Η αναζήτηση βρήκε 1359 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Ιαν 22, 2021 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογώνιο τραπέζιο.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 127

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

Καλησπέρα!
Λίγο διαφορετικά: \dfrac{x/15+2/3}{1-2x/45}=1\Leftrightarrow x=3 Η εξήγηση θ΄ακολουθήσει...

Όπως βλέπω , με πρόλαβε ο αγαπητός Μιχάλης!
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιαν 18, 2021 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπολογισμός εφαπτομένης
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 146

Υπολογισμός εφαπτομένης

Χαιρετώ! Υπολογισμός εφαπτομένης.png Το $ABCD$ είναι ορθογώνιο και $E \in AB$. Ο κύκλος των $A,E,C $ τέμνει την $AD$ και στο $Z$. Οι $BD,EZ$ τέμνονται στο $K$ και το $I$ είναι το συμμετρικό του $E$ ως προς το $K$. Αν ισχύει $\dfrac{ZI}{KE}=tan\omega $ , όπου $\omega =\widehat{ADB}$ τότε: Να υπολογί...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιαν 16, 2021 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 4 ορθές για μια καθετότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 336

Re: 4 ορθές για μια καθετότητα

Χαιρετώ! Επανέρχομαι λοιπόν για μια ακόμη προσέγγιση , με χρήση του σχήματος 4 Ορθές για μια καθετότητα II.png Αρκεί να είναι το $Z$ ορθόκεντρο του τριγώνου $AEF$. Με το $EP$ ύψος θα δείξουμε ότι και το $FN$ είναι επίσης ύψος του. Το $APED$ (με 2 απέναντι ορθές) είναι εγγράψιμο άρα $\widehat{PEA}=\...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Ιαν 15, 2021 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ισεμβαδικά ορθογώνια
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 209

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Καλό βράδυ σε όλους! Τα ορθογώνια $OASB , OCTD$ είναι ισεμβαδικά . Τα $N ,M$ είναι τα μέσα των $AS , CT$ και : $L\equiv AC\cap NM$ . α) Δείξτε ότι : $AD \parallel BC$ ... β) Υπολογίστε την : $\tan\widehat{ALN}$ , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις $a,b,c,d$ . Ισεμβαδικά...png α) Είναι $(BCD)=(BCA...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Ιαν 08, 2021 5:44 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 250

Re: Ευχές

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όσες και όσους γιορτάζουν!

Θερμές ευχές στους Γιάννη Θωμαΐδη, Γιάννη Σταματογιάννη, Γιάννη Κερασαρίδη,

Γάννη Σαράφη, Γιάννη Τσόπελα, Γιάννη Γεωργά,

Γιάννη Μπόρμπα, Γιάννη Στάμου, Γιάννη Καραγιάννη


και στον Πρόδρομο Φωτιάδη.
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Ιαν 07, 2021 12:28 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Φάνης, Φώτης, Φωτεινή
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 255

Re: Φάνης, Φώτης, Φωτεινή

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες!
Θερμές ευχές στον Φάνη Θεοφανίδη, τον Φώτη Μαραντίδη και βεβαίως την Φωτεινή Καλδή.
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Ιαν 06, 2021 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 4 ορθές για μια καθετότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 336

Re: 4 ορθές για μια καθετότητα

Καλησπέρα και χρόνια πολλά. Σας ευχαριστώ όλους για τις ποικίλες προσεγγίσεις. Κάθε λύση έχει τη δική της χάρη! Να πω μόνο για τον νεαρό Πρόδρομο Φωτιάδη πως πλέον ...κινείται σε δυσθεώρητα ύψη και -με τις ευχές μας- προς την κατάκτηση κορυφών.. Σε επόμενη δημοσίευση προτίθεμαι να υποβάλω (αν δεν κ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Ιαν 05, 2021 5:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Φανερώστε τον λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 135

Re: Φανερώστε τον λόγο

Καλησπέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Μιχάλη και Γιάννη για τις άμεσες και κομψές απαντήσεις. Θα σταθώ μόνο στην ισεμβαδικότητα των $ABCD, AEZH$ Φανερώστε τον λόγο II.png Ι) Στο σχήμα φαίνεται η λύση του κ.Μιχάλη: $(ABCD) =(AEKD)=(AEZH)$, χάρις στην ισότητα των τριγώνων $ABE,KDC$ και των $ZEC,DA...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Ιαν 04, 2021 8:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Μη κυρτό τετράπλευρο.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 189

Re: Μη κυρτό τετράπλευρο.

Καλησπέρα! Ας δώσω σχήμα σε απόκρυψη και αργότερα τη λύση.. Μη κυρτό..Φ.Θ.png Επανέρχομαι με άρση απόκρυψης και τη δέουσα εξήγηση του σχήματος. Ας καλύψουμε γενικότερα το θέμα για γωνία $x$. (Στο παρόν είναι $x=19^o$). Τα $M,I$ ορίζουν τη μεσοκάθετο του $BD$. Τα ορθογώνια τρίγωνα $ABE,MID$ έχουν απ...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιαν 03, 2021 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 4 ορθές για μια καθετότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 336

4 ορθές για μια καθετότητα

Χαίρετε!
4 Ορθές για μια καθετότητα.png
4 Ορθές για μια καθετότητα.png (187.92 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Το ABCD έχει AC \perp BD ενώ \widehat{B}=\widehat{D}=90^o. Τα E \in CD και F \in BC ώστε AF \perp BE.Αν οι BE,DF τέμνονται στο Z τότε:

Να εξεταστεί αν είναι και AZ \perp EF . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Ιαν 03, 2021 1:19 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Φανερώστε τον λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 135

Φανερώστε τον λόγο

Χαιρετώ! Φανερώστε τον λόγο(1).png Τα $ABCD$ και $AEZH$ είναι παραλληλόγραμμα με $E \in BC$ και $D \in ZH$. Τα $ a,b,c,d $ εκφράζουν τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων. Αν ισχύει $\dfrac{a}{c-d}=\left ( \dfrac{a}{b} \right )^{2} $ τότε: Να ...Φανερωθεί ο λόγος $ \dfrac{\left ( ADH \right )}{\left (...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Ιαν 02, 2021 5:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ημικύκλιο επί ημικυκλίου ( ώρα εφαπτομένης 73)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 163

Re: Ημικύκλιο επί ημικυκλίου ( ώρα εφαπτομένης 73)

Καλησπέρα στους κραταιούς! Μετά το ...ξεκλείδωμα :clap2: ...του Αλέξανδρου εύκολος ο δρόμος για την $tan\theta $. Ημικύκλιο...KARKAR.png Έχουμε $\widehat{AMB}=\widehat{MBN}=\theta $ ενώ $BN^{2}=2R^{2}...MN^{2}=BN^{2}-BM^{2}= \dfrac{5+\sqrt{5}}{5}R^{2} $ οπότε $tan^{2}\theta =\dfrac{MN^{2}}{BM^{2}}=...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Δεκ 31, 2020 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κυνηγώντας το 13άρι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 120

Κυνηγώντας το 13άρι

Καλή πρωτοχρονιά σε όλους! Παραλλαγή παλαιού θέματος που μου άρεσε..
13άρι.png
13άρι.png (94.74 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές
Το C \in BH ώστε BC=3CH ενώ CE \parallel AB και EH \parallel AC. Οι AH,BE τέμνονται στο P

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EAP \right )}. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Δεκ 30, 2020 2:02 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 45
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 121

Re: Μεγάλες κατασκευές 45

Για την Καλημέρα σε όλους και για τον πολυγραφότατο KARKAR
Μ.Κ...45.png
Μ.Κ...45.png (67.08 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Αρκεί να υπολογιστεί το MT=MS=x .Είναι \dfrac{2x}{6}=tan\omega =\dfrac{2}{x}\Rightarrow x=\sqrt{6}... Φιλικά, Γιώργος,
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 28, 2020 10:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Δύο τετράγωνα και τρία ισεμβαδικά τρίγωνα.
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 368

Re: Δύο τετράγωνα και τρία ισεμβαδικά τρίγωνα.

Καλό βράδυ σε όλους! Με χρήση του σχήματος 2 τετράγωνα...png Από τα ίσα τρίγωνα $AEC,ZIC$ παίρνουμε $EC=ZC$. Αν $M$ το μέσο της $AE$ τότε $BM=ME$. Τα ισοσκελή $ZEC,BEM$ είναι όμοια με $(ZEC)=2(BEM)$ άρα $\dfrac{EC}{EM}=\sqrt{2}$. Αλλά και $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2EM}{EC}=\sqrt{2}$. Τότε τα $AEC,MEC$...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Δεκ 28, 2020 12:36 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση εμβαδών
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1100

Re: Σύγκριση εμβαδών

Χαιρετώ τους φίλους! Μετά τις θαυμάσιες ως άνω λύσεις , μια ακόμη προσέγγιση με την βοήθεια της εικόνας. Γενίκευση Γ.Ρ.png Έστω ότι ισχύει $b^{2}+c^{2}=\left ( 2a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( b/2 \right )^{2}+\left ( c/2 \right )^{2}=a^{2}$. Θεωρούμε το (ορθογώνιο ) τρίγωνο- γεννήτορα $MAN$ ...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Δεκ 27, 2020 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνεπώς παράλληλες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 443

Re: Συνεπώς παράλληλες

Καλησπέρα! Πολύ σωστά Νίκο , η συνθήκη $b+c=2a$ χρειάζεται μόνο στο αρχικό θέμα του οποίου ας δούμε και την προσέγγιση που ακολουθεί Συνεπώς παράλληλες ΙΙ.png Στην προέκταση της $BA$ παίνουμε $AH=AC=b$ και τότε είναι $BH=2a$. Σύμφωνα με το ως άνω λήμμα το $\triangle BZH$ είν' ισοσκελές κι' έτσι η π...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Δεκ 26, 2020 9:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνεπώς παράλληλες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 443

Re: Συνεπώς παράλληλες

Καλημέρα. Ευχαριστώ και πάλι τους Στάθη, Σωτήρη, Γιώργο και Νίκο για τις ωραίες επεμβάσεις τους! Ας θέσω για απόδειξη το λήμμα που ακολουθεί, προς εξυπηρέτηση του αρχικού θέματος. Λήμμα .png Για το τρίγωνο $ABC$ του σχήματος ισχύει $b+c=2a$ . Η διάμετρος $EZ$ είναι μεσοκάθετος του $BC$. Αν $H \in B...
από Γιώργος Μήτσιος
Παρ Δεκ 25, 2020 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνεπώς παράλληλες
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 443

Συνεπώς παράλληλες

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το :santalogo: 25-12 Συνεπώς παράλληλες.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει περίμετρο $3a$ και με το $P \in AC$ ισχύει $PC=BC=a$. Η μεσοκάθετος του $BC$ τέμνει τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ στα $E,Z$ και η $ZP$ τον επανατέμνει στο $N$, Να εξεταστεί αν είναι $EN \parallel AC$. Οι παραπ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Δεκ 22, 2020 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρίκυκλη κατασκευή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 195

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Καλό βράδυ σε όλους! Τρίκυκλη κατασκευή.png Ας είναι το πρόβλημα λυμένο. Με $R>r $ θεωρούμε το $F \in KA$ ώστε να είναι $KF=KB$. Το $F$ "βλέπει" την $AB$ υπό γωνία $\omega =\dfrac{\pi -\theta }{2}$ δηλ ανήκει σε γνωστό τόξο αλλά και στον κύκλο $(A, R-r)$ αφού $AF=KF-KB=KB-KA=R-r $. Συνεπώς το $F$ κ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση