Χρόνια πολλά και δημιουργικά σε όλους τους εορτάζοντες!

Χαιρετώ και πάλι. Ας δούμε μια προσέγγιση , αφιερωμένη -μαζί με τα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ- στον Θάνο Καλογεράκη
αφού χωρίς την παρέμβασή του το παρόν θέμα δεν θα είχε εμφανιστεί..Δίνω σχήμα με το αποτέλεσμα και θ' ακολουθήσει σχετική αιτιολόγηση.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στον ΘΑΝΑΣΗ , τον υπερπαραγωγό θεμάτων !! Αρκεί να κατασκευαστεί η $\widehat{ABS}=x$. Μισό..KARKAR.PNG Είναι $\eta \mu x=\dfrac{AS}{BS}=\dfrac{2ST}{BS}= 2\eta \mu y$ . Προς τούτο στην προέκταση της $CB $ παίρνουμε $BE=AB/2$ τότε με τον Ν.Η : $\dfrac{\eta \mu \theta }{\eta \mu \omega }=...

Χαιρετώ την παρέα! . Αρκεί να κατασκευάσουμε την $\widehat{CAS}=\omega $. Μισό...PNG Θεωρώ το $F$ συμμετρικό του $A$ ως προς την $BC$ και $AE \perp AF$ με $AE=AB$ ενώ $SI \perp AB$ . Τότε $\sigma \varphi \omega =\dfrac{AT}{TS}=\dfrac{SI}{BS/2}=2\eta \mu B$ αλλά και $\sigma \varphi \theta =\dfrac{AF...

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους φίλους Γιάννη , Νίκο και Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση! Θεωρώ βάσιμα ότι και το νέο ζητούμενο -με τροποποίηση τινών δεδομένων- θα προξενήσει το ενδιαφέρον , λόγω.. :) .. και του α π οτελέσματος. Ο λόγος ο ..περισπούδαστος!.PNG Στο σχήμα η $EAD$ είναι κάθετη στην διάμετρο...

Χαιρετώ. Ο λόγος ο καλός.PNG Στο σχήμα η $BC$ είναι διάμετρος , $D \in BC$ και $EAD \perp BC$ με $AE=2AD$ . Η $EC$ τέμνει το ημικύκλιο στο $I$ και η $BI$ την $AC$ στο $M$. Αν είναι $AM=MC$ τότε να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( MIC \right )}$ Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους. Μετά την ωραία(!) λύση του Κώστα μια προσπάθεια μάλλον υπολογιστική Κάθετη στη διχοτόμο.PNG Στο σχήμα επί της $ON$ παίρνουμε $OK=r/4$ . Η κάθετη προς την $MN$ στο $K$ τέμνει τον κύκλο στις ζητούμενες (συμμετρικές) θέσεις $B$ και $B'$. Προτίθεμαι βεβαίως να επανέλθω για την δέουσα...

Καλό βράδυ. Ας δούμε ακόμη μία προσέγγιση με την συνδρομή και του θεματοθέτη! Το μισό τρίγωνο.PNG Στο εγγράψιμο $ZAED$ η $AD$ είναι διάμετρος οπότε $EZ=AD\eta \mu A$ , ενώ από τον Ν. Ημιτόνων στο $BAC$ ισχύει $R\eta \mu A=a/2$. Όπως έδειξε και ο Γιώργος στο θέμα Ελάχιστη τιμή (#5) είναι $\widehat{A...

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους! Μια ακόμη παραλλαγή: Έστω το μέσον του και . Τότε άρα .
Φιλικά Γιώργος.

Καλό βράδυ. Γιάννη και Γιώργο σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις σας ! Ας προβάλω και την δική μου που είναι παρόμοια ως ένα βαθμό με αυτή του Γιάννη. Τα $H,M,A,P$ είναι ομοκυκλικά με διάμετρο την $AH$ και τότε $PM=AH\cdot \eta \mu A$ , άρα το $PM$ γίνεται ελάχιστο όταν το $AH$ γίνει ύψος του $ABC...

Καλό βράδυ. Εμβαδόν τεταρτοκυκλίου.PNG Οι $OM,ON$ είναι και διχοτόμοι στα ισοσκελή $AOS,BOS$. Περιστρέφουμε το τρίγωνο $BOT$ κατά $90^{0}$ στη θέση $AOE$ Τότε $AE=BT=3$ και $\widehat{EAP}=90^{0}$ άρα $PE=5$ . Τα τρίγωνα $POT,POE$ είναι ίσα οπότε $PT=PE=5...AB=12 ..OA=R=6 \sqrt{2}$ και τελικά το ζητ...

Καλημέρα στους φίλους! Η..διπρόσωπη τέταρτη πλευρά!.PNG Θεωρούμε τον κύκλο $(0,7) $ και τις χορδές $AB=2...AD=11$ . Για την $BD$ οι Νόμοι μας δίνουν $BD=2R\eta \mu A=14\eta \mu A...(1)$ και $BD^{2}=..=125-44\sigma \upsilon \nu A...\left ( 2 \right )$. Προκύπτει $196\eta \mu ^{2}A=125-44\sigma \upsi...

Χαιρετώ. Επαναφορά για τακτοποίηση. Να τονίσω μόνο , όπως είδαμε στο θέμα Εμβαδόν από το πουθενά αν το εν λόγω άθροισμα αποστάσεων αλλάξει τιμή τότε η $MN$ κινείται παράλληλα με τον εαυτό της.. Ποια είναι η σταθερή της κλίση ; Την απάντηση δίνει το απόσπασμα των Ιησουϊτών που υπέβαλε εκεί ο φίλος Θ...

Καλό απόγευμα. Το παρόν προέκυψε ως προσπάθεια γενίκευσης άλλου, πρόσφατου θέματος. Ελάχιστη τιμή.PNG Τρεις ευθείες τέμνονται ανά δύο στα σημεία $A,B,C$. Το σημείο $H$ διατρέχει την ευθεία $BC$ ενώ $M$ και $P$ είναι οι ορθές προβολές του στις ευθείες $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να βρεθεί η θέση του $...

Καλό βράδυ. Να ευχαριστήσω τον Νίκο για την όλη αντιμετώπιση του θέματος! Προσωπική προσέγγιση: 24άρα ..χρυσοθήρας.PNG Έστω $AM$ ύψος (και διχοτόμος) και σημείο $I \in AM$ ώστε $\widehat{ICA}=24^{0}$. Τότε $\widehat{CIM}=36^{0}\Rightarrow BC=2CM=2CI\eta \mu 36^{0}$ ενώ έχει δοθεί $BC=2AE\eta \mu 36...

Καλό απόγευμα σε όλους. Σ' ευχαριστώ Γιώργο για την άμεση τακτοποίηση του θέματος ! Στη συνέχεια έχει (αυξημένο κατά τη γνώμη μου ) ενδιαφέρον να .. αφήσουμε τις 30άρες για χάρη της 18άρας και της 54άρας του θέματος που ακολουθεί. Μόνο που για να $\Phi$τάσει κανείς στη λύση δεν μπορεί να επιλέξει μ...

Καλησπέρα στο :santalogo: !! Οι 30άρες δίνουν λόγο.PNG Το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=30^{0}$ Θεωρούμε το σημείο $H \in BC$ και τα $M \in AB ..N \in AC$ ώστε $HM \perp AB $ και $HN \perp AC$. Αν είναι $BC=4MN$ τότε Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\l...

Καλό βράδυ. Αγαπητέ Ratio σ' ευχαριστώ και πάλι για τον νέο κόπο και την εν γένει αντιμετώπιση του θέματος. Στη συνέχεια θα τονίσω τα απαραίτητα στοιχεία της προσπάθειας του Ratio με τις δέουσες διευκρινίσεις και προσθήκες Δίνεται $P\left ( 7 \right )< 0< P\left ( -7 \right )\Rightarrow 7^{3}+7a+b<...

Καλημέρα . Ακόμη μία υπέρ του Νόμου Τριαντάρες.PNG Από τα όμοια τρίγωνα $MAC,BAC$ παίρνουμε $\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{MC}{AC}$. Αν $BM=MC=k \Rightarrow AC=k\sqrt{2} $ . Στο τρίγωνο $MAC$ ο Νόμος ημιτόνων μας δίνει $\dfrac{\eta \mu \omega }{\eta \mu 30^{0}}=\dfrac{AC}{MC}=\sqrt{2}\Rightarrow \eta \mu \...