Ορθογώνιο συμπλήρωμα πεπερασμένης διάστ. διανυσματικού χώρου

[stelmarg]

Ορθογώνιο συμπλήρωμα του υπόχωρου U ως προς έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο V, ονομάζεται o υπόχωρος W, με ,
έτσι ώστε o V να είναι το ευθύ άθροισμα των W και U δηλαδή και .
Αποδείξτε ότι για οποιονδήποτε υπόχωρο U του V,υπάρχει ένα ορθογώνιο συμπλήρωμα του ,και ότι οι διαστάσεις δύο οποιονδήποτε ορθογώνιων συμπληρωμάτων του U ως προς τον V, είναι ίδιες.

[nsmavrogiannis]

Στέλιο εννοείται ότι μιλάμε για ένα χώρο εσωτερικού (πραγματικού ή ερμιτιανού δεν έχει σημασία) γινομένου. Ακόμη χρειάζεται κάτι ακόμη στον ορισμό του ορθογωνίου συμπληρώματος: Πρέπει κάθε διάνυσνα του να είναι κάθετο σε κάθε διάνυσμα του .
Με αυτές τις διευκρινήσεις η αντιμετώπιση δεν έχει δυσκολία. Θεωρούμε μία βάση του . Κατόπιν κατασκευάζουμε με την βοήθεια της μία άλλη ορθογώνια βάση με την διαδικασία Gram–Schmidt. Επεκτείνουμε την σε μία βάση του επισυνάπτοντας κατάλληλα διανύσματα. Ας πούμε το σύνολο τους. Συνεχίζουμε την διαδικασία Gram–Schmidt με τα διανύσματα της και αποκτούμε ένα σύνολο ώστε:
Το είναι βάση του
Το είναι ορθογώνια βάση του
Ονομάζουμε τώρα τον υπόχωρο που παράγεται από το . Τότε
Ο είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του δηλαδή Αυτό διότι κάθε στοιχείο του είναι γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του που σπάει σε άθροισμα δύο γραμμικών συνδυασμών ενός στοιχείων του δηλαδή ενός στοιχείου του και ενός στοιχείων του δηλαδή στοιχείου του . Δύο δε στοιχεία των , μπορούν να πετύχουν να είναι ίσα μόνο αν γίνουμ μηδέν. Αυτό διότι μία ισότητα γραμμικών συνδυασμών στοιχείων των , μας οδηγεί σε κάποιο γραμμικό συνδυασμό του ίσο με μηδέν.
Για κάθε είναι . Αυτό διαπιστώνεται γράφοντας τα στοιχεία μας ως γραμμικούς συνδυασμούς των στοιχείων των αντιστοίχων βάσεων. Αν πολλαπλασιάσουμε και κάνουμε τις επιμεριστικές βρίσκουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι 0.
Τέλος κάθε ορθογώνιο συμπλήρωμα του είναι, πρωτίστως, συμπλήρωμα του και επομένως έχει διάσταση ίση με
Μαυρογιάννης