπτει .
Φιλικά Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους! Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για τις πλήρεις λύσεις!! Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω.. Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. :10sta10: δίκιο! :clap2: Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. :...

Καλή Κυριακή. Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG Το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $E \in AD$ με $AE=3ED$. Η $CE$ τέμνει την $BD$ στο $Z$ . Ο κύκλος που ορίζουν τα $A,E,Z$ τέμνει την $BD$ και στο $H$ ενώ την $AB$ και στο $F$. Να δείξετε ότι : Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα ...

Καλό μήνα! Μια όψιμη προσέγγιση Αχ έλατο..νέο.PNG Ας είναι $BM=MC=DN=1$ τότε $BC=AD=2$ Θέτω $DM=k \Rightarrow BD=1-k..DC=k+1$. Έχουμε $\widehat{HBD}=\widehat{DAC}=\omega $ οπότε $\dfrac{HD}{BD}=\varepsilon \varphi \omega =\dfrac{DC}{AD}\Rightarrow HD=\dfrac{1-k^{2}}{2}$ και $HN=ND-HD=\dfrac{1+k^{2}...

Καλησπέρα. Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη σας ευχαριστώ! Μία ακόμη προσέγγιση Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG Φέρνω τα ύψη $PN,PM$ των εν.. λόγω τριγώνων.Όπως στην (#8) ανάρτηση του δημοφιλούς θέματος Η εκ του Nagel.. βρίσκουμε $\boxed{PN\cdot BZ=PM\cdot DE}$. Απ' αυτή παίρνουμε $\dfrac{PN}{PM}=\dfrac{DE}{...

Καλή εβδομάδα σε όλους! Να ευχαριστήσω τον αγαπητό angvl για την ενασχόλησή του με το θέμα. Νομίζω όμως ότι πρέπει να το αντιμετωπίσουμε και με τον λόγο $\dfrac{DC}{BD}$ ως τυχαίο-μεταβλητό ... εδώ στη λύση είναι σταθερός (ως δοσμένη σχέση) : $\dfrac{DC}{BD}=2$... Ένα ακόμη ευχαριστώ στον Γιώργο - ...

Καλή Κυριακή σε όλους . Ισότητα γωνιών.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ το $AD$ είναι ύψος με $AD=BC$ . Έστω $M,N$ τα μέσα των $BC,AD$ αντιστοίχως. Η μεσοκάθετος του $MN$ τέμνει την $AD$ στο $H$. Να δειχθεί ότι $B\widehat{H}D=\widehat{C}$ . Ευχαριστώ , Γιώργος. Δεκτή κάθε λύση , ακόμη και με ύλη Γυμνασίου!

Χαιρετώ. Γιώργο, Νίκο και Αλέξανδρε σας ευχαριστώ για τις εξαιρετικές λύσεις! εμβαδόν περίκυκλου ΙΙ.PNG Αφορμή για τη δημιουργία του παρόντος ήταν ΑΥΤΟ το θέμα που μας δίνει $\left (AB+AD \right )^{2}=4\left ( ABCD \right )\Rightarrow AB+AD=8$. Από τον τύπο για την διχοτόμο ορθής παίρνουμε $AE=\dfr...

Καλό βράδυ σε όλους , ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον Σιλουανό! Τόπος..G.V.PNG Φέρω τα ύψη $ML,MN $ των τριγώνων $MAB$ και $MBC$. Σύμφωνα με το θέμα Λόγοι παράγουν νέο λόγο (απόδειξη εκεί από τον θεματοθέτη του παρόντος ..:coolspeak: ) παίρνουμε $\dfrac{\left ( MBC \right )}{\left ( MAB \right )}=\dfrac{BC}{AB}\...

Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών $\dfrac{AB}{BC}=m$. Στις πλευρές $AB$ και $AD$ θεωρούμε αντιστοίχως τα $Z$ και $E$ ώστε $\dfrac{DE}{BZ}=l$. Αν οι $BE,DZ$ τέμνονται στο $P$ τότε Να εκφραστεί ο λόγος $\dfr...