Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

luffatos · #1

Γεια σας! Καλώς σας βρήκα!
Θα ήθελα μια υπόδειξη (ή λύση) σε ένα ερώτημα.

Αν $\mathbb{F}_{q}$ πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής

, δείξτε ότι για κάποιο $f\in \mathbb{F}_{q}[X]$ , ισχύει ότι f'=0

αν και μόνο αν το

είναι

-στή δύναμη κάποιου πολυωνύμου του $\mathbb{F}_{q}[X]$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

luffatos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2019 9:13 pm
Γεια σας! Καλώς σας βρήκα!
Θα ήθελα μια υπόδειξη (ή λύση) σε ένα ερώτημα.

Αν $\mathbb{F}_{q}$ πεπερασμένο σώμα χαρακτηριστικής , δείξτε ότι για κάποιο $f\in \mathbb{F}_{q}[X]$ , ισχύει ότι αν και μόνο αν το είναι -στή δύναμη κάποιου πολυωνύμου του $\mathbb{F}_{q}[X]$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Καλώς όρισες.
Δίνω μια υπόδειξη.
Απέδειξε πρώτα ότι
1)Για $f(x),g(x)\in \mathbb{F}_{q}[X]$
είναι
$(f(x)+g(x))^{p}=(f(x))^{p}+(g(x))^{p}$

2)Για κάθε $b\in F$ υπάρχει $a\in F$ με $a^{p}=b$ .

luffatos · #3

Σκέφτηκα το εξής:
Η παράγωγος του πολυωνύμου $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots a_{1}x+a_{0}$ είναι $f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots a_{1} .$
f' = 0

αν και μόνο αν $ka_{k}=0$ για $1\leq k\leq n.$
Αν το

είναι πολλαπλάσιο του

τότε ο όρος γίνεται

ανεξάρτητα από την τιμή του $a_{k}$ .
Αν, όμως, το

δεν διαιρείται από το

τότε πρέπει $a_{k}=0$ .
Άρα, ισοδύναμα, $a_{k}=0$ για όλα τα $1\leq k\leq n$ που δεν διαιρούνται από το

.

Η

μπορεί τώρα να γραφτεί στη μορφή:
$\displaystyle{f(x)=a_{mp}x^{mp}+a_{(m-1)p}x^{(m-1)p}+\cdots +a_{p}x^{p}+a_{0}}$

Εδώ άρχισα να κολλάω και δεν είμαι σίγουρος αν έχω κάνει σωστά βήματα.
Σκέφτομαι ότι $q=p^{r}$ με $r\geq 1$ .
Για κάθε $u,v \in \mathbb{F}_{q}$ ισχύει $u^{q}=u$ (ιδιότητα πεπερασμένων σωμάτων) και $(u+v)^{p}=u^{p}+v^{p}$ (από διωνυμικό ανάπτυγμα και $p|\binom{p}{i}$ )
άρα πείραξα όλους τους όρους και πέταξα την δύναμη

απ' έξω, οπότε έγραψα την f(x)

σαν $(g(x))^{p}$ .

Δεν ξέρω αν είμαι σωστός γιατί κολλάω στην ιδιότητα $u^{q}=u$ όπως επίσης κολλούσα και στο να αποδείξω το βήμα

που μου δείξατε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

luffatos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 1:32 pm
Σκέφτηκα το εξής:
Η παράγωγος του πολυωνύμου $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots a_{1}x+a_{0}$ είναι $f'(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots a_{1} .$
αν και μόνο αν $ka_{k}=0$ για $1\leq k\leq n.$
Αν το είναι πολλαπλάσιο του τότε ο όρος γίνεται ανεξάρτητα από την τιμή του $a_{k}$ .
Αν, όμως, το δεν διαιρείται από το τότε πρέπει $a_{k}=0$ .
Άρα, ισοδύναμα, $a_{k}=0$ για όλα τα $1\leq k\leq n$ που δεν διαιρούνται από το .

Η μπορεί τώρα να γραφτεί στη μορφή:
$\displaystyle{f(x)=a_{mp}x^{mp}+a_{(m-1)p}x^{(m-1)p}+\cdots +a_{p}x^{p}+a_{0}}$
Μεχρι εδώ όλα καλά.
Εδώ άρχισα να κολλάω και δεν είμαι σίγουρος αν έχω κάνει σωστά βήματα.
Σκέφτομαι ότι $q=p^{r}$ με $r\geq 1$ .
Για κάθε $u,v \in \mathbb{F}_{q}$ ισχύει $u^{q}=u$ (ιδιότητα πεπερασμένων σωμάτων) και $(u+v)^{p}=u^{p}+v^{p}$ (από διωνυμικό ανάπτυγμα και $p|\binom{p}{i}$ )
άρα πείραξα όλους τους όρους και πέταξα την δύναμη απ' έξω, οπότε έγραψα την σαν $(g(x))^{p}$ .

Δεν ξέρω αν είμαι σωστός γιατί κολλάω στην ιδιότητα $u^{q}=u$ όπως επίσης κολλούσα και στο να αποδείξω το βήμα που μου δείξατε.

Το βήμα 2) μπορεί να αποδειχθεί ως εξης

1 τρόπος
Θεωρησε την $h:F\rightarrow F$
με $h(a)=a^{p}$
Απέδειξε ότι η

είναι

οποτε αφού το

είναι πεπερασμένο είναι και επί

2 τρόπος
Είναι $q=p^{r}$
ετσι η
$u^{q}=u$
γράφεται
$\displaystyle{u^{p^{r}}=u}$
κλπ
Νομίζω ότι τώρα μπορείς να ολοκληρώσεις την απόδειξη.
Γράφτην για να είμαστε σίγουροι και για να μείνει για τους επόμενους.

Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Re: Πολυώνυμο στο $\mathbb{F}_{q}[X]$

Μέλη σε σύνδεση