Άσκηση 65 Έστω $\displaystyle{f:[a, b]\to \mathbb R}$ συνεχής (γενικότερα, ολοκληρώσιμη) συνάρτηση και έστω $\displaystyle{g(x) = f(x) + f(a+b-x)}$. Τότε $\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac {1}{2} \int _a^b g(x) dx}$. Με την αλλαγή μεταβλητής $u=a+b-x$ έχουμε διαδοχικά: $\dis...

Άσκηση 64 Υπολογίστε το : [tex]$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{a}{e^{ax}+1}}dx$ Χρόνια πολλά Θανάση. Για το ολοκλήρωμα έχουμε: $\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{-1}^{1} \frac{a}{e^{ax}+1} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{x \mapsto -x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{-1}^{1} \frac{a}...

Επαναφορά !!

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.$ Μία λύση ως προς τον υπολογισμό. $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \,...

Άσκηση 62

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

´Ασκηση 61


Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα:

Ναι , υπάρχει ένα ολοκληρώμα απο πίσω. Βλέπε εδώ.

Καλησπέρα, Θα μπορούσατε να με καθοδηγήσετε με κάποιον τρόπο για την επίλυση της παρακάτω άσκησης; Έστω η συνεχής συνάρτηση $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)}{x-1}=4$ και $f(2)=4$. Αν $g(x)=x^{2}-x+1,$ να αποδείξετε ότι η $\mathbb...

Άσκηση 59

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Άσκηση 58

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

Σωστά... Τυπογραφικό λάθος.

Έστω το άθροισμα των διαιρετών του . Ας δειχθεί ότι:

Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

Άσκηση 57 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}$ (Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι $\displaystyle{\d...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 11, 2020 10:33 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm

Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.

Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή.

Το ότι ειναι γνωστό ειναι , αλλά γενικά αυτή η αντικατάσταση δε σου έρχεται στο μυαλό αν δεν την έχεις δει !

Για $0<\alpha<\beta$, να υπολογισθεί το $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\log{x}}{(x+\alpha)(x+\beta)}\,dx\,.$ Μετά από τρία χρόνια ...! Μία άλλη λύση ... βλέπε και το θέμα εδώ . Έστω $r>0$ και $0<a<b$. Κάνουμε την αντικατάσταση $t=\frac{ab}{x}$. Τότε: $\displaystyle{\begin{aligned} I_r &=\int...

Άσκηση 56


Στο ίδιο πνεύμα με τα προηγούμενα...


Έστω . Να δειχθεί ότι:

(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία). Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε. Ορθότατο. Η γενικότερη κατηγορία που αναφέρθηκα είναι η (ας το δούμε ως προτεινόμενη άσκηση) Άσκηση 55 α) Αν $f(a+b-x)=-f(x) $ για κάθε $x\in [a,b]$ , τότε $\displa...

Άσκηση 54 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int _a^b \dfrac{e^{x/a} - e^{b/x}}{ \sqrt {abx+x^3} }\,dx} $ (Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία). Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε. Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned...

Nikos127 έγραψε: ↑

Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm

Να βρεθεί το μήκος του τόξου της για αν

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;