Αντιγράφω απο σημειώσεις που αλίευσα απο την eclass του uoa στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης (οι σημειώσεις είναι του Α.Κατάβολου).

"Πρόταση: Εστω ($X,p$) μ.χ και $F\subseteq X$.To $F$ είναι κλειστό $\Leftrightarrow$ κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του $F$ συγκλίνει σε στοιχείο του $F ...

Οκ.
Απλά αυτό που θέλω να τονίσω είναι οτι αυτό που "τραβάει" το όριο μέσα στο συμπαγές υποσύνολο είναι η υπακολουθία.
Γι'αυτό κατά τη ταπεινή μου άποψη πρέπει να τονιστεί στην αρχή της απόδειξης οτι .

Αντώνη έτσι ακριβώς απλά νομίζω οτι πρέπει να τονιστεί οτι το δεν ανήκει στο αρχικά αλλά στο .
Αλλιώς δεν έχει νόημα η απόδειξη.
Αυτό προσπαθώ να πω και στον Μιχάλη.

Νομίζω πως το σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου μπορεί να μην ανήκει στο σύνολο,αλλά μπορεί και να ανήκει.
Εσύ πώς εξασφαλίζεις ότι δέν ανήκει;(αφου είναι τυχαίο)
Γιατί εάν ανήκει,νομίζω ότι κάνεις μια τρύπα στο νερό.
Θαρρώ πως εκεί υπάρχει ασάφεια.Θα ήσουν εντάξει αν έλεγες για σ.σ που δεν ανήκει στο ...

Μισό λεπτό να το ξαναδούμε παρέα να δω πού κάνω λάθος:
Κατ'αρχήν όσον αφορά τον ορισμό του κλειστού συνόλου: έστω $A$ ένα υποσύνολο ενός μ.χ $X$.Το $A$ είναι κλειστό στο $X$ όταν για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του $A$,συμβαίνει το όριό της να ανήκει στο $A$.Σωστά μέχρι εδώ;
Εγώ ξεκινάω την ...

Καλησπέρα :logo: .

Στην πρόταση "κάθε συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι κλειστό", έχω απόδειξη που χρησιμοποιεί τις πεπερασμένες υποκαλύψεις λόγω της συμπάγειας.

Μπορεί η πρόταση να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ακολουθιακή συμπάγεια;


Έστω ένα σημείο συσσώρευσης του ακολουθιακά ...

Νομίζω ότι το καλύτερο είναι να βρείς σημειώσεις από τα αντίστοιχα μαθήματα στη eclass του ΕΜΠ,για να δεις περίπου σε τι πνεύμα κινούνται οι καθηγητές που τα διδάσκουν.

Δήμητρα δεν διαιρούμε ποτέ ανισότητες κι ας είναι όλα θετικά.π.χ αλλά

Έστω οτι δεν ισχυει το ζητουμενο.Τοτε:
$\begin{flushleft}\left|w-z_1\right|+\left|w-z_2\right|+\left|w-z_3\right|< 3\Leftrightarrow \left|\overline{w}-\overline{z_1}\right|+\left|\overline{w}-\overline{z_2}\right|+\left|\overline{w}-\overline{z_3}\right|< 3\Leftrightarrow \left|\overline{w}-\frac{1 ...

$\displaystyle{\Omega=\{AA,AM,MA,MM \}}\\[0,5cm]
\displaysyle{P(AA)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{20}=10\%}\\[0,5cm]
\displaysyle{P(AM)=\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=30\%}\\[0,5cm]
\displaysyle{P(MA)=\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20}=30\%}\\[0,5cm]
\displaysyle{P(MM ...

Μία από τις περιπτώσεις από το βιβλίο (σελ.113): Μαθήματα Διαφορικών Εξισώσεων-Πάτρα 1974, από τον Καθηγητή Β. Μπαρμπάνη.

…η ορίζουσα Wronski δίνεται υπό του τύπου:
$\displaystyle{W\left( x \right) = W\left( {x_0 } \right)e^{ - \int\limits_{x_0 }^x {P_1 \left( x \right)dx} } ,}$
όπου $W\left( {x ...

Εντάξει,ο συγκεκριμένος συγχωρείται γιατί είναι στατιστικάριος (και συμπαθέστατος σαν άνθρωπος).
Οπως και να χει η στατιστική δεν είναι ακριβώς μαθηματικά αλλά κάτι που μοιάζει με μαθηματικά
...αλλά αυτό είναι μια άλλη κουβέντα,μη βγούμε εκτός θέματος.

Από καθηγητή μου στην Αμερική όταν παρακολουθούσα κάποια μαθήματα πριν 2 χρόνια.
Παραθέτω ατόφια τα λόγια του:

"Υποθέτουμε μια συνεχή συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $[a, b]$. Τότε η $f$ είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό και το συμβολίζουμε ως $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f(x)}dx}$.
Τα $a ...

Λεπτό ζήτημα.
Νομίζω ότι κάτι περισσότερο από τα Α i) καί Β ii), μάλλον θα μπερδέψει πάρα θα βοηθήσει.
Ισως θα μπορούσε κάποιος να τονίσει τη "χρησιμότητα" του dx στο να δείξει τη διαφορά του από το .

Ναί