αριθμοι γενικά

dentart · #1

για σας ήθελα να σας ρωτήσω
1. οι έννοιες του υπερβατικου και του μη αλγεβρικού είναι ταυτόσιμες για τους αριθμούς?
2.οι ρητοι διακρίνονται σε αλγεβρικούς ενώ οι άρρητοι στους αλγεβρικούς και στους μη αλγεβρικούς?

#2

Αλγεβρικοί είναι οι αριθμοί που είναι ρίζες πολυωνύμων με ρητούς (εν τέλει ακεραίους συντελεστές). Τέτοια πρωτοβάθμια πολυώνυμα έχουν αναγκαστικά ρητή ρίζα. Επομένως οι ρητοί αριθμοί είναι αναγκαστικά αλγεβρικοί. 'Οσοι δεν είναι αλγεβρικοί λέγονται υπερβατικοί.
Και επειδή μία εικόνα είναι χίλιες λέξεις, (αν και προτιμώ τις λέξεις)

: algebraic.png (21.71 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές

Μαυρογιάννης

#3

Η απάντηση καί στίς δύο ερωτήσεις είναι καταφατική.
Συγκεκριμένα αφού αλγεβρικός αριθμός είναι κάθε αριθμός πού είναι ρίζα κάποιου μή-μηδενικού πολυωνύμου πάνω από τό $\mathbb{Q}$ , κάθε ρητός $\dfrac{p}{q}$ είναι ρίζα τού πολυωνύμου $x-\frac{p}{q}$ , ενώ δέν συμβαίνει πάντα αυτό γιά τούς αρρήτους.

Ερωτηση: Μπορείς νά βρείς έναν υπερβατικό άρρητο ;

dentart · #4

o e , ο π,o λεγόμενος αριθμός Lιουville(
$\frac{1}{10^{1!}}+\frac{1}{10^{2!}}+\frac{1}{10^{3!}}+...,$ )?

#5

Και οι τρεις αριθμοί που παρέθεσες είναι άρρητοι και μη αλγεβρικοί (δηλαδή υπερβατικοί). Μάλιστα ο συγκεκριμένος αριθμός του Liouville που παρέθεσες (ονομάζεται και σταθερά του Liouville διότι αριθμοί του Liouville υπάρχουν πολλοί $(\star)$ ) αλλά και όλοι οι άλλοι αριθμοί του Liouville - αν δεν κάνω λάθος - ήταν οι πρώτοι αριθμοί των οποίων αποδείχθηκε η υπερβατικότητα! Απόδειξη για το τελευταίο νομίζω ότι έχει το κλασσικό "An Introduction To The Theory Of Numbers" των "Hardy and Wright" από "Oxford University Press". Φοβερό βιβλίο θεωρίας Αριθμών!

$(\star)$ Ένας πραγματικός αριθμός $\alpha$ ονομάζεται αριθμός του Liouville όταν έχει την ιδιότητα για κάθε θετικό ακέραιο

να υπάρχουν ακέραιοι k, l

(άρα εξαρτώμενoι από το

) με

τέτοιοι ώστε

$0< \left|\alpha-\displaystyle\frac{k}{l}\right| < \displaystyle\frac{1}{l^n}$
Ο συγκεκριμένος αριθμός $\alpha=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} 10^{-i!}$ που παρέθεσες, ικανοποιεί την παραπάνω ιδιότητα διότι αν ορίσεις

$k_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n 10^{n! - i!}$ και $l_n = 10^{n!}$

τότε για όλους τους θετικούς ακεραίους

ισχύει

$\begin{aligned} \left|\alpha - \displaystyle\frac{k_n}{l_n}\right| &= \displaystyle\sum_{i=n+1}^\infty 10^{-i!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots \\ &< 10\cdot10^{-(n+1)!} \leq \left(10^{-n!}\right)^n \\ &= \displaystyle\frac{1}{{l_n}^n} \end{aligned}$

άρα είναι ένας αριθμός του Liouville.

Η απόδειξη για το ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι άρρητοι είναι αρκετά απλή (1 σειρά) ενώ για την υπερβατικότητά τους ενώ δεν είναι μεγάλη (περί την μισή σελίδα), εντούτοις έχει μερικά όμορφα τρικ και αξίζει να τη διαβάσεις. Πιθανόν θα τη βρεις και στο δίκτυο αν ψάξεις για "Liouville's Numbers".

Αλέξανδρος

tasosjs · #6

υπαρχουν αριθμοι που δεν ξερουμε αν ειναι ρητοι η αρρητοι?
Για να ειναι αλγεβρικος αρρητος θα πρεπει να ειναι ριζα μιας πολυωνυμικης εξισωσης βαθμου n\geq 2(με συντελεστες στο Ζ) και να μην ειναι ριζα μιας γραμμικης εξισωσης πρωτου βαθμου(με συντελεστες στο Ζ).Αν αρρητος και δεν ειναι αλγεβρικος αρρητος θα ειναι υπερβατικος αρρητος

#7

tasosjs έγραψε:υπαρχουν αριθμοι που δεν ξερουμε αν ειναι ρητοι η αρρητοι?

Ναι υπάρχουν. Ένα παράδειγμα είναι η σταθερά Euler-Mascheroni. Κανείς δεν ξέρει αν είναι ρητός ή άρρητος. (Οι περισσότεροι πιστεύουν πως όχι μόνο είναι άρρητος ο αριθμός αλλά είναι και υπερβατικός. Κανείς όμως δεν κατάφερε (μέχρι στιγμής) να το αποδείξει.)

dement · #8

Αλλοι αριθμοι επισης ειναι οι $\pi + e, \pi - e$ . Γενικα, για οποιουσδηποτε m,n

μη μηδενικους ακεραιους, δε γνωριζουμε αν ο $m \pi + n e$ ειναι ρητος η αρρητος.

Δημητρης Σκουτερης

dentart · #9

Μεταξύ των αριθμών των οποίων η φύση δεν έχει ερμηνευτεί ,καταλέγονται οι $\pi ^{e },\pi ^{\pi },e^{e},e\cdot \pi$ Ο $e^{\pi }$ αποδείχθηκε το 1934 από τον Alexandr Gelfond ότι είναι υπερβατικός αριθμός .

αριθμοι γενικά

αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Re: αριθμοι γενικά

Μέλη σε σύνδεση