Η αναζήτηση βρήκε 1061 εγγραφές

από p_gianno
Τρί Ιουν 30, 2020 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 375

Re: Διάμεσος πάντα

Λήμμα.png
Λήμμα.png (28.54 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

Άλλη μια προσέγγιση του λήμματος

BB’//AD//ZZ’ τότε AB=AB'=AZ=c και επειδή BE=EZ \rightarrow BD=DZ’

AE : ED=(2AE) : (2ED) =BB’ : ZZ’ =CB’ : CZ = (b+c) : (b-c)
από p_gianno
Δευ Ιουν 29, 2020 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 375

Re: Διάμεσος πάντα

δια μέσου.png Θεωρώ σημείο $ H$ επί της $BA$ έτσι ώστε$ BC=BH=a$. Τότε$ BD$ διχοτόμος της γωνίας $B$ του ισοσκελούς άρα και ύψος, συνεπώς $CH//MD \rightarrow DC:DA=MH:MA$ Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου $BC:BA=DC:DA=MH:MA=1:3$ Συνεπώς $AH =2/3 AB=2a \rightarrow MH=1/4 AH=1/4 \cdot 2a=a/2$ Επομένως...
από p_gianno
Δευ Ιουν 29, 2020 9:34 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 165

Re: Καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

καθετότητα.png $CZ //AN \;\;\; (N \in BA)$ συνεπώς $DA=AZ$ και επειδή $CA$ διάμεσος και ύψος του τριγώνου $DCZ$ συμπεραίνουμε ότι $CD=CZ\;$ ή $ \;\widehat{ADC}=\widehat{Z}$ (1) $\widehat{BDC}=\widehat{BEC} \rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{AEB}$ (2) Από 1 και 2 έχω $\widehat{AEB} = \widehat{Z}$ δη...
από p_gianno
Παρ Ιουν 26, 2020 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γωνία διαμέσου και πλευράς
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 398

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

γωνία διαμέσου.png Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BDC$. Τότε $B_2=30^0$ και $C_2=45^0$. $AM$ διχοτόμος της $BDC$ άρα $ D_3=30^0$ και $DMC=90^0$ (1) Τα τρίγωνα $DBA , CBA$ είναι ίσα (π-γ-π) συνεπώς $AD=AC$ και επειδή $C_2=45^0$ έχουμε $DAC=90^0$. (2) Από 1 και 2 έχουμε $DAMC$ εγγράψιμο. Συνεπώς $...
από p_gianno
Παρ Ιουν 26, 2020 2:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σταθερή απόσταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 161

Re: Σταθερή απόσταση

stathero athroisma tmimatwn.png $BP, CT,$ ύψη του τριγώνου $BAC$ και $\widehat{TMP}=arc\; {TP} =180^0-arc\; {BT}- arc \; {PC}=180^0-2C_1-2B_1= 180^0-2A_1-2A_2=180^0-2A=ct$ συνεπώς $TP=ct$ (στο μέτρο) $APHT $ εγγράψιμμο $(P=T=90^0)$ συνεπώς$ AH$ διάμετρος του περιγγεγραμμένου κύκλου $e$. Το κέντρο τ...
από p_gianno
Κυρ Απρ 19, 2020 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Περίεργη ισότητα
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 740

Re: Περίεργη ισότητα

Περίεργη ισότητα.png $\bigstar$Δίπλα στο τετράγωνο $ABCD$ προσθέσαμε το ορθογώνιο $BEZC$ . Το $S$ είναι σημείο της $AC$ . Η ευθεία $DS$ τέμνει την $ZE$ στο σημείο $P$ και η $ES$ την $DC$ στο $T$ . Δείξτε ότι : $DT=EP$ . Λύση με ευκλείδεια γεωμετρία .. κάτι παραπάνω από ευπρόσδεκτη . Ισότητα τμημάτω...
από p_gianno
Παρ Απρ 17, 2020 11:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Όσο πιο απλή τόσο πιο καλή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 431

Re: Όσο πιο απλή τόσο πιο καλή

Οσο πιο απλή τόσο πιο καλή.png Έστω $AD$ το ύψος του $\vartriangle ABC$ και $G$ το βαρύκεντρό του . Η ημιευθεία $DG$ τέμνει το περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ στο $S$. Δείξετε ότι : $AS//BC$ βαρύκεντρο ορθογώνιο.png H $AG$ τέμνει την $BC$ στο μέσον της $M$. Έστω $D’$ σημείο της $BC$ έτσ...
από p_gianno
Πέμ Απρ 16, 2020 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τραπεζιακοί λογαριασμοί 3
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 299

Re: Τραπεζιακοί λογαριασμοί 3

Τραπεζιακοί λογαριασμοί.pngΣτο ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ , τα σημεία $M , K , N $ , είναι τα μέσα των $AD , CD , BC$ αντίστοιχα και είναι γνωστό ότι : $AD=3 , MN=5 , BC=7$ . Ο κύκλος διαμέτρου $AB$ τέμνει το $MN$ στα σημεία $S , T$ . Υπολογίστε το $ST$ και δείξτε ότι : $DS \perp CS , KS \perp AB$ ....
από p_gianno
Πέμ Απρ 16, 2020 10:29 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1313

Re: Υπερανισότητα

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς a ,b , ισχύει : (8a^2+b^2)^2 > 16a^3b .

Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης .

Δίνω την λύση του ίδιου του Ζήβα εδώ
από p_gianno
Τετ Απρ 15, 2020 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Υπερανισότητα
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1313

Re: Υπερανισότητα

Δείξτε ότι για τους θετικούς $a ,b $ , ισχύει : $(8a^2+b^2)^2 > 16a^3b$ . Άσκηση του Μαρίνου Ζήβα . Δεκτή λύση και με χρήση ανάλυσης . $(8a^2+b^2)^2 > 16a^3b \Leftrightarrow (8a^2+b^2)^2 - 16a^3b>0 \Leftrightarrow $ $64a^4+16a^2b^2+b^4-2 \cdot 8a^2 \cdot ab+a^2b^2-a^2b^2>0 \Leftrightarrow$ $(8a^2-a...
από p_gianno
Σάβ Απρ 11, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ίσες γωνίες 47
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 234

Re: Ίσες γωνίες 47

Ίσες γωνίες 47.png$\bigstar$ Οι ίσοι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$ . Από σημείο $S$ του $(O)$ , φέρω την ημιευθεία $SB$ , η οποία τέμνει τον $(K)$ (και) στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{AOS}=\widehat{AKT}$. στροφή κύκλου.png $\angle SBA=180^0- \frac{\theta}{2} \,\,\...
από p_gianno
Παρ Απρ 10, 2020 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ορθογωνιακές παραδοξότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Ορθογωνιακές παραδοξότητες

ορθογωνιο λόγοι.png α) Θέτω $DN=3k$ και εκφράζω τα υπόλοιπα τμήματα συναρτήσει του k όπως φαίνεται στο σχήμα. 'Εστω$ P$ η τομή των ευθειών $MN, BA$. Τότε $PA \cdot PB=6k \cdot 15k=90k^2 \,\,\, (1)$ $PN\cdot PM=PN \cdot 2 PN= 2 PN^2=2[(3k)^2+(6k)^2]=90k^2 \,\,\,\,(2)$ $(1),(2) \rightarrow NAKM$ εγγρ...
από p_gianno
Δευ Απρ 06, 2020 8:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Στην μέση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 295

Re: Στην μέση

Στην μέση.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , το $M$ είναι το μέσο της πλευράς $CD$ . Βρείτε σημείο $S$ του ύψους $AB=h$ , τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα $ADMS , BCMS$ , να είναι ισεμβαδικά . τραπέζιο στη μέση.png Επειδή $(CSM)=(MSD)$ έχουμε $(BSMC)=(SADM) \leftrightarrow (SBC)=(SAD) \leftrig...
από p_gianno
Πέμ Απρ 02, 2020 4:43 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ορθογώνιο τρίγωνο και ευκαιρία για λύσεις!
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 573

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και ευκαιρία για λύσεις!

45 moires.png
45 moires.png (21.31 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

Στο ισοσκελές τργ ACM φέρω τα ύψη CI, AD. Τότε \angle A_1 =\angle C_1=\angle C/2

Ομοίως \angle A_2 =\angle B/2 . \,\,\,\, Συνεπώς

\angle MAN=\angle A_1+\angle A_2=\angle(B+C)/2=90^0/2=45^0
από p_gianno
Τετ Μαρ 25, 2020 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Σύγκλιση καθέτων
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 357

Re: Σύγκλιση καθέτων

Σύγκλιση καθέτων.png Σε κάθε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD\left( \angle A=\angle B={{90}^{0}} \right)$ να δειχθεί ότι οι εκ των $A,M,B$ κάθετες στις $MD,DC,CM$ αντίστοιχα διέρχονται από το ίδιο σημείο (έστω $S$ στο σχήμα), όπου $M$ το μέσο της $AB$ Στάθης Σύγκλιση καθέτων.png Οι $AT,BF$ προεκτεινόμεν...
από p_gianno
Δευ Μαρ 23, 2020 7:03 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 361

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

tetragvno.png $AMED$ εγγράψιμο $( \angle A= MED=90^0)$ $\angle A_1= \angle A_2=45^0 \rightarrow ME=ED \,\,\, (1)$ $EB=ED$ (συμμετρία ως προς $AC$) (2) Από 2 και 3 έχουμε $\triangle MEB$ ισοσκελές. $EZ \perp BM \rightarrow BZ=0,5 BM=0,25 AB$ συνεπώς επειδή $BC//ZE$ έπεται ότι $EC=0,25 AC $και συνεπώ...
από p_gianno
Δευ Μαρ 23, 2020 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 453

Re: Σύγκριση εμβαδών

Καλησπέρα. Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά.. Το πρώτο έχει μήκη πλευρών $109,109,120$, ενώ το δεύτερο $109,109,182$. Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς. Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα...
από p_gianno
Παρ Μαρ 20, 2020 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Το πιο μικρό
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 221

Re: Το πιο μικρό

Το πιο μικρό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ , είναι : βάση $BC=4$ και ύψος $AD=6$ , ( δεν φαίνεται στο σχήμα ) . Επί των σκελών $AB, AC$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ , ώστε : $CT=2BS$ . Υπολογίστε το : $ST_{min}$ Το πιο μικρό.png Είναι $ST^2=S’T’_1^2=S’T’^2+T’T’_1^2=(4-3x)^2+y^2=16+9x^2-24x+y^2 \,\, (...
από p_gianno
Παρ Μαρ 20, 2020 12:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 739

Re: Παραλληλία, μέσα και λόγοι

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση. Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=6$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία $P \in AB$ , $F \in AC$ και τα μέσα $M$ και $N$ των $BC,PF$. Η χορδή $AEI$ είναι παράλληλη της $MN$ με $E \in BC$. Αν είναι $AE\cdot AI=24$ και ισχύει $\l...
από p_gianno
Κυρ Μαρ 15, 2020 10:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερή ποσότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 376

Re: Σταθερή ποσότητα

σταθερή ποσότητα.png Άλλη μία προσέγγιση. Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και$ E,D$ μέσα των $AB, AC$ αντιστοίχως. Θεωρώ τους κύκλους $(E,a/2)$ και $(D,a/2$) και φέρω τo ύψος $BD$. Είναι $CC’=B’D$ (ως χορδές ίσων τόξων ίσων κύκλων στα οποία βαίνει η γωνία $C’AC$). Επειδή $BB’DA$ εγγράψιμο είναι $\an...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση