άθροισμα - Δ2.42

#1

Καλημέρα σε όλους!
Να υπολογιστεί το άθροισμα:
$\sum\limits_{\substack{k=1\\(k,n)=1}}^{n}e^{\frac{2\pi \i k}{n}}.$

Νικόλαος Κατσίπης

dement · #2

Συμβολιζουμε το αθροισμα με s_n

.

Εστω οτι ο

ειναι πρωτος. Τοτε το αθροισμα περιλαμβανει ολες τις

οστες ριζες της μοναδας εκτος του

και εχουμε s_n = -1

.

Εστω οτι $n = p^k, \ k > 1$ με

πρωτο. Τοτε απο το αθροισμα θα αφαιρεθουν οι $p^{k-1}-$ οστες ριζες της μοναδας, που εχουν αθροισμα

, και εχουμε s_n = 0

.

Εστω $n = pq, \ gcd(p,q)=1$ . Τοτε καθε αποδεκτο

στο αθροισμα μπορει να γραφει ως $k = sp + rq \ (mod \ pq), \ gcd(s,q) = gcd(r,p) = 1$ . Ετσι, το αθροισμα μας εχει την πολλαπλασιαστικη ιδιοτητα $s_{pq} = s_p s_q$ .

Απο ολα μαζι επεται οτι το αθροισμα s_n

:

1. Μηδενιζεται οταν το

διαιρειται με το τετραγωνο καποιου πρωτου.
2. Ειναι (-1)^r

, οπου

το πληθος των πρωτων παραγοντων του

.

Με αλλα λογια προκειται (αν δεν εχω κανει λαθος) για τη γνωστη συναρτηση Moebius $\mu (n)$ .

Δημητρης Σκουτερης

#3

dement έγραψε:Συμβολιζουμε το αθροισμα με .

Εστω οτι ο ειναι πρωτος. Τοτε το αθροισμα περιλαμβανει ολες τις οστες ριζες της μοναδας εκτος του και εχουμε .

Εστω οτι $n = p^k, \ k > 1$ με πρωτο. Τοτε απο το αθροισμα θα αφαιρεθουν οι $p^{k-1}-$ οστες ριζες της μοναδας, που εχουν αθροισμα , και εχουμε .

Εστω $n = pq, \ gcd(p,q)=1$ . Τοτε καθε αποδεκτο στο αθροισμα μπορει να γραφει ως $k = sp + rq \ (mod \ pq), \ gcd(s,q) = gcd(r,p) = 1$ . Ετσι, το αθροισμα μας εχει την πολλαπλασιαστικη ιδιοτητα $s_{pq} = s_p s_q$ .

Απο ολα μαζι επεται οτι το αθροισμα :

1. Μηδενιζεται οταν το διαιρειται με το τετραγωνο καποιου πρωτου.
2. Ειναι , οπου το πληθος των πρωτων παραγοντων του .

Με αλλα λογια προκειται (αν δεν εχω κανει λαθος) για τη γνωστη συναρτηση Moebius $\mu (n)$ .

Δημητρης Σκουτερης

Πάρα πολύ ωραία...

Νίκος

άθροισμα - Δ2.42

άθροισμα - Δ2.42

Re: άθροισμα

Re: άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση