Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ${e^x} = \frac{{x + 1}}{x}$ έχει ακριβώς μια θετική ρίζα. Ο καθηγητής που την έβαλε έχει διδάξει μέχρι και αντίστροφη. Έχετε κάποια ιδέα; Ευχαριστώ Μιλάμε μόνο για $x>0$ ; Δε βλέπω το λόγο να μη μιλάμε και για $x<0$. Πάντως η συνάρτηση $f(x)=e^x-1-\frac{1}{x}$ έχει δύο ρ...

Ναι μπορεί .

Επαναφορά !!

Έχει ξανά συζητηθεί το θέμα τουλάχιστον δύο φορές ! Δε βάζω παραπομπή για κάποιον που θέλει να ασχοληθεί και το βλέπει πρώτη φορά !! Πάντως είναι ωραίο πρόβλημα !

Να βρεθεί ο αριθμός των ομομορφισμών ( group homomorphism ) .

Να δειχθεί ότι η ομάδα δεν είναι Hopfian.


Άνευ λύσης!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Πέμ Οκτ 03, 2019 9:42 pm

Δεν νομίζω η

να ικανοποιεί την

Όντως δεν την ικανοποιεί. Για την ακρίβεια το όριο κάνει .

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ωστε να ισχύουν τα κάτωθι: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-\sqrt{x^2+1}}{x^3-x}=2021}\\ \\ x \in \mathbb{R}\\ \\ f(x)f'(x)-f^2(x)=xe^{2x}\\ \end{matrix}\right}$ 1) Δείξτε οτι $f(x)=e^x\sqrt{...

Δημήτρη δε καταλαβαίνω! Μπορείς να το εξηγήσεις και πώς το εφαρμόζεις το λήμμα ;

... τουλάχιστον έχουμε επιλογές ως προς τι δρόμο θα επιλέξουμε ...

Έστω $f,g$ παραγωγισιμες στο $x_0=0$ και ισχυει: $f(0)=g(0)$ και $f(x) \leq g(x) + \sin x \forall x \in \mathbb{R}$ να δειχθεί ότι $f'(0)=g'(0)+1$ Οι συναρτήσεις $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $0$ άρα υπάρχουν τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$ , $\displaystyle{\li...

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑

Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:


(Αυτή είναι η σωστή εκφώνηση)

Τώρα αλλάζουν τα πράματα! Σαφώς γίνεται πιο εύκολη , αλλά ... !!

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: ↑

Σάβ Σεπ 28, 2019 11:39 pm

Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση:

Ίσως λόγω της ώρας δε βλέπω καλά , αλλά δε βλέπω να έχει "στρωτές" ρίζες. Έχεις λύση στην άσκηση ;

Αν με ρωτούσες πριν λίγα χρόνια θα σου έλεγα φύγε! Μη το σκέφτεσαι! Οι εποχές έχουν αλλάξει. Από το $2012$ που έδωσα εγώ μέχρι τώρα $2019$ έχουν περάσει σχεδόν $7$ χρόνια και τα πράγματα έχουν αλλάξει. Λίγο, αλλά έχουν αλλάξει. Άποψή μου είναι να ζυγίσεις τα πράγματα, δηλ. τι προσφέρει το ένα ίδρυμα...

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση $\displaystyle 4^x-x\cdot2^x=x+1$ Μία λύση με βαρύ πυροβολικό. Η συνάρτηση $f(x)=4^x-x2^x - x - 1$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$ (γιατί ; ) άρα έχει το πολύ δύο ρίζες. Προφανείς ρίζες είναι οι $x=0\; , \; x=1$ οπότε είναι και οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης. :) ...

Να δειχθεί ότι ο αριθμός:


είναι ακέραιος.


Άνευ λύσης!

Να το συνεχίσουμε;


Να υπολογιστεί το όριο:

Να υπολογιστεί το γινόμενο:

Στην ουσία αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης $f(x)=x!$ στο n. Σωστά. Είναι: $\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow n} \frac{x!-n!}{x-n} &= \lim_{x\rightarrow n} \frac{\Gamma(x+1)- \Gamma(n+1)}{x-n} \\ &=\Gamma'(n+1) \\ &=\Gamma(n+1) \psi^{(0)}(n+1) \\ &=n! \left ( \mathcal{H}...