Η αναζήτηση βρήκε 5740 εγγραφές

από socrates
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιοι ως κυκλικό άθροισμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 601

Ακέραιοι ως κυκλικό άθροισμα

Να βρείτε όλους τους ακεραίους m οι οποίοι γράφονται στη μορφή

m=x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1

για κάποιο θετικό ακέραιο n\geq 2 και x_i\in \{\sqrt{2}+1, \sqrt{2}-1\}, για κάθε i=1,2,...,n.
από socrates
Τετ Σεπ 06, 2017 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστος αριθμός στηλών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 387

Μέγιστος αριθμός στηλών

Σε κάθε κελί ενός πίνακα που αποτελείται από 4 γραμμές είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη είναι ίσο με 20. Σε κάθε γραμμή, οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός στηλών του πίνακα;
από socrates
Δευ Ιουν 26, 2017 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 732

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Αλλιώς:

Χρησιμοποιώντας την \displaystyle{\frac{x+1}{y+1}>\frac{x}{y},} για y>x, και την ανισότητα Nesbit έχουμε


\displaystyle{\frac{ab + 1}{a^2 + ca + 1}+\frac{bc + 1}{b^2 + ab + 1}+\frac{ca + 1}{c^2 + bc + 1}>\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}+\frac{a}{c+b} \geq\frac{3}{2}.}
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (1/2)
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1647

Re: JBMO Shortlist 2016

silouan έγραψε:A4: Οι θετικοί πραγματικοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε x^2+y^2+z^2=x+y+z. Να δείξετε ότι
\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x^5+x+1}}+\frac{y+1}{\sqrt{y^5+y+1}}+\frac{z+1}{\sqrt{z^5+z+1}}\geq 3.
Η ανισότητα είναι γνήσια και το 3 η καλύτερη σταθερή... ;)
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1378

Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008

Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό $p>3$ για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός $n>0$ ώστε να ισχύει $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$. Έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω σε αυτό το όμορφο πρόβλημα. Έξτρα ερώτημα: Να βρεθεί άλλος ένας πρώτος με την παραπάνω ιδιότητα. Όταν $p=29$ η $2^n+3^n\equiv 0...
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1378

Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008

Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό $p>3$ για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός $n>0$ ώστε να ισχύει $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$. Όταν $p=19$ η $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$ είναι ισοδύναμη με $11^n\equiv -1 \pmod{19}.$ Όμως, $11^1\equiv 11 \pmod{19}, 11^2\equiv 7 \pmod{19}, 11^3 \equiv 1 \p...
από socrates
Τρί Ιουν 20, 2017 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 893

Re: Διοφαντική εξίσωση

min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;
Με την εντολή \pmod. Π.χ.

3^{4n+1}\equiv 7 \pmod{13}
από socrates
Τρί Ιουν 20, 2017 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: εξίσωση... λίγο από... όλα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 596

Re: εξίσωση... λίγο από... όλα

$9\geq 8^{sin^{2}(\pi\cdot x)}+8^{cos^{2}(\pi \cdot x)}=\left | 2x^{2} -5x\sqrt{x}-3x+13\sqrt{x}-6\right |+9\geq 9$ Παντού ισότητα, οπότε $\sin^{2}(\pi x) \cos^{2}(\pi x)=0$ (άρα $x$ ρητός) και $\displaystyle{2x^{2} -5x\sqrt{x}-3x+13\sqrt{x}-6=0 \iff \sqrt{x}=2, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}, \f...
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ταυτότητα και ελάχιστο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 607

Ταυτότητα και ελάχιστο

α) Να γράψετε την παράσταση \displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12} στη μορφή \displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi} .
β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των \displaystyle{x} και \displaystyle{y}.
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 467

Ίσα τμήματα

Θεωρούμε τρίγωνο ABC με A=60^{\circ} και B=80^{\circ} και έστω I το έγκεντρό του.
Να δείξετε ότι AB=CI.
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ποδηλάτες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 631

Ποδηλάτες

Δύο ποδηλάτες ξεκινούν ακριβώς το μεσημέρι, ο ένας από Αθήνα και ο άλλος από Σούνιο. Ο πρώτος εκτελεί την διαδρομή από Αθήνα ως Σούνιο κι επιστρέφει πάλι αμέσως στην Αθήνα, ενώ ο δεύτερος εκτελεί την διαδρομή από Σούνιο προς Αθήνα κι επιστρέφει πάλι αμέσως προς Σούνιο. Οι δυο ποδηλάτες συναντήθηκαν ...
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 3:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σημεία στην περιφέρεια κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 536

Σημεία στην περιφέρεια κύκλου

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες: Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσιν...
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 3:55 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σε στρογγυλό τραπέζι
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 660

Σε στρογγυλό τραπέζι

Σε ένα σύλλογο $n\geq 5$ μελών, κάθε δύο μέλη που δε γνωρίζονται μεταξύ τους, έχουν ακριβώς ένα κοινό γνωστό, και κανένα μέλος δε γνωρίζει όλα τα υπόλοιπα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $5$ μέλη τα οποία μπορούν να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι έτσι ώστε καθένα από αυτά να κάθεται ανάμεσα σε δύο μέλη (...
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχετικά Πρώτοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 821

Re: Σχετικά Πρώτοι

Γράφουμε τους αριθμούς $1,2,..,1987$ ως εξής: $1,2,3$ $4,5,6$ $...$ $1984,1985,1986$ $1987$ Αν υπάρχουν και οι τρεις από μια γραμμή, τότε είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους. Αλλιώς, έχουμε ακριβώς δύο από κάθε γραμμή και τον $1987.$ Οπότε σίγουρα θα υπάρχει κάποια από τις τριάδες $\{1987,1986,1985\}$ ...
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 12:05 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Χρωματισμός ακεραίων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 673

Χρωματισμός ακεραίων

Κάθε ακέραιος χρωματίζεται άσπρος ή μαύρος με τέτοιο τρόπο ώστε αν ο m είναι άσπρος τότε ο m + 20 είναι επίσης άσπρος και αν ο k είναι μαύρος τότε και ο k + 35 είναι επίσης μαύρος. Πόσοι από τους αριθμούς 1, 2, . . . , 50 είναι δυνατόν να είναι άσπροι;
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σταθερές σε ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 604

Σταθερές σε ανισότητα

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του a και την ελάχιστη τιμή του b ώστε για κάθε x,y,z \in \Bbb{R}_{\geq 0} να ισχύει

\displaystyle{a(x+y+z)^2\leq x^2+y^2+z^2+yz\leq b(x+y+z)^2.}
από socrates
Σάβ Ιουν 17, 2017 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα μηδέν
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 608

Άθροισμα μηδέν

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους υπάρχουν μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί x_1,x_2,...,x_n ώστε

\displaystyle{x_1+x_2+...+x_n=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=0.}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση