Η αναζήτηση βρήκε 6017 εγγραφές

από socrates
Κυρ Απρ 05, 2020 3:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 161

Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{a^3 + b^5 + c^7 + d^{11} = e^{13}}$ έχει άπειρες θετικές ακέραιες λύσεις. ΘΕΜΑ 2 α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο. β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών $(A, B)$ ό...
από socrates
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 268

Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 α) Βρείτε όλους τους πρώτους $p, q, r$ τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα. β) Υπάρχουν πρώτοι $p, q, r$ τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα; ΘΕΜΑ 2 Δίνεται το σύνολο $M=\{1,...
από socrates
Σάβ Απρ 04, 2020 11:52 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ελάχιστο!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 372

Re: Ελάχιστο!

\displaystyle{\displaystyle{K=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{x^3+y^3+3xy}=4+2\sqrt{3}...}}
από socrates
Παρ Απρ 03, 2020 6:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 314

Re: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ και $z$ ώστε $z^2 = (x^2 + 1)(y^2-1) + n$ αν (α) $n = 2006$ (β) $n = 2007$; (Γενικεύστε!) Ξεχάστηκε! Δεν είναι δύσκολο! Στη μία περίπτωση είναι αδύνατη (οπότε πρέπει να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν τέτοια $x,y,z$), ενώ στην άλλη έχει λύση (οπότε απλά αρκεί να βρούμε μια...
από socrates
Παρ Απρ 03, 2020 6:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 316

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι. Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται : Να λυθεί η εξίσωση $36^k - 5^m=11.$ Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι; (δεν έχω λύση) To έβαλα κ...
από socrates
Παρ Απρ 03, 2020 6:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (22), Μικροί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 286

Re: Τεστ Εξάσκησης (22), Μικροί

socrates έγραψε:
Πέμ Μαρ 12, 2020 12:11 am
ΘΕΜΑ 2
Χρωματίζουμε κάθε θετικό ακέραιο με ένα από τρία χρώματα.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί, του ίδιου χρώματος, των οποίων η διαφορά είναι τέλειο τετράγωνο.
Μια λύση:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h2023915
από socrates
Πέμ Απρ 02, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
Θέμα: Ενδιαφέρον κανάλι στο youtube
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 970

Re: Ενδιαφέρον κανάλι στο youtube

Εξαιρετικό κανάλι!
από socrates
Πέμ Απρ 02, 2020 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τουλάχιστον
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 533

Re: Τουλάχιστον

Επαναφορά!
από socrates
Τρί Μαρ 31, 2020 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (23), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 395

Re: Τεστ Εξάσκησης (23), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με $\angle ABC=60^{\circ}$ και $\angle ACB =40^{\circ}.$ To σημείο $D$ βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς $BC,$ προς το $C,$ έτσι ώστε $CD = AB + BC + AC.$ Να προσδιορίσετε το μέτρο της γωνίας $\angle ADB.$ Κι άλλες λύσεις, εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic...
από socrates
Τρί Μαρ 31, 2020 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μη συνευθειακά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 788

Re: Μη συνευθειακά

Επαναφορά!
από socrates
Τρί Μαρ 31, 2020 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Βρείτε τα σύνολα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 129

Βρείτε τα σύνολα

Έστω $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ και $S = \{4, 5, 9, 14, 23, 37\}.$ Βρείτε δύο σύνολα $A$ και $B$ τέτοια ώστε (α) $A \cap B = \emptyset$ (β) $A \cup B = C$ (γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του $A$ δεν ανήκει στο $S$ (δ) το άθροισμα δύο δι...
από socrates
Τρί Μαρ 31, 2020 6:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στους πραγματικούς
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 839

Re: Συναρτησιακή στους πραγματικούς

Επαναφορά!

Νομίζω ότι δεν μπορούμε να τις περιγράψουμε όλες...
από socrates
Δευ Μαρ 30, 2020 11:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 323

Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 12:23 am
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης

\displaystyle{(x^2 + 3x + 1)^{x^2−x−6} = 1.}

Ωραία!
Έχουμε ουσιαστικά να λύσουμε την εξίσωση a^b=1. Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν:
  • a=1 και b\in \Bbb{R}
  • b=0 και a\ne 0
  • a=-1 και b άρτιος.
από socrates
Δευ Μαρ 30, 2020 11:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 652

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

Δεν το εχω καταλαβει αυτο. Σε ανισοτητες που πρεπει να βρουμε εμεις το φραγμα μπορουμε να βαζουμε οτι αριθμους μας βολευουν για να βρουμε το φραγμα? Ναι, υποθέτουμε ότι η ανισότητα ισχύει για κάθε $x,y,z.$ Τότε θα ισχύει και για τις τιμές που επιλέγουμε εμείς. Οπότε αναγκαία θα πρέπει π.χ. $M\geq 1...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση