Η αναζήτηση βρήκε 41 εγγραφές

από Nick Rapanos
Κυρ Μάιος 15, 2016 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Θέματα ΒΜΟ 2016
Απαντήσεις: 28
Προβολές: 4360

Re: Θέματα ΒΜΟ 2016

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές και στους καθηγητές! Χαίρομαι πάρα πολύ που δύο από τα θέματα τα πρότεινε ο Σιλουανός, με τον οποίο χτίσαμε μια πολύ δυνατή φιλία στις αίθουσες του Χημείου και της Ιπποκράτους - πράγμα που εύχομαι σε όλα τα παιδιά που διαγωνίζονται. Η Γεωμετρία, νομίζω, άρεσε...
από Nick Rapanos
Πέμ Μαρ 03, 2016 4:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 6149

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Η υπόδειξη που έδωσα για τον τέταρτο ήταν για την λύση που έδωσε ο Παναγιώτης. Δίνω ακόμη μια λύση: Έστω $A_n$ ο αριθμός όλων των $n$-άδων $(x_1,\ldots,x_n)$ ώστε τα $x_1,\ldots,x_n$ παίρνουν τις τιμές $0,1,2$ και το άθροισμα $x_1+\cdots +x_n$ είναι άρτιος. Έχουμε $A_{n-1}$ τέτοιες $n$-άδες με $x_n...
από Nick Rapanos
Κυρ Φεβ 24, 2013 3:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 6039

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

Ωραίο το τρίτο και πολύ κομψή η λύση του Ηλία!
από Nick Rapanos
Σάβ Φεβ 23, 2013 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 807

Re: Pascal παράλληλη στην μεσοπαράλληλή της...

κ. Βήττα,

σας ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση - με τιμά! Και πράγματι θα ήθελα κι εγώ να είμαι πιο ενεργός στο forum, αλλά με πολύ ευχαρίστηση βλέπω ότι η "νέα γεννιά" είναι πολύ δυναμική και αδιαμφισβήτητα μας έχει ξεπεράσει!
από Nick Rapanos
Σάβ Φεβ 23, 2013 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 6039

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

Γειά σας παιδιά. Καλή επιτυχία σε όλους τους συμμετέχοντες. Δυστυχώς το 4ο θέμα των μεγάλων ήταν κάπως απογοητευτικό. Αρχικά πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι το $AZOE$ είναι εγγράψιμο, το οποίο αποδεικνύεται πολύ εύκολα με angle chasing. Και μετά το μόνο που μένει είναι να δείξουμε ότι τα σημεία $K,...
από Nick Rapanos
Κυρ Οκτ 23, 2011 8:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αναδρομική Σχέση
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 956

Re: Αναδρομική Σχέση

Ακριβώς! Κι εγώ έφτασα σε αυτή την αναδρομική προσπαθώντας να λύσω το πρόβλημα που περιγράφει ο Δημήτρης (γνώστο και ως Derangement Problem) και μετά παρατήρησα ότι $a_n-na_{n-1}=-(a_{n-1}-(n-1)a_{n-2})\Longrightarrow u_n=-u_{n-1}$ ... Μια άλλη λύση για το Derangement Problem προκύπτει με χρήση της ...
από Nick Rapanos
Κυρ Οκτ 16, 2011 10:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αναδρομική Σχέση
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 956

Αναδρομική Σχέση

Ίσως να μην είναι το πιο κατάλληλο section να αναρτήσω αυτό το θέμα, αλλά για κάποιο λόγο δεν μπορώ να κάνω post στο Seniors. Να βρεθεί η ακολουθία που ικανοποιεί την αναδρομική σχέση: $a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$ με αρχικές συνθήκες $a_1=0, a_2=1$. Υ.Γ. Με χαρά βλέπω και τις αλλαγές που έγιναν στο ...
από Nick Rapanos
Παρ Ιούλ 22, 2011 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2011
Απαντήσεις: 68
Προβολές: 7853

Re: IMO 2011

Γιώργο Βλάχο πολλά πολλά συγχαρητήρια. Μας κάνεις εθνικά υπερήφανους! Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στον συντοπίτη μου το Γιώργο τον Καλαντζή που από ό,τι μαθαίνω ξεφτίλισε το 6ο πρόβλημα του διαγωνισμού και ακόμη περισσότερο επείδη ήταν γεωμετρία. Αυτή τη στιγμή, είμαι στο σπίτι μου σ...
από Nick Rapanos
Δευ Μάιος 09, 2011 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Βαλκανιάδα 2011
Απαντήσεις: 58
Προβολές: 9366

Re: Βαλκανιάδα 2011

Θα ήθελα κι εγώ με τη σειρά μου να εκφράσω τα ειλικρινή μου συγχαρητήρια για όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στην ομάδα και ακόμη περισσότερο σε αυτούς που διακρίθηκαν. Για πολλούς από σας, δεν εξεπλάγην γιατί σας γνωρίζω αρκετό καιρό και ήταν κάπως αναμενόμενο να μας κάνετε περήφανους για ακόμη μία φ...
από Nick Rapanos
Σάβ Απρ 30, 2011 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα για Λύκειο - Seniors
Θέμα: Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 2929

Re: Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

Πολύ καλά κάνατε και ανεβάσατε αυτή την άσκηση. Πιστεύω πως ο κλάσικος τρόπος αντιμετώπισης είναι με το λεγόμενο όγκο εκ περιστροφής. Θα μου ήταν πολύ ενδιαφέρον να δω και κάποια πιο στοιχειώδη αντιμετώπιση. Έχω την εντύπωση όμως πώς είναι λίγο υπερβολικό να υπήρχαν αυτοί οι τύποι σε βιβλία δημοτικο...
από Nick Rapanos
Σάβ Απρ 16, 2011 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011
Απαντήσεις: 32
Προβολές: 7395

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ 2011

Πρόβλημα 4. Σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα αρκεί να δείξουμε ότι $L_{1}L_{2}//AB$ όπου $L_1$ και $L_2$ είναι τα κέντα Euler των τριγώνων $ADC$ και $BDC$ αντίστοιχα. Όμοια μετά δείχνουμε και την παραλληλία των υπόλοιπων πλευρών των τετραπλεύρων (και πως ο λόγος των ζευγαριών είναι σταθερός), επομένως α...
από Nick Rapanos
Κυρ Μαρ 27, 2011 3:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ισότητα τμημάτων
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 854

Re: Ισότητα τμημάτων

Δυστυχώς τώρα είδα την άσκηση με αποτέλεσμα απλά να διαβάσω τις λύσεις.

Πολύ όμορφη άσκηση Σιλ και φυσικά πάρα πολύ κομψή η λύση του Σάκη.
από Nick Rapanos
Παρ Μαρ 11, 2011 3:34 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία απο τα παλιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 789

Re: Γεωμετρία απο τα παλιά

Επειδή έχει μέινει κάμποσο καιρό αναπάντητη και ξέρω πως κάποιοι ασχοληθήκατε με την άσκηση, νομίζω πως είναι ώρα να αναρτήσω τη λύση. Επισυνάπτω το αρθράκι που είχα γράψει τότε. Δεν άλλαξα τίποτα για ιστορικούς λόγους.
από Nick Rapanos
Δευ Μαρ 07, 2011 7:13 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Καθετότητα της ευθείας Euler
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 637

Re: Καθετότητα της ευθείας Euler

Αυτό θα πει πλουραλισμός.
Εγώ είμαι ενθουσιασμένος με τη λύση του Δημήτρη!
Επίσης πολύ ωραία είναι και η λύση του κ. Βήττα και η λύση που θα βάλει αύριο ο Σιλ είναι εξίσου όμορφη και διδακτική.
από Nick Rapanos
Δευ Φεβ 28, 2011 2:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία απο τα παλιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 789

Re: Γεωμετρία απο τα παλιά

κ. Λουρίδα σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια, αλλά όταν ανεβάσω τη λύση που είχατε κάνει σε αυτή την άσκηση πριν απο μερικά χρόνια νομίζω πως θα είναι σαφές το ποιός διδάσκει και ποιός διδάσκεται...
από Nick Rapanos
Δευ Φεβ 28, 2011 1:44 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 533

Re: Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Για το πρώτο ερώτημα παρατηρούμε ότι (1) Οι κύκλοι εύκολα αποδεικνύεται όπως έδειξε ο κ. Βήττας ότι είναι ομοιόθετοι. (2) Επίσης εύκολα δείχνουμε ότι τα τόξα $EM, MF$ είναι ίσα. Τώρα αν θεωρήσουμε $E'=QE\cap (O_1)$ προφανώς το σημείο αυτό είναι το ομοιόθετο του $E$ υπό την ομοιοθεσία $\mathcal{H}(Q,...
από Nick Rapanos
Δευ Φεβ 28, 2011 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία απο τα παλιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 789

Re: Γεωμετρία απο τα παλιά

Nick πρέπει να είναι δύσκολη γιατί χωρίς σχήμα δεν μπορώ να τη λύσω... :lol: (ξέρεις εσύ χαχαχαχαχα) Όπως καταλάβατε αγαπητά μέλη όταν μια άσκηση έχει κατασκευαστεί το 2007 και τώρα έχουμε 2011, είναι αναμενόμενο να την έχεις μοιραστεί με καλούς φίλους και problem solvers όπως ο Κώστας, ο Δημήτρης,...
από Nick Rapanos
Κυρ Φεβ 27, 2011 7:52 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρία απο τα παλιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 789

Γεωμετρία απο τα παλιά

Δίνονται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ ($\angle{A}=90$), η ευθεία $l$ που είναι η από το $C$ παράλληλη προς την $AB$ και κύκλος $G(O,R)$ στο εξωτερικό του τριγώνου. Ένα σημείο $D$ κινείται πάνω στην πλευρά $AC$. Έστω $E=l\cap BD$, $M$ το μέσο του τμήματος $AD$ και $A_{1},B_{1}$ τα σημεία τομ...
από Nick Rapanos
Σάβ Φεβ 26, 2011 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 12884

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Δεν ξέρω αν το καταλάβατε αλλά είχαμε 3 χρυσά από τα Τρίκαλα :clap2: Τυχαίο? Δεν νομίζω... Επίσης πολύ όμορφη είναι και η γενική προσέγγιση του Δημήτρη στο 2ο θέμα. Ίσως λοιπόν να ήταν προτιμότερο να έχει μπει η γενική περίπτωση του 2 ως 4ο θέμα και το 4ο θα μπορούσε κάλλιστα να μπει στη 2η θέση. Τ...
από Nick Rapanos
Σάβ Φεβ 26, 2011 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 12884

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Πολλά συγχαρητήρια κι από μένα παιδιά!

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση