Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Κυρ Απρ 05, 2020 7:44 pm

... και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.

Δε πειράζει.. Δεν έγινε και κάτι.

Έστω $\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n$ όπου $x_n$ πραγματική ακολουθία και έστω $\ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n$ . Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και το $\ell$ υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε $\ell=0$. Να δοθεί παράδειγμα όπου $x_n>0$ , η $\mathcal...

Να δειχθεί ότι:

Γεια σου ρε Βαγγέλη. Είδες σύμπτωση όμως; Πριν 6 χρόνια το είχες λύσει ξανά εδώ.

Άσκηση 79


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Έστω $a, b >0$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}$ Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $t \mapsto a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta$ και έχουμε: $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{\math...

Γεια σου Μιχάλη. Δεν είχα αυτό στο νου όταν το έθεσα. Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή. Την αφήνω λίγο ακόμα , αλλά σπεύδω να πω πως έχω ξανά βάλει το θέμα πολύ πιο παλιά.

Άσκηση 78


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:


Απαιτητικό για μαθητές!

Έστω . Να δειχθεί ότι:

Τα παραπάνω τα έχω κάνει compile στο παρακάτω PDF μαζί και με κάποια επιπλέον παραδείγματα.

Έστω . Να δειχθεί ότι:


όπου η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

Έστω τέτοια ώστε . Να υπολογιστεί το όριο:

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Δευ Μαρ 30, 2020 8:26 am

Αν έκανα σωστά τις πράξεις, βρήκα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Θα κλείσουμε αυτό το mini tutorial με ένα άλλο ολοκλήρωμα που λέγεται ολοκλήρωμα Abel. 3. Ολοκλήρωμα Abel Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{t}{\left ( e^{\pi t} -e^{-\pi t} \right )\left ( 1+t^2 \right )}\, \mathrm{d}t = \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{4}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη...

Έστω η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

Παρεμφερή με τα ολοκληρώματα Ahmed είναι τα παρακάτω. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left ( x \sqrt{2+x^2} \right )}{\sqrt{x^2+2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi^2}{36}$. Υπόδειξη: Κάντε την αντικατάσταση $y = \arctan \left(x \sqrt{2+x^2} \right)$. $\displaystyle \int_{0}^{1} \fra...

2. Ολοκλήρωμα Ahmed Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\arctan\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}} \, \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1} = \frac{5\pi^{2}}{96}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left(t\sqrt{2+x^2} \right)}{(1+x^2)\sqrt{2+x^...

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Α...

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Αν...