Η αναζήτηση βρήκε 863 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Νοέμ 12, 2018 2:29 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κριτήριο ισοσκελούς 4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 82

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 4

Καλή εβδομάδα σε όλους ! Γιώργο μια προσπάθεια : Από το α' θεώρημα διαμέσων παίρνουμε $4\mu _{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}$ και $4\mu _{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}$ . Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει $4\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=3\left ( b-c \right )\left ( b+...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:39 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Άθροισμα αποστάσεων
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 40

Άθροισμα αποστάσεων

Καλημέρα . Το θέμα που ακολουθεί έγινε χάρις στο θέμα ΤΟΥΤΟ και για την ..εμπέδωσή του καθότι η μελέτη εκείνου αποκαλύπτει τη διαδρομή για τη λύση του παρόντος. Άθροισμα αποστάσεων.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει πλευρές $(c,b,a)=(2,3,4)$ . Για τα σημεία $M,N$ ισχύει : Το άθροισμα των αποστά...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Νοέμ 09, 2018 2:59 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν από το πουθενά
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 360

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Καλημέρα σε όλους ! Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος 9-11 Εμβαδόν από το πουθενά !.PNG Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα $S=\dfrac{18}{5}$ και $CD=x$ τότε $AD=4-x..DZ=3x/5$ οπότε $AD+DZ=S \Rightarrow 4-x+3...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Νοέμ 09, 2018 2:02 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 247

Re: Ευχές

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους τους εορτάζοντες ! Θερμές ευχές στους

Μιχάλη Λάμπρου , Μιχάλη Νάννο, Μιχάλη Τσουρακάκη ,

Μιχάλη Σουλάνη , Μιχάλη Περάκη και Στράτη Αντωνέα.
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Νοέμ 07, 2018 3:08 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν από το πουθενά
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 360

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Καλημέρα. Γεια σου Σάκη , τους χαιρετισμούς μου στο Κιάτο ! Ελκυστικό βεβαίως το παρόν θέμα , ικανό να σε ..αιχμαλωτίσει ! Εμβαδόν από το πουθενά S.K.PNG Στο σχήμα είναι $DZ,MN \perp BC$ , $EQ,MK \perp AB$ και $EP,ML\perp AC$ Δίνεται $EP+EQ=DA+DZ= S $ Μπορούμε να δείξουμε $CE=2CD ..(1)$ και $MK+ML+...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Νοέμ 05, 2018 2:00 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισόπλευρο και τμήμα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 227

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Καλημέρα σε όλους τους φίλους ! Ακόμη μία , χωρίς να χρειαστεί εξίσωση ως προς $x$ 5-11 Ισόπλευρο.. Μ.Ν.PNG Με $DZ,MG \perp BC$ και $DFG \perp DZ,MG \Rightarrow DFG\parallel BC $ εύκολα υπολογίζουμε τα τμήματα που φαίνονται στο σχήμα. Τα ορθογώνια $DEZ , DGM $ είναι όμοια ( οι $ \theta$ είναι οξείε...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Νοέμ 04, 2018 12:38 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισόπλευρο και τμήμα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 227

Re: Ισόπλευρο και τμήμα

Για την καλημέρα σε φίλους ! Ισόπλευρο ..Μ.Ν 2PNG.PNG Στο $\vartriangle DAM$ βρίσκουμε $\sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28}$ και $\eta \mu \omega =\sqrt{27}/\sqrt{28}$ άρα $\eta \mu \left ( \widehat{BDE} \right )=\sigma \upsilon \nu \omega =1/\sqrt{28}$ και $\eta \mu \left ( \widehat{BED} \righ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Νοέμ 01, 2018 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά και λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Re: Ομοκυκλικά και λόγος

Καλό βράδυ. Ένα μεγάλο ευχαριστώ , Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του παρόντος! Η δική μου προσέγγιση : 1-11 Ομοκυκλικά...PNG Όπως και στο θέμα Νέα παραλληλία (5η ανάρτηση) προκύπτει $MI \parallel CE $. Η συνέχεια για το α΄ όπως ο Γιώργος. Για το β' ο Μενέλαος πριν μας δίνει $ME=EB$ οπότε $\left ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Νοέμ 01, 2018 1:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τομή κύκλων επί ευθείας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 172

Τομή κύκλων επί ευθείας

Καλό μήνα σε όλους ! Μια νέα κατασκευή : Τομή κύκλων 1-11-18.PNG Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο $ABCD$ , $E \in AB$ για το οποίο ισχύει $\widehat{CDE}=45^{0}$ και τυχαίο $Z \in AD$ . Οι $BZ,DE$ τέμνονται στο $P$ και $M,N$ είναι οι ορθές προβολές του $P$ στις $BC,CD$ αντίστοιχα.Στην ημιευθεία $PM$ παίρ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Οκτ 31, 2018 2:23 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Η προσπάθεια του Λεωνίδα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 199

Re: Η προσπάθεια του Λεωνίδα

Καλημέρα στους φίλους ! Αρκεί το ύψος $BD$ να είναι και διχοτόμος , η συνέχεια γνωστή. Με χρήση του σχήματος: 31-8 Λεωνίδας.PNG Με $HZ \perp BC $ τα ορθ. τρίγωνα $BHZ, BDC$ είναι όμοια άρα $HZ=\dfrac{3}{4}x$ , το ίδιο και τα $CHZ ,BEC$ οπότε $HZ=\dfrac{7}{24}\left ( 25-x \right )$. Προκύπτει $BZ=x=...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Οκτ 31, 2018 12:33 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Λόγος τελικά..πρώτος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 318

Re: Λόγος τελικά..πρώτος

Καλημέρα ! Ευχαριστώ πολύ τους Γιάννη και Μιχάλη για τις θαυμάσιες λύσεις , τον Γιάννη βεβαίως και για την ανάσυρση του θέματος ! Ένας από τους σκοπούς - τότε - του θέματος αυτού ήταν η ..εμπέδωση της σχέσης : $ \hat{A}=90^{0}+\dfrac {\hat{C}}{2}\Leftrightarrow a^{2}=ab+c^{2} $ Μπαίνω στον πειρασμό...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 28, 2018 1:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ομοκυκλικά και λόγος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 159

Ομοκυκλικά και λόγος

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους ! 28-10-18 Ομοκυκλικά και λόγος.PNG Το $ABCD$ είναι παραλληλόγραμμο και $M$ το μέσον της $AD$. Θεωρούμε $H \in AB..I \in CD$ ώστε $BH=DI$. Οι $BM,DH$ τέμνονται στο $E$. Αν είναι $BM=AB+BH$ τότε να εξεταστεί αν τα $M,E,C,I$ είναι ομοκυκλικά . Αν επιπλέον δοθεί ότι $AB=3BH$ τότε...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 28, 2018 3:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ακτινοβολία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 117

Re: Ακτινοβολία

Καλημέρα ! Με αφετηρία τη λύση του Κώστα και χρήση του σχήματος : Ακτινοβολία.PNG Το $AKBH$ είναι ορθογώνιο με $AH=\sqrt{32}$ άρα $x=\sqrt{32}-R$ , ενώ στο ορθ. τρίγωνο $OKA$ είναι $x^{2}= R^{2}-4$ . Προκύπτει $ \left ( \sqrt{32}-R \right )^{2}=R^{2}-4 \Leftrightarrow R=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$. Φιλικ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Οκτ 27, 2018 12:15 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Αγίου Δημητρίου
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 293

Re: Αγίου Δημητρίου

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ότι καλύτερο, σε όλους τους εορτάζοντες !
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Οκτ 26, 2018 1:59 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Από ισότητα σε καθετότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 129

Re: Από ισότητα σε καθετότητα

Καλημέρα σε όλους ! Δεν ακολουθεί διαφορετική λύση , αλλά παραλλαγή της κατασκευής σύμφωνα με την ωραία λύση του Νίκου πριν. 26-10-18 ΣΚ-ΝΦ.PNG Πάνω στην $BA$ παίρνουμε σημεία $Z,E,H$ ώστε $ZC \perp BC$ και $BE=AC..EH=AZ$ . Έχουμε $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{AZ}{AC}=\dfrac{EH}{EB}$ . Για ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Οκτ 25, 2018 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα άλλα τρία ;
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 112

Re: Τα άλλα τρία ;

Καλό βράδυ. Χαιρετώ τους φίλους Θανάση και Γιώργο . Με χρήση του σχήματος : Τα άλλα τρία.PNG Έχουμε $2y+x=40 ..(1)$ και $\dfrac{x}{y}=\dfrac{SC}{AS}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{y^{2}}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{x}{5} \Rightarrow y^{2}=5x..(2)$. Δεκτή λύση $ x=20..y=10$...Φιλικά , Γιώργος .
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Οκτ 25, 2018 12:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 246

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την πλήρη (απο)κάλυψη .. :clap2: .. του παρόντος θέματος !!
Τα δύο θέματα- βάση για τη δημιουργία του - είναι βεβαίως αυτό που παραπέμπει ο Γιώργος
κι' ένα παλαιότερο από τον Μπάμπη, ΕΔΩ..Φιλικά Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Οκτ 24, 2018 2:31 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν τριγώνου.
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 252

Re: Εμβαδόν τριγώνου.

Καλημέρα σε όλους. Δείχνοντας ότι το $AD$ είναι ύψος η συνέχεια είναι φανερή. Ας μεταφέρω ,προσαρμοσμένη στο παρόν πρόβλημα , την μέθοδο του αγαπητού Κώστα Δόρτσιου από το θέμα Βιτάλη-Γέλων . Έστω $\widehat{ADB}> 90^{0}$ . Φέρω $BE,CZ \perp AD$.Τότε έχουμε το ακόλουθο (όχι ακριβές) σχήμα Εμβαδόν τρ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Οκτ 23, 2018 3:12 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εύρεση γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 75

Εύρεση γωνιών

Καλημέρα. Με αφορμή το θέμα αυτό του Φάνη (*) Αρχαίο τρίγωνο.PNG Στο σχήμα είναι $D \in BC$ ώστε $BD=1$ και $\widehat{BAD}=18^{0}..\widehat{DAC}=54^{0}$. Αν ισχύει $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BAD \right )}=2\Phi ^{2}$ ( $\Phi $ ο χρυσός αριθμός) τότε να βρεθούν οι $\widehat{B} \kappa \alp...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Οκτ 21, 2018 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία 40
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 361

Re: Διπλάσια γωνία 40

Καλό βράδυ. Ασφαλώς και είναι γνωστή η ως άνω έκφραση του φίλου KARKAR . Ο ίδιος την στήριξε δίνοντας ουκ ολίγες φορές και τριγωνομετρικές λύσεις ! Στη συνέχεια μια ακόμη προσέγγιση υπέρ της .. κέντας ! 21-10 Διπλάσια γωνία ΚΑRKAR.PNG Με το $M$ μέσον της $CS$ και $I$ την τομή των $AM,BC$ έχουμε $AM...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση