Ομάδα Galois

#1

Ανέκαθεν είχα μια απορία ...

Αν δοθεί ένα πολυώνυμο και γνωρίζουμε τις ρίζες του μπορούμε να κατασκευάσουμε την ομάδα Galois των ριζών του. Στην περίπτωση που δεν γνωρίζουμε τις ρίζες (αλλά μόνον τους συντελεστές του πολυωνύμου) υπάρχει τρόπος να βρούμε την ομάδα Galois? (Γεγονός που θα μας οδηγήσει μέσω της επιλυσιμότητας ή μη, στην γνώση ύπαρξης ριζών εκφρασμένων με ριζικά)

#2

Καλή σας μέρα
Σεραφείμ η απάντηση στο ερώτημα σου είναι κατ΄αρχήν καταφατική αλλά στην πράξη προσκρούει σε υπολογιστικά εμπόδια.
Θα αναφέρω παραλείποντας αποδείξεις κάτι σχετικό που έχω δεί στο κλασικό βιβλίο Algebra του B.L. Van der Waerden (τόμος 1, στην έκδοση Springer που το έχω οι σελίδες είναι 197-200)
'Εστω

ένα σώμα. 'Εστω

ένα πολυώνυμο

βαθμού με συντελεστές από το

. Ας ονομάσουμε $\rho _{1},\rho _{2},...\rho _{n}$ τις ρίζες του. 'Eστω $S_{n}$ η συμμετρική ομάδα τάξης

.
Θεωρούμε μεταβλητές $u_{1},...,u_{n}$ και το πολυώνυμο

με
$\displaystyle F\left( x,u_{1},...,u_{n}\right) =\prod\limits_{\sigma \in S_{n}}\left( x-\left( u_{\sigma \left( 1\right) }\rho _{1}+u_{\sigma \left( 2\right) }\rho _{2}+...+u_{\sigma \left( n\right) }\rho _{n}\right) \right)$
To $\sigma$ διατρέχει τα

στοιχεία της $S_{n}$ επομένως το πολυώνυμο

έχει ως προς

βαθμό

. Επειδή οι συντελεστές του είναι συμμετρικές παραστάσεις των $\rho _{1},\rho _{2},...\rho _{n}$ και είναι γνωστό ότι οι κάθε συμμετρική παράσταση εκφράζεται ως πολυώνυμο των στοιχειωδών συμμετρικών παραστάσεων
$\rho _{1}+\rho _{2}+...+\rho _{n}, \ \rho _{1}\rho _{2}+...+\rho _{n-1}\rho _{n},~\ \ \ \rho _{1}\ \rho _{2}...+\rho _{n-1}\rho _{n}$
τελικά, από τις σχέσεις του Vieta το

έχει όλους τους συντελεστές του στο σώμα $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ .
Το

μπορεί να είναι ανάγωγο μπορεί και όχι. Σε κάθε περίπτωση όμως παραγoνποιείται ως γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων με συντελεστές από το $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ . Ας πούμε ότι
$F=F_{1}F_{2}...F_{r}$
Οι συντελεστές των $F_{i}$ ανήκουν μεν στο $K\left( u_{1},u_{2},...,u_{n}\right)$ αλλά είναι παραστάσεις των $\rho _{1},\rho _{2},...\rho _{n}$ όχι κατ' ανάγκην συμμετρικές.
'Εστω τώρα $\sigma$ μία μετάθεση της $S_{n}$ . Η $\sigma$ δρώντας στα 1,2,..,n

δρα και στα $\rho _{1},\rho _{2},...\rho _{n}$ και επομένως σε κάθε παράσταση τους. 'Αρα δρα και στα πολυώνυμα $F_{i}$ . Το σύνολο των μεταθέσεων που αφήνουν όλα τα $F_{i}$ αναλλοιωτα αποτελεί μία υποομάδα

της $S_{n}$ . Ο Van der Waerden αποδεικνύει ότι

είναι η ομάδα Galois του πολυωνύμου

. Eπίσης υποδεικνύει ένα αλγόριθμο που οδηγεί στην εύρεση της

, χωρίς φυσικά να προϋποτίθεται η γνώση των ριζών, όταν το σώμα

είναι το σώμα κλασμάτων μίας περιοχής μονοσήμαντης ανάλυσης

. (που καλύπτει φυσικά την περίπτωση όπου το πολυώνυμο μας έχει ρητούς συντελεστές).
'Oμως η τεχνική που αναπτύσσει ο Van der Waerden δουλεύει για πολυώνυμα μικρού βαθμού. Ακόμη και με υπολογιστή είναι απαγορευτική για πολυώνυμα μεγάλου βαθμού. Γιαυτό έχουν αναπτυχθεί άλλες επιτηδευμένες τεχνικές που χρησιμοποιούν πιθανοκρατικές μεθόδους κάτι ανάλογο με την μέθοδο Monte Carlo. Μερικές έχουν ενσωματωθεί πλέον και σε διαδεδομένα προγράμματα συμβολικού υπολογισμού.
Eκτός από το βιβλίο του Van der Waerden μπορεί κανείς να βρεί στοιχεία στα:
Swallow_Exploratory Galois Theory (Cambridge, 2004)
Prasolov_Polynomials (Springer, 2004)

Μαυρογιάννης

#3

Ευχαριστώ πολύ!
Πήρα μια ιδέα πως δουλεύει το φαινόμενο. Και ομολογώ πως είναι η πρώτη σαφής απάντηση που έλαβα, παρόλο που απευθύνθηκα σε "ειδικούς".
Και πάλι ευχαριστώ πολύ.

Ομάδα Galois

Ομάδα Galois

Re: Ομάδα Galois

Re: Ομάδα Galois

Μέλη σε σύνδεση