Πίνακας

mick7 · #1

Έστω

και

δύο μη μηδενικά διανύσματα

-διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας

, (

) τέτοιος ώστε τα διανύσματα

και

να μην είναι ορθογώνια;

#2

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 08, 2025 3:40 pm
Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα -διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας , ( ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα και να μην είναι ορθογώνια;

Υπάρχει.

Εφόσον x,y

κάθετα, είναι και γραμμικά ανεξάρτητα. Επεκτείνουμε το ζεύγος x,y

σε βάση του χώρου. Ορίζουμε τώρα γραμμικό πίνακα

σε όλο τον χώρο ως Ax=x+y, Ay=y

και οτιδήποτε (π.χ.

) στα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης. Τότε τα Ax,Ay

δεν είναι κάθετα διότι

$\langle Ax,Ay \rangle = \langle x+y,y \rangle = \langle x,y \rangle +\langle y,y \rangle = 0+ ||y||^2 \ne 0$ .

#3

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 08, 2025 3:40 pm
Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα -διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας , ( ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα και να μην είναι ορθογώνια;

Παραλλαγή του προηγούμενου.

Έστω

οποιοδήποτε μη-μηδενικό διάνυσμα του χώρου. 'Οπως πριν, ορίζουμε τον

γραμμικά αλλά τώρα ως Ax=Ay=e

. Είναι τότε

$\langle Ax,Ay \rangle = \langle e,e\rangle = ||e||^2 \ne 0$ .

#4

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 08, 2025 3:40 pm
Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα -διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας , ( ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα και να μην είναι ορθογώνια;

.
Και αλλιώς: Έστω

τυχαίο μη μηδενικό διάνυσμα και έστω

ένα διάνυσμα του χώρου το οποίο δεν είναι κάθετο ούτε στο

ούτε στο

. Tέτοια

υπάρχουν πολλά, π.χ. όλα τα $\lambda x + \mu y$ με $\lambda, \, \mu \ne 0$ . Ορίζουμε τώρα τον (τάξης

) πίνακα $Au=\langle u,e \rangle f$ για κάθε

στον χώρο. Είναι τότε

$\displaystyle{ \langle Ax, Ay\rangle = \langle \langle x, e \rangle f, \langle y, e \rangle f \rangle =\langle x, e \rangle \langle y, e \rangle ||f ||^2 \ne 0}$ , διότι εξ επιλογής $\langle x, e \rangle \ne 0 \ne \langle y, e \rangle$ .

abfx · #5

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 08, 2025 3:40 pm
Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα -διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας , ( ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα και να μην είναι ορθογώνια;

Και ένα κατασκευαστικό παράδειγμα.

Υποθέτοντας ότι δουλεύουμε στον $\mathbb R^d$ μπορούμε να θέσουμε

$A= \begin{pmatrix} x_1+y_1 & x_2+y_2 & \dots & x_d+y_d \\ x_1+y_1 & x_2+y_2 & \dots & x_d+y_d\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_1+y_1 & x_2+y_2 & \dots & x_d+y_d \end{pmatrix}$

όπου

$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d \end{pmatrix}$ και $y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_d \end{pmatrix}$ .

Προκύπτει $\displaystyle \langle Ax, Ay \rangle =n\left( \sum_{i=1}^d x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^d y_i^2 \right)>0$ .

abfx · #6

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 08, 2025 3:40 pm
Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα -διάστατα που είναι ορθογώνια.

Υπάρχει πίνακας , ( ) τέτοιος ώστε τα διανύσματα και να μην είναι ορθογώνια;

Γενικά μπορούμε να επιλέξουμε τον

στην τύχη και να είμαστε "σχεδόν βέβαιοι" ότι θα ικανοποιεί την ζητούμενη ιδιότητα.

Πράγματι, ισχύει $m(\{A \in \mathbb R^{d\times d}: \langle Ax , Ay \rangle =0 \})=0$ για δοσμένα μη-μηδενικά $x,y \in \mathbb R^d$ ,

όπου $m(\cdot )$ το μέτρο Lebesgue στον $\mathbb R^{d^2}$ .

Το παραπάνω δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί αρκεί να το δει κανείς "σωστά".

Πίνακας

Πίνακας

Re: Πίνακας

Re: Πίνακας

Re: Πίνακας

Re: Πίνακας

Re: Πίνακας

Μέλη σε σύνδεση