Έστω $f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt$ να βρεθεί η $f'$ Εύκολο δεν είναι; Είναι: $\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t \right ) \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} ...

Όντως πανίσχυρο πακέτο. Το χρησιμοποιώ κατά κόρον στις σημειώσεις μου σε συνδυασμό με το fontawesome πακέτο. Το αποτέλεσμα ; Εξαιρετικό!

Έστω η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Να δειχθεί ότι:

Έστω . Να δειχθεί ότι:

Έστω $f:\mathbb N^*\to \mathbb N^*$ μία $1-1$ συνάρτηση. Δείξτε ότι η σειρά $\displaystyle{\sum _{k=1}^{\infty} \frac {f(k)}{k^2} }$ αποκλίνει. Πρόκειται για άσκηση που έχει πέσει σε εξετάσεις στο Wisconsin - Madison κάπου το 2008. Έχω δύο λύσεις. Θα δώσω όμως τη μία που μου αρέσει πιο πολύ. Εφόσον...

Είχα σήμερα επιτήρηση στο εξεταστικό της Λάρισας. Επιτηρούσα Β', Γ' Γυμνασίου. Κατά τη διάρκεια αυτής είχα τη χαρά να λύσω της Γ' Γυμνασίου τα οποία μου φάνηκαν σχετικά βατά. Μου άρεσε ιδιαίτερα η γεωμετρία της Γ'. Καλή τύχη σε όλα τα παιδιά που έδωσαν. Χωρίς να θέλω να το παίξω έξυπνος η' παντογνώ...

Είχα σήμερα επιτήρηση στο εξεταστικό της Λάρισας. Επιτηρούσα Β', Γ' Γυμνασίου. Κατά τη διάρκεια αυτής είχα τη χαρά να λύσω της Γ' Γυμνασίου τα οποία μου φάνηκαν σχετικά βατά. Μου άρεσε ιδιαίτερα η γεωμετρία της Γ'. Καλή τύχη σε όλα τα παιδιά που έδωσαν.

Με λίγη καθυστέρηση , χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες.

Έστω κυρτή συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού R. Αν $\lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}$ να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow+00 }f'(x)$. Επειδή η $f$ είναι κυρτή η $f'$ είναι αύξουσα. Συνεπώς το $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x)$ υπάρχει είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο. Τότε ...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Έστω $\alpha, \beta>0$ με $\alpha \neq \beta$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{1-x^2}{\left ( \alpha x +\beta \right )^2} \frac{\ln \left ( 1+x \right )}{\left ( \beta x + \alpha \right )^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha \beta \left ( \alpha^2 - \beta^2 \right )} \ln \frac{...

Δε καταλαβαίνω πραγματικά. Το πεδίο ορισμού της είναι το . Σε αυτό η δεν είναι 1-1 αφού για διαφορετικά είναι πράγμα εντελώς λογικό αφού η είναι άρτια.

orestisgotsis έγραψε: ↑

Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm

Να βρεθεί η αντίστροφη της

Αποκλείεται η να αντιστρέφεται , αφού για είναι .

Σωστά! Την έχω πάρει από εφημερίδα, νομίζω κάπου στο .

Να βρεθεί η συνάρτηση

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι γνήσια αύξουσα και ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left ( f\circ f\circ f\circ f\circ f \right )(x)=x \quad \text{\grγια κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$ Να δειχθεί ότι η $f$ είναι η ταυτοτική. Θαρρώ κάπου την έχουμε δει αλλά δε θυμάμαι πού...

grigkost έγραψε: ↑

Κυρ Οκτ 27, 2019 7:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Σάβ Οκτ 26, 2019 9:40 pm

...Το ερώτημα είναι γιατί;

Απάντηση: Γιατί είναι "έξυπνο"!

Ευχαριστώ.

Ναι Σταύρο..