Συναρτησιακή με ομάδα

#1

Έστω

ομάδα με

στοιχεία και

το ουδέτερο στοιχείο της. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:G\to\mathbb{N}^{*}$ για τις οποίες:
(α) $f(x)=1 \iff x=e$ και
(β) $f(x^{k})=f(x)/(f(x),k)$ , για κάθε θετικό διαιρέτη

του

, όπου

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των

και

.

air · #2

Η προηγούμενη λύση που είχα στείλει ήταν λάθος (ευχαριστώ τον socrates για την επισήμανση). Τουλάχιστον και η δεύτερη απόπειρα λύσης ξεκινά με ανάλογο συλλογισμό:

Έστω $x\in G$ τυχαίος. Υποστηρίζω ότι η συνάρτηση

είναι ακριβώς αυτή που στέλνει το

στον ελάχιστο φυσικό n_0

με την ιδιότητα $x^{n_0}=e$ .

Αφενός ισχύει ότι x^n=e

, άρα $f(x^n)=\frac{f(x)}{(f(x),n)} \Rightarrow f(x)=(f(x),n) \Rightarrow f(x)|n$

Ανάλογα δείχνω και ότι f(x)=(f(x),n_0)

.

Τώρα λόγω της f(x)|n

μπορώ να εφαρμόσω τη ιδιότητα β) ως εξής:

$f(x^{f(x)})=\frac{f(x)}{(f(x),f(x))}=\frac{f(x)}{f(x)}=1 \Leftrightarrow x^{f(x)}=e$ ,

δηλαδή η εικόνα του

όντως έχει τη ζητούμενη ιδιότητα και ότι είναι ο μικρότερος δυνατός φυσικός αριθμός με αυτή τη ιδιότητα φαίνεται λόγω του $f(x)=(f(x),n_0) \leq n_0$ όπου ο n_0

επιλέχθηκε ακριβώς κατάλληλα.

Μετά μπορούμε να επαληθεύσουμε κιόλας ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. (Για την επαλήθευση της ιδιότητας β) χρειάστηκα και τη ταυτότητα $lcd(a,b)\cdot gcd(a,b)=a\cdot b$ .)

Συναρτησιακή με ομάδα

Συναρτησιακή με ομάδα

Re: Συναρτησιακή με ομάδα

Μέλη σε σύνδεση