Η αναζήτηση βρήκε 5746 εγγραφές

από socrates
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 186

Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(x) \geq 0, για κάθε x\in\mathbb{R} και

f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)), για κάθε x,y\in\mathbb{R}
από socrates
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 143

Συναρτησιακή εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε f(xf(x) + yf(y)) = xy, για κάθε x,y\in\mathbb{R}^+.
από socrates
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 171

Συναρτησιακή εξίσωση

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}.
από socrates
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 306

Πολυώνυμο

Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα P(x) με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε

\displaystyle P(x)^3+P(y)^3+P(z)^3=3P(xyz)

για κάθε x,y,z\in \Bbb{R} με x+y+z=0
από socrates
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 121

Συναρτησιακή εξίσωση

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+ τέτοια ώστε \displaystyle f(f(x)+y)=f(x)+3x+yf(y) για κάθε x,y\in\mathbb{R}^+.
από socrates
Τρί Νοέμ 14, 2017 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιοι ως κυκλικό άθροισμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 635

Ακέραιοι ως κυκλικό άθροισμα

Να βρείτε όλους τους ακεραίους m οι οποίοι γράφονται στη μορφή

m=x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1

για κάποιο θετικό ακέραιο n\geq 2 και x_i\in \{\sqrt{2}+1, \sqrt{2}-1\}, για κάθε i=1,2,...,n.
από socrates
Τετ Σεπ 06, 2017 3:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστος αριθμός στηλών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 414

Μέγιστος αριθμός στηλών

Σε κάθε κελί ενός πίνακα που αποτελείται από 4 γραμμές είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος. Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη είναι ίσο με 20. Σε κάθε γραμμή, οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός στηλών του πίνακα;
από socrates
Δευ Ιουν 26, 2017 1:50 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 753

Re: Ανισότητα με πλευρές τριγώνου

Αλλιώς:

Χρησιμοποιώντας την \displaystyle{\frac{x+1}{y+1}>\frac{x}{y},} για y>x, και την ανισότητα Nesbit έχουμε


\displaystyle{\frac{ab + 1}{a^2 + ca + 1}+\frac{bc + 1}{b^2 + ab + 1}+\frac{ca + 1}{c^2 + bc + 1}>\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}+\frac{a}{c+b} \geq\frac{3}{2}.}
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (1/2)
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 1713

Re: JBMO Shortlist 2016

silouan έγραψε:A4: Οι θετικοί πραγματικοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε x^2+y^2+z^2=x+y+z. Να δείξετε ότι
\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x^5+x+1}}+\frac{y+1}{\sqrt{y^5+y+1}}+\frac{z+1}{\sqrt{z^5+z+1}}\geq 3.
Η ανισότητα είναι γνήσια και το 3 η καλύτερη σταθερή... ;)
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:23 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1431

Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008

Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό $p>3$ για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός $n>0$ ώστε να ισχύει $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$. Έψαχνα κάτι άλλο και έπεσα πάνω σε αυτό το όμορφο πρόβλημα. Έξτρα ερώτημα: Να βρεθεί άλλος ένας πρώτος με την παραπάνω ιδιότητα. Όταν $p=29$ η $2^n+3^n\equiv 0...
από socrates
Κυρ Ιουν 25, 2017 5:08 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1431

Re: Ελάχιστος πρώτος - JBMO Shortlist 2008

Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο πρώτο αριθμό $p>3$ για τον οποίο δεν υπάρχει φυσικός αριθμός $n>0$ ώστε να ισχύει $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$. Όταν $p=19$ η $2^n+3^n\equiv 0 \pmod{p}$ είναι ισοδύναμη με $11^n\equiv -1 \pmod{19}.$ Όμως, $11^1\equiv 11 \pmod{19}, 11^2\equiv 7 \pmod{19}, 11^3 \equiv 1 \p...
από socrates
Τρί Ιουν 20, 2017 10:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Διοφαντική εξίσωση
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 935

Re: Διοφαντική εξίσωση

min## έγραψε:...Παρεμπιπτόντως πώς μπορώ να ξεκολλάω τα mod στο eqeditor;
Με την εντολή \pmod. Π.χ.

3^{4n+1}\equiv 7 \pmod{13}
από socrates
Τρί Ιουν 20, 2017 7:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: εξίσωση... λίγο από... όλα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 616

Re: εξίσωση... λίγο από... όλα

$9\geq 8^{sin^{2}(\pi\cdot x)}+8^{cos^{2}(\pi \cdot x)}=\left | 2x^{2} -5x\sqrt{x}-3x+13\sqrt{x}-6\right |+9\geq 9$ Παντού ισότητα, οπότε $\sin^{2}(\pi x) \cos^{2}(\pi x)=0$ (άρα $x$ ρητός) και $\displaystyle{2x^{2} -5x\sqrt{x}-3x+13\sqrt{x}-6=0 \iff \sqrt{x}=2, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}-1}{2}, \f...
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 2:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ταυτότητα και ελάχιστο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 629

Ταυτότητα και ελάχιστο

α) Να γράψετε την παράσταση \displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12} στη μορφή \displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi} .
β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των \displaystyle{x} και \displaystyle{y}.
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 485

Ίσα τμήματα

Θεωρούμε τρίγωνο ABC με A=60^{\circ} και B=80^{\circ} και έστω I το έγκεντρό του.
Να δείξετε ότι AB=CI.
από socrates
Δευ Ιουν 19, 2017 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Ποδηλάτες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 653

Ποδηλάτες

Δύο ποδηλάτες ξεκινούν ακριβώς το μεσημέρι, ο ένας από Αθήνα και ο άλλος από Σούνιο. Ο πρώτος εκτελεί την διαδρομή από Αθήνα ως Σούνιο κι επιστρέφει πάλι αμέσως στην Αθήνα, ενώ ο δεύτερος εκτελεί την διαδρομή από Σούνιο προς Αθήνα κι επιστρέφει πάλι αμέσως προς Σούνιο. Οι δυο ποδηλάτες συναντήθηκαν ...
από socrates
Κυρ Ιουν 18, 2017 3:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σημεία στην περιφέρεια κύκλου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 566

Σημεία στην περιφέρεια κύκλου

Στην περιφέρεια ενός κύκλου υπάρχουν εξήντα σημεία, τριάντα από τα οποία είναι χρωματισμένα κόκκινα, είκοσι μπλε και δέκα πράσινα. Τα σημεία αυτά διαιρούν τον κύκλο σε εξήντα τόξα. Σε καθένα από αυτά τα τόξα γράφουμε έναν αριθμό, σύμφωνα με τους κανόνες: Αν το τόξο συνδέει ένα κόκκινο και ένα πράσιν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση