Ισόπλευρο πεντάγωνο

KARKAR · #1

: Ισόπλευρο πεντάγωνο.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Στο κυρτό ισόπλευρο πεντάγωνο ABCDE

, η κορυφή

, βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετη

της πλευράς

. Βρείτε το ελάχιστο άνω και το μέγιστο κάτω φράγμα , για τον λόγο : $\dfrac{AC}{CE}$

#2

Επαναφορά!

KARKAR · #3

Άλλη διατύπωση : Δείξτε ότι : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{AC}{CE}<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ , με τον λόγο $\dfrac{AC}{CE}$ ,

να πλησιάζει όσο θέλουμε το άνω και το κάτω φράγμα . ( infimum και supremum )

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 24, 2025 9:24 am Άλλη διατύπωση : Δείξτε ότι : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{AC}{CE}<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ , με τον λόγο $\dfrac{AC}{CE}$ ,

να πλησιάζει όσο θέλουμε το άνω και το κάτω φράγμα . ( infimum και supremum )

Ας είναι μοναδιαίες οι πλευρές του ισόπλευρου πενταγώνου ABCDE,

και ας είναι $\beta =\angle ABC=\angle DEA$ και $\delta =\angle CDE=\angle BCD,$ οπότε βεβαίως $\angle EAB =3\pi-2\beta -2\delta ,$ και, από Νόμο Συνημιτόνων στο ABE,

$BE^2=2+2cos(2\beta +2\delta ).$ Ισχύει όμως -- βλέπε συνημμένο -- και η $BE=1-2cos\delta ,$ οπότε λαμβάνουμε την βασική ισότητα γωνιών

$cos(2\beta +2\delta )=\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}.$

Μέσω αυτής της ισότητας εκφράζουμε την γωνία $\beta$ ως συνάρτηση της γωνίας $\delta ,$

$\beta (\delta )=\pi +\dfrac{1}{2}arccos\left(\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}\right)-\delta ,$

οπότε από την παράγωγο προκύπτει εύκολα η διαισθητικά εύλογη μείωση της γωνίας $\beta$ όσο αυξάνεται η γωνία $\delta :$

$\beta '(\delta)=-\dfrac{2sin\delta (1-2cos\delta )}{\sqrt{4-(4cos^2\delta -4cos\delta -1)^2}}-1<0.$

H αρνητικότητα της παραγώγου προκύπτει από την $cos\delta\leq \dfrac{1}{4},$ καθώς η γωνία $\delta$ πράγματι μεταβάλλεται από την arccos(1/4),

όπου $\beta =\pi$ (ισοσκελές τρίγωνο), ως την $2\pi /3,$ όπου $\beta =\pi /3$ (ισοσκελές τραπέζιο).

Οι παραπάνω ακραίες τιμές των $\beta$ και $\delta$ δίνουν άμεσα τα ζητούμενα φράγματα, καθώς από Νόμο Συνημιτόνων στα τρίγωνα BAC

και

προκύπτει άμεσα η $\left(\dfrac{AC}{CE}\right)^2=\dfrac{1-cos\beta}{1-cos\delta}$ ... και όσο ο παρονομαστής αυξάνεται ο αριθμητής μειώνεται (σύμφωνα και με τα παραπάνω), κλπ

: karkar-pentagons.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

#5

Προς επίρρωση των ανωτέρω ... καταθέτω και ένα γράφημα της $\dfrac{AC}{CE}$ ως συνάρτησης της γωνίας $\delta$ ... έχοντας προσθέσει και το απαραίτητο $\pi$ στον τύπο της $\beta (\delta)$

: AC-CE.png (35.76 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

#6

Το χάζευα λοιπόν το παραπάνω γράφημα -- προ εβδομάδων αρκετών -- και έλεγα μέσα μου "ρε το άτιμο, εκεί στην άκρη την αριστερή ... λες να έχει σημείο καμπής;!" Και πράγματι έχει, γύρω στο 1,329

αν θυμάμαι σωστά; Έχει καμιά σημασία αυτό; Δεν νομίζω

Τέλος πάντων, ας δώσω και μια 'συνολική' έκφραση του λόγου $\dfrac{AC}{AE}$ ως συνάρτηση του συνημιτόνου της γωνίας $\delta$ :

$\dfrac{AC}{AE} =\displaystyle\sqrt\dfrac{2+cos\delta \sqrt{1-4cos\delta +4cos^2\delta}+\sqrt{1-cos^2\delta}\sqrt{3+4cos\delta-4cos^2\delta}}{2(1-cos\delta )}}$

Το ωραίο είναι ότι ο παραπάνω τύπος ... είναι σωστός, καθώς δίνει για $\dfrac{AC}{AE}=1$ (μοναδική (!) κατά WolframAlpha) λύση $cos\delta =\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$ ... δηλαδή $\delta = 108^0$

Και βέβαια ... λαμβάμουμε το ίδιο γράφημα 'ανάποδα' ... για $-0.5\leq cos\delta \leq 0.25:$

: cos-graph.png (39.3 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

#7

gbaloglou έγραψε: Τρί Νοέμ 25, 2025 12:55 am
KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 24, 2025 9:24 am Άλλη διατύπωση : Δείξτε ότι : $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{AC}{CE}<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ , με τον λόγο $\dfrac{AC}{CE}$ ,

να πλησιάζει όσο θέλουμε το άνω και το κάτω φράγμα . ( infimum και supremum )
Ας είναι μοναδιαίες οι πλευρές του ισόπλευρου πενταγώνου και ας είναι $\beta =\angle ABC=\angle DEA$ και $\delta =\angle CDE=\angle BCD,$ οπότε βεβαίως $\angle EAB =3\pi-2\beta -2\delta ,$ και, από Νόμο Συνημιτόνων στο $BE^2=2+2cos(2\beta +2\delta ).$ Ισχύει όμως -- βλέπε συνημμένο -- και η $BE=1-2cos\delta ,$ οπότε λαμβάνουμε την βασική ισότητα γωνιών

$cos(2\beta +2\delta )=\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}.$

Μέσω αυτής της ισότητας εκφράζουμε την γωνία $\beta$ ως συνάρτηση της γωνίας $\delta ,$

$\beta (\delta )=\pi +\dfrac{1}{2}arccos\left(\dfrac{4cos^2\delta -4cos\delta -1}{2}\right)-\delta ,$

οπότε από την παράγωγο προκύπτει εύκολα η διαισθητικά εύλογη μείωση της γωνίας $\beta$ όσο αυξάνεται η γωνία $\delta :$

Καλά τα παραπάνω, και χρήσιμοι και οι τύποι, ας μείνουμε όμως για μια στιγμή στην παραπάνω "διαισθητικά εύλογη μείωση": αν αυξάνονταν ταυτόχρονα οι δύο γωνίες, $\angle ABC = \beta$ και $\angle CDE = \delta,$ τότε θα αυξάνονταν ταυτόχρονα και οι διαγώνιοι

και

άρα θα μειώνονταν η γωνία $\angle ACE$ (έτσι ώστε να διατηρείται σταθερό το μήκος της

)^ λόγω όμως της αύξησης των γωνιών $\angle ABC = \beta$ και $\angle CDE = \delta$ στα ισοσκελή τρίγωνα BAC

και

θα όφειλαν να μειωθούν αντίστοιχα και οι γωνίες $\angle BCA$ και $\angle ECD,$ οπότε συμπεραίνουμε ότι θα μειώνονταν και η γωνία $\angle CDE= \angle BCD = \angle BCA + \angle ACE + \angle ECD$ (ως άθροισμα τριών μειούμενων γωνιών), ΑΤΟΠΟ.

Ισόπλευρο πεντάγωνο

Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Re: Ισόπλευρο πεντάγωνο

Μέλη σε σύνδεση