Βασική Άλγεβρα - Διαιρετότητα

[Maidenas]

Την πρώτη συνεπαγωγή (==>) την έχω δειξει, παλεύω την αντίστροφη, αλλά δεν βγαίνει...


Δηλαδή ξεκίνησα λέγοντας:

Έστω οτι

Και έστω οτι δεν ισχύει , αλλά υποθέτουμε ότι

Τότε απο το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής τέτοιο ώστε
Για το d εξ'ορισμού έχουμε και και άρα το d θα διαιρεί και οποιονδήποτε γραμμικό συνδυασμό τους με ακέραιους συντελεστές.
Δηλαδή και άρα

Μέχρι εκεί το έχω φτάσει, υπάρχει καμία υποδειξη που μπορεί να με βοηθήσει;

[Mihalis_Lambrou]

Πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Θα δώσω μόνο υπόδειξη γιατί έτσι και αλλιώς η λύση είναι μισή γραμμή.

Έδειξες

Μέχρι εκεί το έχω φτάσει, υπάρχει καμία υποδειξη που μπορεί να με βοηθήσει;

Μπορείς άραγε να δείξεις και ότι ; Αν ναι, αναρωτήσου αν αυτό οδηγεί σε άτοπο.

[Maidenas]

Πωωω πραγματικά ήταν πολυ απλό!!! Καμιά φορά όταν το μυαλό κολλάει, αμα σου λένε οτι ειναι πολυ απλό βοηθάει πάρα πολύ!!

Αφου λοιπόν τότε και και άρα θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιό του, ειδικότερα .
Και εδώ έχουμε το παράδοξο ένας αριθμός που ειναι μεγαλύτερος ή ίσος του 2 ( o p) να διαιρεί δύο αριθμούς που ο μεγιστος κοινός διαιρέτης τους ειναι το 1. Άρα καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα τελικά μκδ(α,b)=1

Σας ευχαριστώ πολύ!!!

[Mihalis_Lambrou]

Πωωω πραγματικά ήταν πολυ απλό!!! Καμιά φορά όταν το μυαλό κολλάει, αμα σου λένε οτι ειναι πολυ απλό βοηθάει πάρα πολύ!!

Αφου λοιπόν τότε και και άρα θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιό του, ειδικότερα .
Και εδώ έχουμε το παράδοξο ένας αριθμός που ειναι μεγαλύτερος ή ίσος του 2 ( o p) να διαιρεί δύο αριθμούς που ο μεγιστος κοινός διαιρέτης τους ειναι το 1. Άρα καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα τελικά μκδ(α,b)=1

Σας ευχαριστώ πολύ!!!

Ωραία, αλλά η λύση σου έχει πάρα πολλά περιττά. Π.χ. το δεν χρειάζεται, ούτε χρειάζεται να πας με άτοπο. Ας δούμε ξανά την λύση σου με τα περιττά κομμένα:

Έστω οτι

Αν τότε και . Άρα και , οπότε και άρα . Τελειώσαμε!

[Maidenas]

Πράγματι.. Βγήκε σε 2 γραμμές!
Προτίμησα την ασφάλεια που μου παρείχε η πρώτη συνεπαγωγή την οποία την έλυσα με εις ατοπο απαγωγή.

Ευχαριστώ πολύ για την βοήθεια!

[Mihalis_Lambrou]

Προτίμησα την ασφάλεια που μου παρείχε η πρώτη συνεπαγωγή την οποία την έλυσα με εις ατοπο απαγωγή.

Ούτε εκεί χρειάζεται άτοπος απαγωγή. Ας το δούμε:

Έστω (δηλαδή είναι πρώτοι προς αλλήλους) και έστω και όπου πρώτος ή . Από την δεύτερη, και αφού οι είναι πρώτοι προς αλλήλους σημαίνει ότι ή . Χωρίς βλάβη , οπότε αφού θα έχουμε και ότι . Δηλαδή ο διαιρεί και τους δύο, οπότε .

Edit: Προσθήκη παράλειψης.

[bouzoukman]

Από την δεύτερη, και αφού οι είναι πρώτοι προς αλλήλους σημαίνει ότι ή .

Απλώς να αναφέρω ότι αυτό ισχύει μόνο όταν το είναι πρώτος.

[Mihalis_Lambrou]

Από την δεύτερη, και αφού οι είναι πρώτοι προς αλλήλους σημαίνει ότι ή .

Απλώς να αναφέρω ότι αυτό ισχύει μόνο όταν το είναι πρώτος.

Σωστά. Παράλειψή μου. Τώρα το διόρθωσα.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ