Καλή εβδομάδα σε όλους ! Γιώργο μια προσπάθεια : Από το α' θεώρημα διαμέσων παίρνουμε $4\mu _{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}$ και $4\mu _{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}$ . Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει $4\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=3\left ( b-c \right )\left ( b+...

Καλημέρα . Το θέμα που ακολουθεί έγινε χάρις στο θέμα ΤΟΥΤΟ και για την ..εμπέδωσή του καθότι η μελέτη εκείνου αποκαλύπτει τη διαδρομή για τη λύση του παρόντος. Άθροισμα αποστάσεων.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει πλευρές $(c,b,a)=(2,3,4)$ . Για τα σημεία $M,N$ ισχύει : Το άθροισμα των αποστά...

Καλημέρα σε όλους ! Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος 9-11 Εμβαδόν από το πουθενά !.PNG Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα $S=\dfrac{18}{5}$ και $CD=x$ τότε $AD=4-x..DZ=3x/5$ οπότε $AD+DZ=S \Rightarrow 4-x+3...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους εορτάζοντες ! Θερμές ευχές στους

Μιχάλη Λάμπρου , Μιχάλη Νάννο, Μιχάλη Τσουρακάκη ,

Μιχάλη Σουλάνη , Μιχάλη Περάκη και Στράτη Αντωνέα.

Καλημέρα. Γεια σου Σάκη , τους χαιρετισμούς μου στο Κιάτο ! Ελκυστικό βεβαίως το παρόν θέμα , ικανό να σε ..αιχμαλωτίσει ! Εμβαδόν από το πουθενά S.K.PNG Στο σχήμα είναι $DZ,MN \perp BC$ , $EQ,MK \perp AB$ και $EP,ML\perp AC$ Δίνεται $EP+EQ=DA+DZ= S $ Μπορούμε να δείξουμε $CE=2CD ..(1)$ και $MK+ML+...

Καλημέρα σε όλους τους φίλους ! Ακόμη μία , χωρίς να χρειαστεί εξίσωση ως προς $x$ 5-11 Ισόπλευρο.. Μ.Ν.PNG Με $DZ,MG \perp BC$ και $DFG \perp DZ,MG \Rightarrow DFG\parallel BC $ εύκολα υπολογίζουμε τα τμήματα που φαίνονται στο σχήμα. Τα ορθογώνια $DEZ , DGM $ είναι όμοια ( οι $ \theta$ είναι οξείε...

Για την καλημέρα σε φίλους ! Ισόπλευρο ..Μ.Ν 2PNG.PNG Στο $\vartriangle DAM$ βρίσκουμε $\sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28}$ και $\eta \mu \omega =\sqrt{27}/\sqrt{28}$ άρα $\eta \mu \left ( \widehat{BDE} \right )=\sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28}$ και $\eta \mu \left ( \widehat{BED} \righ...

Καλό βράδυ. Ένα μεγάλο ευχαριστώ , Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του παρόντος! Η δική μου προσέγγιση : 1-11 Ομοκυκλικά...PNG Όπως και στο θέμα Νέα παραλληλία (5η ανάρτηση) προκύπτει $MI \parallel CE $. Η συνέχεια για το α΄ όπως ο Γιώργος. Για το β' ο Μενέλαος πριν μας δίνει $ME=EB$ οπότε $\left ...

Καλό μήνα σε όλους ! Μια νέα κατασκευή : Τομή κύκλων 1-11-18.PNG Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο $ABCD$ , $E \in AB$ για το οποίο ισχύει $\widehat{CDE}=45^{0}$ και τυχαίο $Z \in AD$ . Οι $BZ,DE$ τέμνονται στο $P$ και $M,N$ είναι οι ορθές προβολές του $P$ στις $BC,CD$ αντίστοιχα.Στην ημιευθεία $PM$ παίρ...

Καλημέρα στους φίλους ! Αρκεί το ύψος $BD$ να είναι και διχοτόμος , η συνέχεια γνωστή. Με χρήση του σχήματος: 31-8 Λεωνίδας.PNG Με $HZ \perp BC $ τα ορθ. τρίγωνα $BHZ, BDC$ είναι όμοια άρα $HZ=\dfrac{3}{4}x$ , το ίδιο και τα $CHZ ,BEC$ οπότε $HZ=\dfrac{7}{24}\left ( 25-x \right )$. Προκύπτει $BZ=x=...

Καλημέρα ! Ευχαριστώ πολύ τους Γιάννη και Μιχάλη για τις θαυμάσιες λύσεις , τον Γιάννη βεβαίως και για την ανάσυρση του θέματος ! Ένας από τους σκοπούς - τότε - του θέματος αυτού ήταν η ..εμπέδωση της σχέσης : $ \hat{A}=90^{0}+\dfrac {\hat{C}}{2}\Leftrightarrow a^{2}=ab+c^{2} $ Μπαίνω στον πειρασμό...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους ! 28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο και $M$ το μέσον της $AD$. Θεωρούμε $H \in AB..I \in CD$ ώστε $BH=DI$. Οι $BM,DH$ τέμνονται στο $E$. Αν είναι $BM=AB+BH$ τότε να εξεταστεί αν τα $M,E,C,I$ είναι ομοκυκλικά . Αν επιπλέον δοθεί ότι $AB=3BH$ τότε...

Καλημέρα ! Με αφετηρία τη λύση του Κώστα και χρήση του σχήματος : Ακτινοβολία.PNG Το $AKBH$ είναι ορθογώνιο με $AH=\sqrt{32}$ άρα $x=\sqrt{32}-R$ , ενώ στο ορθ. τρίγωνο $OKA$ είναι $x^{2}= R^{2}-4$ . Προκύπτει $ \left ( \sqrt{32}-R \right )^{2}=R^{2}-4 \Leftrightarrow R=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$. Φιλικ...

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ότι καλύτερο, σε όλους τους εορτάζοντες !

Καλημέρα σε όλους ! Δεν ακολουθεί διαφορετική λύση , αλλά παραλλαγή της κατασκευής σύμφωνα με την ωραία λύση του Νίκου πριν. 26-10-18 ΣΚ-ΝΦ.PNG Πάνω στην $BA$ παίρνουμε σημεία $Z,E,H$ ώστε $ZC \perp BC$ και $BE=AC..EH=AZ$ . Έχουμε $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{AZ}{AC}=\dfrac{EH}{EB}$ . Για ...

Καλό βράδυ. Χαιρετώ τους φίλους Θανάση και Γιώργο . Με χρήση του σχήματος : Τα άλλα τρία.PNG Έχουμε $2y+x=40 ..(1)$ και $\dfrac{x}{y}=\dfrac{SC}{AS}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{y^{2}}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{x}{5} \Rightarrow y^{2}=5x..(2)$. Δεκτή λύση $ x=20..y=10$...Φιλικά , Γιώργος .

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την πλήρη (απο)κάλυψη .. .. του παρόντος θέματος !!
Τα δύο θέματα- βάση για τη δημιουργία του - είναι βεβαίως αυτό που παραπέμπει ο Γιώργος
κι' ένα παλαιότερο από τον Μπάμπη, ΕΔΩ..Φιλικά Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους. Δείχνοντας ότι το $AD$ είναι ύψος η συνέχεια είναι φανερή. Ας μεταφέρω ,προσαρμοσμένη στο παρόν πρόβλημα , την μέθοδο του αγαπητού Κώστα Δόρτσιου από το θέμα Βιτάλη-Γέλων . Έστω $\widehat{ADB}> 90^{0}$ . Φέρω $BE,CZ \perp AD$.Τότε έχουμε το ακόλουθο (όχι ακριβές) σχήμα Εμβαδόν τρ...

Καλημέρα. Με αφορμή το θέμα αυτό του Φάνη (*) Αρχαίο τρίγωνο.PNG Στο σχήμα είναι $D \in BC$ ώστε $BD=1$ και $\widehat{BAD}=18^{0}..\widehat{DAC}=54^{0}$. Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BAD \right )}=2\Phi ^{2}$ ( $\Phi $ ο χρυσός αριθμός) τότε να βρεθούν οι $\widehat{B} \kappa \alp...

Καλό βράδυ. Ασφαλώς και είναι γνωστή η ως άνω έκφραση του φίλου KARKAR . Ο ίδιος την στήριξε δίνοντας ουκ ολίγες φορές και τριγωνομετρικές λύσεις ! Στη συνέχεια μια ακόμη προσέγγιση υπέρ της .. κέντας ! 21-10 Διπλάσια γωνία ΚΑRKAR.PNG Με το $M$ μέσον της $CS$ και $I$ την τομή των $AM,BC$ έχουμε $AM...