Για το 2 των Μεγάλων, προφανώς οι ΜΗ και ΝΘ είναι φορείς υψών στο ΑΜΝ (όπως παρατηρεί και ο κύριος Μπάμπης), επομένως αρκεί να δείξουμε οτι η ΑΔ είναι κάθετη στη ΜΝ. Έστω F το σημείο τομής του κύκλου ΒΗΕ και της ΑΔ. Από εγγραψιμότητα, παραλληλίες, και angle chasing μπορώ να δείξω ότι η γωνία BFA είν...

Ναι όλα αυτά που προτείνεις για τον μαθητή προϋποθέτουν οτι μπορεί να ανταποκριθεί. Δεν είμαστε όλοι σαν τον Σιλουανο. Νομίζω είναι και λίγο απάτη να παριστάνεις κάποιον που δεν είσαι. Το αναφέρει και ο δημιουργός του AoPS στο παρακάτω άρθρο : https://artofproblemsolving.com/blog/articles/pros-cons...

Ευτυχώς το κατανόησα νωρίς αυτό, ειδάλλως επειδή πχ στις βαθμολογίες του σχολείου είμαι πολύ ευαίσθητη μπορεί να είχα επηρεαστεί σημαντικά. Δε με ενδιαφέρει να φτάσω σε επίπεδο ολυμπιάδων του εξωτερικού αλλά πραγματικά επιθυμώ να μπορέσω κάποτε να διαγωνιστώ και σε αυτά τα θέματα του Αρχιμήδη και α...

Μία σύντομη παρατήρηση για τη Γ Γυμνασίου. Στο πρόβλημα 4, θεωρώ ότι η λύση που περιμένει η ΕΜΕ στο τελευταίο ερώτημα προκύπτει από τις εξής σχέσεις $ EB = EC = ED \Longrightarrow x^2 + \beta^2 = (\gamma + x)^2 \Longrightarrow x = \frac{\beta^2-\gamma^2}{2\gamma}$ όπου $x = AE = AD$. Γενικότερα, όμω...

Καλησπέρα καινούργιος εδώ! Σήμερα στο Π3 της Γ Λυκείου έγραψα εν συντομία: Ο Α θα είναι της μορφής Α= 20230...05, με ν-1 μηδενικά. Άρα θα τελειώνει σε 5. Αν ο Α είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού, θα υπάρχει α, ώστε α^2 = Α. Απέδειξα ότι ο α θα πρέπει υποχρεωτικά να τελειώνει σε 5, άφου πήρα όλους το...

Γ' Λυκείου/Θέμα 4 Παρατηρώ ότι όταν η γωνία $\hat{A}=60^o$ τότε το τετράπλευρο $ΟΙBC$ είναι εγγραψίμο καθώς $\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o$. Άρα, $\widehat{IOB}=\widehat{ICB}=\hat{C}/2 = \widehat{EOB}/2$, και συνεπώς η $OI$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat{EOB}$. To τρίγωνο $EOB$ είναι ισοσκελές, ά...

Γ' Γυμνασίου 1. $2^{100}$ (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος..) 2. $2023xy = 2023*100+10x+y \Rightarrow 10x+y = 0$ mod17 και $0\leq10x+y\leq99$ 3. Έστω ότι κανένας από τους $7$ αριθμούς δε διαιρείται με το $10$. Τότε καθένας από αυτούς τους $7$ αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το $2$ είτε με το...

Γ' Λυκείου/Θέμα 4 Παρατηρώ ότι όταν η γωνία $\hat{A}=60^o$ τότε το τετράπλευρο $ΟΙBC$ είναι εγγραψίμο καθώς $\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o$. Άρα, $\widehat{IOB}=\widehat{ICB}=\hat{C}/2 = \widehat{EOB}/2$, και συνεπώς η $OI$ διχοτομεί τη γωνία $\widehat{EOB}$. To τρίγωνο $EOB$ είναι ισοσκελές, ά...

Σας ευχαριστώ πολύ για την όμορφη λύση. Θα τη στείλω και στον Στέφανο να χαρεί.

Πρόβλημα 3 - B' Γυμνασίου 1η Προσέγγιση Έστω ότι ο κύριος Γιάννης δίνει $x$ καραμέλες στον Δημήτρη, $7x$ στον Γιώργο και συνεπώς μένουν $x$ καραμέλες στη σακούλα. Παρατηρούμε ότι προκειμένου να αντιστραφούν οι ρόλοι και να έχει ο Δημήτρης επτά φορές περισσότερες καραμέλες από τον Γιώργο θα πρέπει ο...

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές και στους καθηγητές! Χαίρομαι πάρα πολύ που δύο από τα θέματα τα πρότεινε ο Σιλουανός, με τον οποίο χτίσαμε μια πολύ δυνατή φιλία στις αίθουσες του Χημείου και της Ιπποκράτους - πράγμα που εύχομαι σε όλα τα παιδιά που διαγωνίζονται. Η Γεωμετρία, νομίζω, άρεσε...

Η υπόδειξη που έδωσα για τον τέταρτο ήταν για την λύση που έδωσε ο Παναγιώτης. Δίνω ακόμη μια λύση: Έστω $A_n$ ο αριθμός όλων των $n$-άδων $(x_1,\ldots,x_n)$ ώστε τα $x_1,\ldots,x_n$ παίρνουν τις τιμές $0,1,2$ και το άθροισμα $x_1+\cdots +x_n$ είναι άρτιος. Έχουμε $A_{n-1}$ τέτοιες $n$-άδες με $x_n...

Ωραίο το τρίτο και πολύ κομψή η λύση του Ηλία!

κ. Βήττα,

σας ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση - με τιμά! Και πράγματι θα ήθελα κι εγώ να είμαι πιο ενεργός στο forum, αλλά με πολύ ευχαρίστηση βλέπω ότι η "νέα γεννιά" είναι πολύ δυναμική και αδιαμφισβήτητα μας έχει ξεπεράσει!

Γειά σας παιδιά. Καλή επιτυχία σε όλους τους συμμετέχοντες. Δυστυχώς το 4ο θέμα των μεγάλων ήταν κάπως απογοητευτικό. Αρχικά πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι το $AZOE$ είναι εγγράψιμο, το οποίο αποδεικνύεται πολύ εύκολα με angle chasing. Και μετά το μόνο που μένει είναι να δείξουμε ότι τα σημεία $K,...

Ακριβώς! Κι εγώ έφτασα σε αυτή την αναδρομική προσπαθώντας να λύσω το πρόβλημα που περιγράφει ο Δημήτρης (γνώστο και ως Derangement Problem) και μετά παρατήρησα ότι $a_n-na_{n-1}=-(a_{n-1}-(n-1)a_{n-2})\Longrightarrow u_n=-u_{n-1}$ ... Μια άλλη λύση για το Derangement Problem προκύπτει με χρήση της ...

Ίσως να μην είναι το πιο κατάλληλο section να αναρτήσω αυτό το θέμα, αλλά για κάποιο λόγο δεν μπορώ να κάνω post στο Seniors. Να βρεθεί η ακολουθία που ικανοποιεί την αναδρομική σχέση: $a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$ με αρχικές συνθήκες $a_1=0, a_2=1$. Υ.Γ. Με χαρά βλέπω και τις αλλαγές που έγιναν στο ...

Γιώργο Βλάχο πολλά πολλά συγχαρητήρια. Μας κάνεις εθνικά υπερήφανους! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στον συντοπίτη μου το Γιώργο τον Καλαντζή που από ό,τι μαθαίνω ξεφτίλισε το 6ο πρόβλημα του διαγωνισμού και ακόμη περισσότερο επείδη ήταν γεωμετρία. Αυτή τη στιγμή, είμαι στο σπίτι μου σ...

Θα ήθελα κι εγώ με τη σειρά μου να εκφράσω τα ειλικρινή μου συγχαρητήρια για όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στην ομάδα και ακόμη περισσότερο σε αυτούς που διακρίθηκαν. Για πολλούς από σας, δεν εξεπλάγην γιατί σας γνωρίζω αρκετό καιρό και ήταν κάπως αναμενόμενο να μας κάνετε περήφανους για ακόμη μία φ...

Πολύ καλά κάνατε και ανεβάσατε αυτή την άσκηση. Πιστεύω πως ο κλάσικος τρόπος αντιμετώπισης είναι με το λεγόμενο όγκο εκ περιστροφής. Θα μου ήταν πολύ ενδιαφέρον να δω και κάποια πιο στοιχειώδη αντιμετώπιση. Έχω την εντύπωση όμως πώς είναι λίγο υπερβολικό να υπήρχαν αυτοί οι τύποι σε βιβλία δημοτικο...