ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 15, 2020 12:47 am

Μάλλον πρέπει να αλλάξει ο τίτλος
σε Ομοιόμορφη σύγκλιση.

Έχεις δίκιο Σταύρο. Από τη βιασύνη μου το 'γραψα ομοιόμορφη συνέχεια.

Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των $x$ και $a$. Είναι: $\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}$ Οπότε, $\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamm...

Μα Σταύρο στο ορίζω το . Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα .

Έστω $a \in \mathbb{R}$. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}$ σε σειρά Fourier συνημιτόνων. Να δειχθεί η ταυτότητα: $\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a...

:clap2: :clap2:

Μετά από χρόνια φαίνεται ότι το θέμα αυτό απαντάται στο βιβλίο του Apostol.


Το ίδιο θέμα ετέθη και σε εξετάσεις σε πανεπιστήμιο του Puerto Rico. Ενδιαφέρον.

Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε .


Μέχρι αύριο βράδυ.

Να δειχθεί ότι

Επαναφορά.

Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ ορίζουμε $\displaystyle{f_n (x) = \frac{x}{1+nx^2}}$ και έστω $f$ το όριο αυτής. Να δειχθεί ότι $f_n \overset{\text{\gr ομ}}{\longrightarrow }f $. Στη συνέχεια να δειχθεί ότι η ισότητα $f'(x) = \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f'_n(x)$ ισχύ...

Δοθείσας συγκλίνουσας σειράς $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ να δειχθεί ότι η σειρά Dirichlet $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο άνω ημι-επίπεδο $0 \leq s <+\infty$. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το παραπάνω γεγονός να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\lim_{s \...

Έκανα compile κάποια από τα πρόβλημα ( μόνο εκφωνήσεις ) που βρίσκονται στο thread εδώ.


Το αρχείο στοιχειοθετείται με XeTeX.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Κυρ Ιούλ 12, 2020 7:50 pm

Άσκηση 102

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

(Δείχνει απρόσιτη αλλά τελικά είναι απλή και χαριτωμένη)

Και εδώ παλιότερα ένα παρόμοιο.

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 08, 2011 2:16 am

Υπολογισθήτω το .

Μήπως εννοείς αυτό;

Χάνω κάτι; Χωρίς τα άκρα , θα μας βγουν διλογάριθμοι.

Άσκηση 103 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \dfrac {\arctan x}{1+x} \,dx}$ (Αν δεν κάνεις σωστά βήματα μπορεί να μακρυγορήσεις. Πάντως θέλει κάποια δουλειά έτσι και αλλιώς) Μιχάλη , πάλι πρέπει να ξέχασες να βάλεις τα άκρα. Πρέπει να λες αυτό εδώ . Το χουμε δει στη δημοσίευση $\#37$...

Άσκηση 101 Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα α) $\displaystyle{\int \arcsin x \,dx}$ και β) $\displaystyle{ \int \arcsin \sqrt x \,dx }$ (α) Εφαρμόζουμε παράγοντες και έχουμε: $\displaystyle{\begin{aligned} \int \arcsin x \, \mathrm{d}x &= x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, \mathrm{d}x \\ &...

Να υπολογιστεί το άθροισμα: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sum_{d\mid n} \frac{d}{n+d^2} }$ Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sum_{d\mid n} \frac{d}{n+d^2} &= \sum_{d=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{dk} \frac{d}{dk+...

Άσκηση 100 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _0^{\frac {\pi}{3} } \ln (1+ \sqrt 3 \tan x) dx}$ Σχόλιο: Είναι παραλλαγή της Άσκησης 98. Την αναρτώ γιατί η ίδια η Άσκηση 98 είναι χιλιοειπωμένη, οπότε είναι χρήσιμο να δούμε κάτι πλησίον της για να ελέγξουμε αν οι μαθητές μας αφομίωσαν ...

Άσκηση 101 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \ln (1+x^2+x^4)dx}$ H απάντηση έχει αντίστροφη τριγωνομετρική αλλά πρόκειται για αρκετά κοινή περίπτωση. Δε μου αρέσουν τέτοια θέματα ... αλλά δίνω ένα "πιθανόν" ξεκίνημα. ... $\displaystyle{\begin{aligned} \int \ln \left ( 1 + x^2 + x^4 \...