Καλησπέρα κ.Τόλη, η άσκηση αυτή έχει προταθεί και σαν θέμα στον IMC. Για τη λύση μας χρειάζεται η ιδιότητα $||AB||\leq||A||||B||$ της συγκεκριμένης νόρμας, όπως και η τριγωνική ανισότητα . Πράγματι αν $||A||\leq\frac{n}{\ln 2}$ τότε η ζητούμενη ανισότητα είναι προφανής. Διαφορετικά θα έχουμε $||A||\...

Προς τους ενδιαφερόμενους των μαθηματικών Διαγωνισμών, Το Σάββατο 10 Δεκεμβρίου θα διενεργηθεί ο μαθηματικός διαγωνισμός EMC στην Αθήνα (το εξεταστικό κέντρο θα το ανακοινώσω σύντομα).Ο διαγωνισμός EMC ειναι ένας ευρωπαικός διαγωνισμός με έδρα την κροατία που γίνεται κάθε χρόνο (πληροφορίες στο site...

Αρχικά παρατηρούμε ότι $a_{1}=b_{1}=1$ Επίσης $a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{5}=(1-\sqrt{5})^n(1-\sqrt{5})=(a_{n}-b_{n}\sqrt{5})(1-\sqrt{5})$ Δηλαδή θα έχουμε $a_{n+1}=a_{n}+5b_{n}$ και $b_{n+1}=b_{n}+a_{n}$ Έτσι ,λοιπόν, λαμβάνουμε $gcd(a_{n+1},b_{n+1})=gcd( a_{n}+5b_{n}, b_{n}+a_{n})=gcd(4b_{n},a_{n}+b_{n}...

Καλησπέρα ! Οσον αφορά τα θέματα του διαγωνισμού των μεγάλων , οι καθηγητές της ΕΜΕ μας ενημέρωσαν ότι ορισμένα εξ 'αυτών προερχονται από shortlist περσινης ολυμπιαδας και βαλκανιαδας . Ειναι ευνοητο λοιπον οτι πρεπει να αποφευχθει η διαρρευση των θεματων ,καθως ενδεχεται να προταθουν και σε διαγωνι...

Καλησπέρα! Μία λύση με αντιστροφή. gewmetria apo iran.PNG Θεωρούμε $S$ το σημείο τομής των $QA,XY$. Αρχικά παρατηρούμε ότι το τρίγωνο $AXY$ είναι ισοσκελές αφού $\angle AXY=180 -\angle XBP -\angle BXP=\angle XPB=\angle YPC=...=\angle AYX$. Συνεπώς η $QS$ είναι εξωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο $QXY$. ...

Θεωρούμε $n$ κύκλους στο επίπεδο έτσι ώστε ανά δύο να τέμνονται και ανά τρεις να μην διέρχονται από το ίδιο σημείο. Αρχικά υπάρχει ένα κέρμα σε κάθε σημείο τομής που ορίζουν οι κύκλοι. Δύο παίκτες $A,B$ παίζουν το εξής παιχνίδι. Ξεκινάει ο $A$ και οι παίκτες παίζουν εναλλάξ αφαιρώντας ένα κέρμα την ...

Καλησπέρα! Παραθέτω μία λύση για τα πρώτα δύο υποερωτήματα και μία ημιτελή προσπάθεια για το 3ο υποερώτημα ελπίζοντας ότι θα βρεθεί κάποιος να βοηθήσει. $a1)$ Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία $A, B_{00},C_{00}$ είναι συνευθειακά. Για να αποδείχθεί αυτό αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα $PH_1 H_3,QED$...

Αρχικά παρατηρούμε ότι τα $C,M,P,Q,N$ είναι ομοκυκλικά. Πράγματι $\angle MPN= \angle A= 180 -\angle C$ και $\angle CQP=\angle CDZ=\angle EMP$ Επίσης ο περίκυκλος του $NZH$ διέρχεται από το $Q$ αφού $\angle NHZ= \angle FMP=\angle PQN$. Ομοίως ο $MFE$ διέρχεται από το $Q$. Θεωρούμε $S$ το σημείο τομής...

Έστω $a_1,a_2$ οι δύο ομόκεντροι κύκλοι. Έστω $A,B$ τα σημεία επαφής του $b_1$ με τους $a_1,a_2$ , $C,D$ τα σημεία επαφής του $b_2$ με τους $a_1,a_2$ ,$E,F$ τα σημεία επαφής του $c_1$ με τους $a_1,a_2$ και $G,H$ τα σημεία επαφής του $c_2$ με τους $a_1,a_2$ . Θα δείξουμε αρχικά το ακόλουθο λήμμα Λήμμ...

Έχω λάθος στην εκφώνηση . Πάρε για να σου βγεί η συγκεκριμένη γωνιακή ισότητα . Διαφορετικά ισχύει αυτή που αναφέρεις.

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο και τα σημεία τομής , . Έστω το μέσο της και η προβολή του στην . Να δείξετε ότι

Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ το εγκεντρό του $I$ και σημείο $D$ στον περίκυκλό του ώστε $DI \perp CI$. Έστω $M,N$ τα μέσα των τόξων $AB$ και $AC$ αντίστοιχα και ορίζουμε $P \equiv AB \cap MD$ και $Q \equiv AC \cap ND$. Ακόμη θεωρούμε $E$ το σημείο τομής της $PQ$ με την $AD$ και $F$ το σημείο τομής της $BC...

Θεωρούμε $M,N$ τα μέσα των τόξων $AB,AC$ και $I$ το έγκεντρο του $ABC$. Τότε $\angle II_{A}E=\frac{\angle C}{2}+\frac{\angle B}{2} +\angle EMC$ και $\angle II_{C}E=\frac{\angle C}{2}+\frac{\angle B}{2} +\angle ENB$ Οπότε $\angle II_{A}E+\angle II_{C}E=180$ ,δηλαδή τα $I,I_A,I_C,E$ είναι ομοκυκλικά. ...

Καλησπέρα! Αρχικά παρατηρούμε ότι $f(x+y)\geq f(x)+y >f(x)$ , δηλαδή η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Με εναλλαγή των μεταβλητών $x,y$ έχουμε $f(x+y)\geq x+f(y)$ Επίσης η δεύτερη συνθήκη δίνει $x+y\geq f(f(x+y))\geq f(x+f(y)) \geq f(x)+f(y)$ , οπότε $x \geq f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R+}$. Έστω $g(x)...

Μάλιστα !Εγώ το βρήκα εδώ .. http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 41p2976266

Θεωρούμε τρίγωνο και τα σημεία επαφής των μικτοεγγεγραμμένων κύκλων που αντιστοιχούν στις κορυφές αντίστοιχα , με τον περίκυκλό του.Να δείξετε ότι οι συντρέχουν στην , όπου το περίκεντρο και το έγκεντρο του .

Έστω $D,E,F$ τα μέσα των $AT,BT,CT$ αντίστοιχα . Η ευθεία $PA_1$ είναι η Newton-Gauss του $AMLTBC$ , οπότε τα $D,P,A_1$ είναι συνευθειακά. Ομοίως προκύπτει ότι τα $E,Q,B_1$ όπως και τα $F,R,C_1$ είναι συνευθειακά . Τα τρίγωνα $A_1 B_1 C_1$ και $D E F$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες , οπότε οι $DA...

Έστω $G\equiv TA \cap (O)$ και $Q\equiv GB\cap AE$. Τότε η πολική του $T$ ως προς τον $(O)$ είναι η $P'Q$ όπου $P'\equiv AB\cap GE$ . Συνεπώς πρέπει $C,D,Q,P'$ συνευθειακά και επιπλέον $P \equiv P'$. Επίσης , η πολική του $P$ είναι η $TQ$ . Συνεπώς οι πολικές των $T,P,F$ συντρέχουν και έχουμε το ζητ...

Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ τον εγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου $I$ και τον $A-$ παρεγγεγραμμένο κύκλο του κέντρου $J$. O $(I)$ εφάπτεται της $BC$ στο $N$.Έστω κύκλος κέντρου $O$ οποίος εφάπτεται στην $BC$ στο $N$ και στον περίκυκλο του $ABC$ στο $P$ (και βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το $A$ ως προς τη...

Είναι άσκηση από το φετινό RMM ! Έστω $I$ το έγκεντρο του $ABC$. Παρατηρούμε ότι $2\angle I_bAD +\angle DAI =\frac{\angle A}{2} =2\angle IAI_c +\angle DAI \Leftrightarrow \angle I_bAD =\angle IAI_c$. Οπότε για να ανήκει το περίκεντρο του $AI_b I_c$ στην $AI$ αρκεί $AD \perp I_b I_c$. Έστω ότι οι έγκ...