Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το $M$ είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το $S$ είναι τυχόν σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$ Θεωρώντας τον κύκλο $(M,MA)$ και λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων γ...

Όμορφο παραλληλόγραμμο.png Με υποτείνουσες τις πλευρές $AB, AC, BC$ τριγώνου $ABC,$ κατασκευάζω τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα $SAB, PAC, TBC$ $($ τα σημεία $S, P$ βρίσκονται εκτός του τριγώνου $ABC,$ ενώ το $T$ στο εσωτερικό του $).$ Να δείξετε ότι το $ASTP$ είναι παραλληλόγραμμο. Mε $N$ μέσον ...

Ημέρα πρασίνου.png$\bigstar$ Σημείο $S$ κινείται στην ακτίνα $OA$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ . Φέρω τμήμα $PS \perp AB$ και τμήμα : $PT \parallel AB$ , ($ P , T$ στο ημικύκλιο ) . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου $APTS$ . $PT//AB \Rightarrow ( APS)=(TAS)$ και $(PST)=(TSQ)$.Άρα $(APT...

Ίσα τμήματα , ίσες γωνίες.pngΤα τμήματα $AB , BC , CD $ είναι ίσα . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και τον κύκλο $(D , DC)$ . Ευθεία διερχόμενη από το $A$ , τέμνει το ημικύκλιο στα $P , Q$ και τον κύκλο στα $S , T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{PCQ}=\widehat{SCT}$ . Με $O$ κέντρο του ημικυκλίου διαμέ...

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα $\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x= \dfrac {1}{2} \left ( y + \dfrac {1}{y} \right )\\ y= \dfrac {1}{2} \left ( z + \dfrac {1}{z} \right )\\ z= \dfrac {1}{2} \left ( w + \dfrac {1}{w} \right )\\ w= \dfrac {1}{2} \left ( x + \dfrac {1}{x} \right ) \end{mat...

Απρόοπτη ισότητα.pngΟι χορδές $AB$ και $CD$ κύκλου $(O)$ τέμνονται σε σημείο $S$ εξωτερικό του κύκλου . Η ευθεία $AC$ τέμνει τον κύκλο που ορίζουν τα $S , B , D$ , στα σημεία $P , T$ . Δείξτε ότι : $\overset{\frown}{SP}=\overset{\frown}{ST}$ . $\angle \theta + \phi =\angle \omega + \phi =180^0$ άρα...

Εστω τρίγωνο $ABC $ και $0$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.Η $OA$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $A_{1}$. Ομοια ορίζονται τα σημεία $B_{1} , C_{1}$. Να δείξετε ότι $\frac{1}{AA_{1}}+\frac{1}{BB_{1}}+\frac{1}{CC_{1}}=\frac{2}{R}$ όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Χωρίς Τριγωνομετρία. Έ...

Λόγος ανίκατε μάχαν.png Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ με $AB=AC$ και $E$ σημείο της $AC$ ώστε $AE=EB.$ Η προέκταση της $BE$ τέμνει την $CD$ στο $F.$ Αν η $AF$ είναι διχοτόμος του τριγώνου $ACD,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{AB}{BC}.$ Επειδή $DC//AB$ και $AE=EB$ το $AFCD$ είναι ισοσκελές τραπέζιο και ...

Αξιόλογη συνευθειακότητα.pngΗ μεγάλη βάση $AB$ του ισοσκελούς τραπεζίου $ABCD$ είναι διάμετρος ημικυκλίου . Ο κύκλος $(B,BC)$ , τέμνει την προέκταση της $DC$ στο σημείο $T$ και την προέκταση της $AB$ στο σημείο $P$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ , τέμνει την κάθετη της $AP$ στο $P$ , στο σημείο...

Δίνεται τετράγωνο $ ABCD$ και σημείο $K$ στο εσωτερικό του . Αν είναι $KA=5,KB=3,KC=7$ να δειχθεί ότι οι $KB$ ,$KC$ είναι κάθετες. Κατασκευάζοντας το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $BKN$ θα είναι $KN=3\sqrt{2} $ και λόγω της προφανούς ισότητας των γωνιών $\theta $ θα είναι $\triangle AKB= \triangl...

Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=2r$ ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Για ποια θέση του $S$ , είναι : $ST=2TB$ ; Λόγω ισότητας των μπλε γωνιών ,θα είναι $ \dfrac{AB}{BS}= \dfrac{(ATB)}{(TBS)}= \dfrac{AB.AT}{TB.TS} \Rightarrow \dfrac{2r...

Στριφνή τριγωνομετρία.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ του παρατιθέμενου σχήματος , υπολογίστε το $\cos2\theta$ . Με $CZ=BC\Rightarrow \angle CZB= \theta \Rightarrow \dfrac{CS}{CZ} = \dfrac{4x}{10x}= \dfrac{2}{5} \Rightarrow SZ= \dfrac{7}{2}CS $ $(4x)^2=CS.SZ=\dfrac{7}{2}CS^2 \Rightarrow CS^2= \dfrac...

Σε ένα τρίγωνο $ABC$ υπάρχει σημείο $D$ στην $BC$ώστε $AD=BC$. Οι διχοτόμοι των γωνιών$ \measuredangle ADC,\measuredangle ADB $τέμνουν τις $AC,AB$ στα σημεία $M,N$. Να δειχθεί ότι η $M,N$ περνάει από το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$. Έστω $G$ το σημείο τομής της $MN$ με την διάμεσο $AS$.Θα αποδείξο...

Το εμβαδόν ως πηλίκο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $M , N , L$ είναι τα μέσα των $ BC , AB , AM$ , αντίστοιχα . Παρατηρήσαμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $NLC$ ισούται αριθμητικά με : $\dfrac{b}{c}$ .Υπολογίστε την πλευρά $c$ . $NL//BC\Rightarrow (CNL)=(BNL)=S \Rightarrow (ABC)=8S $ Άρα...

Τετράγωνο μυαλό.png$\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά $AB$ , ενός τετραγώνου $ABCD$ , κατά τμήμα $BS$ , ίσο με την διαγώνιο $AC$ και την διαγώνιο $AC$ κατά τμήμα $CT$ , ίσο με την πλευρά $AB$ . Δείξτε ότι τα τμήματα $ST , DT$ είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! ) $CP=BM= \dfrac{a \sqrt{2} ...

Περίτεχνος περίκυκλος.pngΤο ισοσκελές τραπέζιο $ABCD$ έχει βάσεις : $AB=7 , DC=5$ και ύψος : $CE=6$ . Η κάθετη της $AB$ στο $A$ , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου $BD$ στο σημείο $T$ . Ο κύκλος που ορίζουν τα σημεία $T , C , B$ , τέμνει την προέκταση της $BA$ στο σημείο $S$ . Υπολογίστε το τμήμα ...

Διαφορά από γινόμενο.pngΓια το τρίγωνο $ABC$ , είναι γνωστό το ύψος $AD=4$ και ότι : $b\cdot c=36 , (b>c)$ . Να βρεθεί η διαφορά $b-c$ , όταν η βάση $BC$ γίνει η μέγιστη δυνατή . $2(ABC)=bcsinA=4a \Rightarrow 36sina=4a \Rightarrow a=9sinA \leq 9$ Άρα $a_{max} =9$ όταν $sinA=1 \Rightarrow A=90^0$.Τό...

Διπλοκάθετες.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ),$ είναι $M, N$ τα μέσα των $BC, AC$ αντίστοιχα και $D$ το μέσο του $AN.$ Αν $DM\bot BC,$ να δείξετε ότι $AM\bot BN.$ Με $M’$ συμμετρικό του $M$ ως προς $D$ το $AM'NM$ είναι παραλ/μμο,άρα $AM΄//MN$ ,όπως και $MN//AB$ Επομένως $M΄,A,B$ σ...

Διπλοκάθετες.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ),$ είναι $M, N$ τα μέσα των $BC, AC$ αντίστοιχα και $D$ το μέσο του $AN.$ Αν $DM\bot BC,$ να δείξετε ότι $AM\bot BN.$ Είναι $MN//AB\Rightarrow MN \bot AC$ και $\dfrac{c^2}{4} =MN^2=DN.NC=\dfrac{b}{4} . \dfrac{b}{2} = \dfrac{b^2}{8} $.Έτ...

Έστω τετράγωνο $ABCD$ και σημεία $E, Z$ των πλευρών $AB, AD$ αντίστοιχα με $AE=DZ$. Αν η κάθετη από το $C$ προς την $EZ$ τέμνει την διαγώνιο $BD$ στο $H$, να αποδείξετε ότι $EZ=CH$. Η $ZQ$ είναι κάθετη στην $ZE$ άρα $ZQ//CL$ συνεπώς οι γωνίες $ \theta $ είναι ίσες Άρα $ \triangle DZQ= \triangle AEZ...