Νόστιμη ισότητα.pngΤο σημείο M είναι το μέσο της πλευράς DC του παραλληλογράμμου ABCD

και το S είναι η προβολή του A στην BM . Δείξτε ότι : DS=DA .

24 ώρες μόνο για μαθητές .


Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-26 ---144958.png

DM || AB \rightarrow \dfrac{HD}{HA}= \dfrac{HM}{HB}= \dfrac{DM}{AB ...

Στο εσωτερικό ενός παραλληλογράμμου $ABCD$ υπάρχει σημείο $P$ τέτοιο, ώστε $\angle PAD = \angle PCD$.
Να αποδείξετε ότι $\angle PBC = \angle PDC$.
paral_equal_angles.png


Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-26 ισες γωνίες β 083319.jpeg

ACHN εγγράψιμο ( \angle HAN = \angle NCH και βαίνουν στο ίδιο ...

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-24 τετραγ 123706.png

\angle SDB = \angle SBA =\angle SAD (1) (Θεώρημα χορδής - εφαπτομένης)

\angle DSB=270^0:2=135^0 (2) (εγγεγραμμένη που βαίνει σε τόξο 270^0 )

\angle DSA =360^0-(135^0 + 90^0 )=135^0 (3) . Συνεπώς από (2,3) προκύπτει \angle DSB = \angle ASD (4 ...

Το τετράπλευρο KLMN που ορίζεται από τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου ABCD είναι ρόμβος επειδή κάθε μία από τις ίσες πλευρές του είναι ίση με το μισό είτε της BD είτε της AC που είναι ίσες μεταξύ τους. Συνεπώς οι διαγώνιοι του ρόμβου KM , LN είναι κάθετες ^{**} μεταξύ τους.
Στιγμιότυπο οθόνης ...

σημείο της μεσοκαθέτου του
συνεπώς

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-04 101153.png
\triangle APC: \omega=45^0+ \phi \ (1)
\triangle ACS: \theta=45^0 - \phi \ (2)
(1)+(2) \rightarrow \omega + \theta =90^0 \rightarrow \angle DAP=\theta (AD \perp BS)
Από θ. εσωτερικής διχ/μου στο τρίγωνο PAS και την ομοιότητα των τριγώνων ADS,PDA ...

Στιγμιότυπο οθόνης απο 2 σε 3 2026-10-02 145134.png
DP \perp BC , PT \perp BA , DACP εγγράψιμμο (απέναντι γωνίες ορθές) συνεπώς \angle DAP =\angle DCP=45^0 άρα \triangle PTA ορθογώνιο ισοσκελές και επομένως TP=TA (1)
Είναι BT:TP=BA:AC=2 και λόγω (1 ) BT=2TP=2TA (2)
Στο τρίγωνο PTD έχουμε TP=2TD ...

Στιγμιότυπο οθόνης ena trito 2026-10-01 202924.png
Φέρω CI \perp BC . Εχουμε έτσι τρία όμοια ορθογώνια τρίγωνα BAC, CAI, BCI για τα οποία ό λόγος της μεγαλύτερης κάθετης προς την μικρότερη είναι 2:1
Θέτω AB=2x οπότε BA=4x και AI=AC:2=x συνεπώς ΒΙ=ΑΒ+ΑΙ=4x+x=5x .

CD διχοτόμος της γωνίας BCI ...

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-30 222721.png
\displaystyle tanC=(tan45+x)=\frac{tan45+tanx}{1-tan45 \cdot tanx}=\frac{1+tanx}{1-tanx } (1)
\displaystyle tanC=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1} (2)
\displaystyle (1)+(2) \rightarrow \frac{1+tanx}{1-tanx }=2 \rightarrow 1+tanx=2-2tanx \rightarrow 3tanx=1 ...

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-30 102554 αναπάντεχα ίσα.png

HPI||AB, \triangle SBT \sim \triangle SCD , \triangle DCA \sim \triangle HPA.
Οπότε έχουμε:
\displaystyle \frac{CS}{SB}= \frac{DC}{BT}= \frac{DC}{HP}= \frac{DA}{HA}= \frac{CB}{IB}= \frac{CB}{CS}
που σημαίνει ότι το S χωρίζει το CB σε ...

άρα
ή
ή
.......

Μία ακόμη προσέγγιση. Το τρίγωνο με στροφή περί το κατά γωνία απεικονίζεται στο ενώ το πηγαίνει στο .
Είναι τώρα ( αφού ισοσκελές)

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-27 154000.png
Φέρω BK \perp AC και CT \perp AD. Τα τρίγωνα AKB, ATC είναι ίσα (AB=AC, \angle K=\angle T = 90^0, \angle BAK=\angle CAT).
Συνεπώς BK=CT
Τα τρίγωνα τώρα EBK, DCT είναι ίσα (EB=CD, BK=CT, \angle K=\angle T = 90^0)
Συνεπώς \angle BEK=\angle CDT

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-26 225035.png
Οι κίτρινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες συνεπώς ΑΒ||ΚΡ (ίσες οι εντός εναλλάξ γωνίες)
Τα τρίγωνα KSP, OSB είναι όμοια συνεπώς αν x=DS έχουμε KS/OS=KP/OB=r/R ή (x+r)/(R+2r+x)=r/R ή μετά από πράξεις x=2r^2/(R-r) = ct. Άρα S σταθερό σημείο.
Είναι τώρα OS=x ...

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-25 212801.png
Το σημείο P είναι μέσο του τόξου SB συνεπώς SP=PB=x. Εύκολα τώρα όλες οι γωνίες του σχήματος με τον πορτοκαλί σταυρό είναι ίσες. Φέρω την ακτίνα OP που είναι μεσοκάθετος του SB και την OH κάθετο προς την AP .
Είναι OH=PB/2=x/2 και ZO=AS/2=14/10 άρα PZ=OP ...

Ενδιαφέρουσα συνευθειακότητα.pngΣε σημείο S του κύκλου (O) φέρουμε εφαπτόμενο τμήμα SK , παράλληλο προς

την διάμετρο AB . Το τεταρτοκύκλιο (K , \overset{\frown}{SN}) τέμνει τον κύκλο στο σημείο T .

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , N είναι συνευθειακά .

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-07 132928 ...

Ιδού η διχοτόμος.pngΟι κύκλοι (O) και (K) , εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A . Η εφαπτομένη σε σημείο S του (K)

τέμνει τον (O) στα σημεία C , B . Δείξτε ότι η διχοτόμος AD της \widehat{BAC} , είναι κάθετη στην SA .


Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-07 122819.png
Αρκεί να δείξουμε ότι \ AS ...

Μία λύση ακόμα.
Φέρουμε . Τότε ( Ορθογώνια - και )
Συνεπώς . Έπεται τώρα ότι

Ωραίο εμβαδόν.png

Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο . το $S$ εσωτερικό του σημείο για το οποίο : $SB = 7\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB \bot SC$.

Να βρείτε το $(SAB)$.

Δεκτές όλες οι λύσεις εντός ή εκτός φακέλου .

Την είδα σήμερα το πρωί στο διαδίκτυο και μου άρεσε .


Στιγμιότυπο ...