Μία λύση...

$$\begin{aligned}
\frac{e^z-1}{z} & = e^{z/2} \frac{e^{z/2} - e^{-z/2}}{z} \\
& = e^{z/2} \frac{\frac{e^{z/2} - e^{-z/2}}{2}}{\frac{z}{2}} \\
& = e^{z/2} \frac{\sinh \frac{z}{2}}{\frac{z}{2}} \\
& = e^{z/2} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{z^2}{4n^2 \pi^2} \right)
\end ...

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 10:09 am Τόλη, για ξαναδές το αυτό:

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 9:22 am

Ουπς... έχω τυπογραφικό. Θα το κοιτάξω και θα επανέλθω.

.
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση

$$f(x)= x^2+ \int _0^xe^{-t} f(x-t)dt$$ για κάθε $x\in \mathbb R$


Θέτω $u=x-t$ οπότε


$$\begin{aligned}
\int_{0}^{x} e^{-t} f \left( x -t \right) \, \mathrm{d}t & \overset{u=x-t ...

Να υπολογιστεί το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\gcd(n,k)}}$.


Έστω $\mathcal{G}$ κυκλική ομάδα τάξης $n$ και $\mathcal{G} = \langle g \rangle$. Τότε, $\displaystyle{\mathrm{ord}(g^k) = \frac{n}{\gcd(n,k)}}$. Συνεπώς,

$\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} \frac{n ...

To γενικευμένο ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1-cosx}{x^{2}}dx$

είναι ίσο με τη $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( -1 \right)^{n-1}\frac{1}{\left( 2n-1 \right)(2n)!}$


Έχουμε


$\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1 - \cos x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{\cos x - 1}{x ...

Με τους σύνηθεις συμβολισμούς, να δειχθεί ότι σε τρίγωνο ισχύει:


Η προθεσμία έχει παρέλθει για την υποβολή λύσεων ... οπότε μπορώ να την ανεβάσω.

Είναι η ιδέα μου ή είναι πολύ κακογραμμένα;

Βγάζω , είναι σωστό;

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 06, 2026 6:21 pm Δίνεται η συνάρτηση : . Δείξτε ότι για :

ισχύει : ( Θεώρημα Karsen* )

Δεν είναι άμεσο από τη Jensen; Η είναι κοίλη στο δοθέν διάστημα.

Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει η σχέση $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}.$ Να βρείτε το είδος του τριγώνου.



Μία λύση ...

Από τη σχέση έχουμε:


$\displaystyle{\begin{aligned}
\sin^2 \frac{A}{2} \sin B \sin C = \frac{1}{4} & \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin^2 \frac{A}{2 ...

Το phpBB που τρέχει το φόρουμ δεν μπορώ να γνωρίζω αν έχει από μόνο του σαν εφαρμογή την οποιαδήποτε δικλείδα ασφαλείας (recaptcha / bot protection / flood protection) για να τα σταματήσει αυτά.


Τα έχει όλα. Το θέμα είναι τι είναι ενεργοποιημένο και τι όχι.


Σε phpbb δεν γνωρίζω αν υπάρχει ...

Θέλω ακόμη να ρωτήσω τον Χρήστο στο #11, ποιο είναι να πλεονέκτημα να βλέπουμε την μαύρη οθόνη στην αρχή; Η ίδια γράφει ότι θα διαρκέσει λίγα δευτερόλεπτα. Η δική μου εμπειρία είναι ότι κρατάει πολλά λεπτά. Συχνά εγκαταλείπω την προσπάθεια γιατί εξαντλείται η υπομονή μου στην μεγάλη αναμονή ...

Να δειχθεί ότι:

Παραδόξως δεν αντιμετωπίζω κανένα πρόβλημα από αυτά που λέτε.

Σε συνέχεια του θέματος αυτού , δίδω ένα ακόμα.


Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται κύκλος. Αν $\mathrm{AO} = \mathrm{BO}$, να δειχθεί ότι $c^2-d^2 = 3r^2$.


$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (0, 0) circle(3cm);
\draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt);
\draw (-3, 0) -- (3, 0);
\draw (-0.29, 2 ...

Ποια συνάρτηση ικανοποιεί την σχέση $p(x+1) = x^2−x+2p(6)$, για κάθε πραγματικό αριθμό $x$;


Για $x=5$ είναι $p(6) = 5^2 - 5 + 2 p(6) \Leftrightarrow p(6) = -20$. Συνεπώς,


$\displaystyle{p(x+1) = x^2 - x - 40 \Leftrightarrow p(y) = (y-1)^2 - (y-1) - 40 \Leftrightarrow p(y) = y^2 -3y-38 ...

Στο παρακάτω σχήμα


$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (3, 0) arc(0:180:3);
\draw (-3, 0) -- (3, 0);
\draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle;
\draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle;
\draw (-2.5 ...

Στο παρακάτω σχήμα


$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (3, 0) arc(0:180:3);
\draw (-3, 0) -- (3, 0);
\draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle;
\draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle;
\draw (-2.5 ...

Στο παρακάτω σχήμα


$\displaystyle{\begin{tikzpicture}
\draw (3, 0) arc(0:180:3);
\draw (-3, 0) -- (3, 0);
\draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle;
\draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle;
\draw (-2.5, 0 ...

Γεια σας,


Μια πραγματική συνάρτηση $f$ ικανοποιεί $f(20−x) = f(22+x)$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$. Είναι γνωστό ότι η $f$ έχει ακριβώς δύο ρίζες. Πόσο είναι το άθροισμα των δύο αυτών ριζών;



μία προσέγγιση... μπορεί να κάνω και λάθος. Από τη σχέση που μας δίδεται θέτοντας $t=20-x$ παίρνουμε ...