Η αναζήτηση βρήκε 4175 εγγραφές

από Tolaso J Kos
Κυρ Απρ 05, 2020 8:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 132

Re: Σύγκλιση σειράς

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Απρ 05, 2020 7:44 pm

... και τώρα αντιλήφθηκα ότι ήταν άσκηση για φοιτητές. Ωχχχχ.
Δε πειράζει.. Δεν έγινε και κάτι.
από Tolaso J Kos
Κυρ Απρ 05, 2020 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 132

Σύγκλιση σειράς

Έστω $\mathcal{S}= \sum \limits_{n=1}^{\infty} x_n$ όπου $x_n$ πραγματική ακολουθία και έστω $\ell = \lim \limits_{ n \rightarrow +\infty} n x_n$ . Να δειχθεί ότι αν η $\mathcal{S}$ συγκλίνει και το $\ell$ υπάρχει ( πεπερασμένο ή άπειρο ) τότε $\ell=0$. Να δοθεί παράδειγμα όπου $x_n>0$ , η $\mathcal...
από Tolaso J Kos
Σάβ Απρ 04, 2020 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 57

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{\sin \sqrt{x^2+1} \cos x}{\sqrt{x^2+1}} \, \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}}
από Tolaso J Kos
Σάβ Απρ 04, 2020 2:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 228
Προβολές: 7113

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Γεια σου ρε Βαγγέλη. Είδες σύμπτωση όμως; Πριν 6 χρόνια το είχες λύσει ξανά εδώ. :clap2: :clap2:
από Tolaso J Kos
Σάβ Απρ 04, 2020 11:16 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 228
Προβολές: 7113

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 79


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e \frac{\ln^2 x + \ln x}{\left ( \ln x + x + 1 \right )^3} \, \mathrm{d}x}
από Tolaso J Kos
Σάβ Απρ 04, 2020 11:14 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 111

Re: Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Έστω $a, b >0$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}$ Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $t \mapsto a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta$ και έχουμε: $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{a}^{b} \frac{\math...
από Tolaso J Kos
Σάβ Απρ 04, 2020 10:37 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 228
Προβολές: 7113

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Γεια σου Μιχάλη. Δεν είχα αυτό στο νου όταν το έθεσα. Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή. Την αφήνω λίγο ακόμα , αλλά σπεύδω να πω πως έχω ξανά βάλει το θέμα πολύ πιο παλιά.
από Tolaso J Kos
Παρ Απρ 03, 2020 8:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 228
Προβολές: 7113

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 78


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2} \frac{\ln \left ( 1+x \right )}{x^2-x+1} \, \mathrm{d}x }
Απαιτητικό για μαθητές!
από Tolaso J Kos
Παρ Απρ 03, 2020 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Παραμετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 111

Παραμετρικό ολοκλήρωμα

Έστω a, b >0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{\left ( t-a \right )\left ( b-t \right )} } = \frac{\pi}{\sqrt{ab}}}
από Tolaso J Kos
Πέμ Απρ 02, 2020 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 350

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Τα παραπάνω τα έχω κάνει compile στο παρακάτω PDF μαζί και με κάποια επιπλέον παραδείγματα.

aca_integrals.pdf
(432.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 9 φορές
από Tolaso J Kos
Τετ Απρ 01, 2020 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 59

Ολοκλήρωμα με λογάριθμο

Έστω n \in \mathbb{N}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\ln^n \frac{1+x}{1-x}}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x} = 2^n \Gamma(n+1)}
όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.
από Tolaso J Kos
Τετ Απρ 01, 2020 7:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 60

Όριο

Έστω f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοια ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{n} = \alpha>0}. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left ( \sqrt[n+1]{\prod_{k=1}^{n+1} f(k)} - \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}f(k) }  \;  \right )}
από Tolaso J Kos
Δευ Μαρ 30, 2020 2:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 132

Re: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 8:26 am

Αν έκανα σωστά τις πράξεις, βρήκα \displaystyle{\mathcal{J} = 2 - \frac {\pi}{2}
:coolspeak:
από Tolaso J Kos
Δευ Μαρ 30, 2020 1:23 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 132

Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^1 \arcsin x \arccos x \, \mathrm{d}x}
από Tolaso J Kos
Κυρ Μαρ 29, 2020 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 350

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Θα κλείσουμε αυτό το mini tutorial με ένα άλλο ολοκλήρωμα που λέγεται ολοκλήρωμα Abel. 3. Ολοκλήρωμα Abel Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{t}{\left ( e^{\pi t} -e^{-\pi t} \right )\left ( 1+t^2 \right )}\, \mathrm{d}t = \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{4}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη...
από Tolaso J Kos
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο με συνάρτηση Γ
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 58

Όριο με συνάρτηση Γ

Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \log x - \frac{\log \Gamma(1+x)}{x} \right )=1}
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 350

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

Παρεμφερή με τα ολοκληρώματα Ahmed είναι τα παρακάτω. $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left ( x \sqrt{2+x^2} \right )}{\sqrt{x^2+2}} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi^2}{36}$. Υπόδειξη: Κάντε την αντικατάσταση $y = \arctan \left(x \sqrt{2+x^2} \right)$. $\displaystyle \int_{0}^{1} \fra...
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 350

Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter

2. Ολοκλήρωμα Ahmed Θα αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{\arctan\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}} \, \frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+1} = \frac{5\pi^{2}}{96}}$ Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(t) = \int_{0}^{1} \frac{\arctan \left(t\sqrt{2+x^2} \right)}{(1+x^2)\sqrt{2+x^...
από Tolaso J Kos
Σάβ Μαρ 28, 2020 2:44 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανάλυση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 228

Re: Ανάλυση

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Α...
από Tolaso J Kos
Παρ Μαρ 27, 2020 10:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ανάλυση
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 228

Re: Ανάλυση

Νομίζω ότι η άσκηση είναι αυτή. sequence.png Είναι η άσκηση $21$ από το booklet με τις ασκήσεις στην ανάλυση. Αν τώρα μπορεί να βρεθεί και το όριο της $x_n$ είναι άλλη ερώτηση. Έστω $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε $x_{n+1} = f(x_n)$ με $x_0 \in [0, 1]$ όπου $x_0$ τυχαίο. Αν...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση