Υπάρχει ισομορφισμός; - Δ2.41

#1

Να εξετασεί αν τα υποσώματα $K_{1}=\{a+b\sqrt{p}:a,b\in\mathbb{Q}\}$ και $K_{2}=\{a+b\sqrt{q}:a,b\in\mathbb{Q}\}$ των πραγματικών, όπου p,q

διακεκριμένοι πρώτοι, είναι ισόμορφα.

#2

Δεν είναι. Αν ήσαν και $\varphi :\mathbb{Q}\left( \sqrt{p}\right) \rightarrow \mathbb{Q}\left( \sqrt{q}\right)$ ήταν ο ισομορφισμός τότε φυσικά ο $\varphi$ απεικονίζει ρητούς σε ρητούς και με $\alpha =\sqrt{p}$ θα είχαμε $\varphi \left( \alpha \right) ^{2}=p$ δηλαδή με $\beta =\varphi \left( \alpha \right)$ στο $\mathbb{Q}\left( \sqrt{q}\right)$ είναι $\beta ^{2}=p$ . Αλλά $\beta =x+y\sqrt{q}$ με x, y

ρητούς. Το άτοπο προκυπτει από την σχέση $\left( \allowbreak x^{2}+y^{2}q\right) +\left( 2xy\right) \sqrt{q}=p$ που δίνει xy=0

από την οποία προκύπτει ότι κάποιος από τους $\sqrt{p},\sqrt{\frac{p}{q}}$ θα πρέπει να είναι ρητός.
Μαυρογιάννης

#3

Το ερώτημα μπορεί να τεθεί και σε ένα γενικότερο πλαίσιο:
Αν $\alpha ,\beta$ είναι αλγεβρικοί αριθμοί των οποίων τα ελάχιστα πολυώνυμα $f=Irr\left( \alpha \right) ,\,\ g=Irr\left( \beta \right)$ (δηλαδή τα ανάγωγα, μονικά πολυώνυμα ελαχίστου βαθμού με ρητούς συντελεστές που έχουν ρίζες τα $\alpha ,\beta$ ) είναι διάφορα μπορούν άραγε τα σώματα $\mathbb{Q}\left( \alpha \right)$ , $\mathbb{Q}\left( \beta \right)$ να είναι ισόμορφα;
Μαυρογιάννης

Υπάρχει ισομορφισμός; - Δ2.41

Υπάρχει ισομορφισμός; - Δ2.41

Re: Υπάρχει ισομορφισμός;

Re: Υπάρχει ισομορφισμός;

Μέλη σε σύνδεση