Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

#1

Έστω πίνακας $A\in{\cal{M}}_n(\mathbb{R})$ και ένα πολυώνυμο $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ βαθμού $\leqslant n$ με όλες τις ρίζες του να είναι απλές και διακριτοί πραγματικοί αριθμοί. Αν $p(A)=\mathbb{O}$ , τότε πάντοτε το p(x)

διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

;

Σημείωση: Δεν έχω λύση.

edit:10:30 Προστέθηκε η διευκρίνηση ότι αφού οι ρίζες του p(x)

είναι διακριτές, αυτές είναι απλές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 10:04 am
Έστω πίνακας $A\in{\cal{M}}_n(\mathbb{R})$ και ένα πολυώνυμο $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ βαθμού $\leqslant n$ με όλες τις ρίζες του να είναι απλές και διακριτοί πραγματικοί αριθμοί. Αν $p(A)=\mathbb{O}$ , τότε πάντοτε το διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ;

Σημείωση: Δεν έχω λύση.

edit:10:30 Προστέθηκε η διευκρίνηση ότι αφού οι ρίζες του είναι διακριτές, αυτές είναι απλές.

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.
Πάρε πίνακα με
$x_{A}(x)=(x-1)(x-2)^{5},m_{A}(x)=(x-1)(x-2)$
χαρακτηριστικό και ελάχιστο.
Αν
p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

τότε

και δεν διαιρεί το χαρακτηριστικό.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 12:01 pm

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.
Πάρε πίνακα με
$x_{A}(x)=(x-1)(x-2)^{5},m_{A}(x)=(x-1)(x-2)$
χαρακτηριστικό και ελάχιστο.
Αν

τότε
και δεν διαιρεί το χαρακτηριστικό.

Σταύρο, αυτό που ανέβασα ήταν μια προσπάθεια γενίκευσης. Ας δούμε και την παρακάτω περίπτωση:

$A\in{\cal{M}}_3(\mathbb{R})$ και για το p(x)=(x-1)(x+1)

ισχύει $p(A)=\mathbb{O}$ . Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

έχει οπωσδήποτε σαν ρίζες τους $\pm1$ ;

Σημείωση: Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός του πολυωνύμου p(x)

είναι

. Μπορούμε να γενικεύσουμε για οποιαδήποτε διάσταση; Δηλαδή

Έστω πίνακας $A\in{\cal{M}}_n(\mathbb{R})$ και ένα πολυώνυμο $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ βαθμού n-1

με όλες τις n-1

ρίζες του να είναι διακριτοί πραγματικοί αριθμοί. Αν $p(A)=\mathbb{O}$ , τότε πάντοτε το p(x)

διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 12:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 05, 2021 12:01 pm

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.
Πάρε πίνακα με
$x_{A}(x)=(x-1)(x-2)^{5},m_{A}(x)=(x-1)(x-2)$
χαρακτηριστικό και ελάχιστο.
Αν

τότε
και δεν διαιρεί το χαρακτηριστικό.
Σταύρο, αυτό που ανέβασα ήταν μια προσπάθεια γενίκευσης. Ας δούμε και την παρακάτω περίπτωση:

$A\in{\cal{M}}_3(\mathbb{R})$ και για το ισχύει $p(A)=\mathbb{O}$ . Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του έχει οπωσδήποτε σαν ρίζες τους $\pm1$ ;

Σημείωση: Σε αυτήν την περίπτωση ο βαθμός του πολυωνύμου είναι . Μπορούμε να γενικεύσουμε για οποιαδήποτε διάσταση; Δηλαδή

Έστω πίνακας $A\in{\cal{M}}_n(\mathbb{R})$ και ένα πολυώνυμο $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ βαθμού με όλες τις ρίζες του να είναι διακριτοί πραγματικοί αριθμοί. Αν $p(A)=\mathbb{O}$ , τότε πάντοτε το διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ;

Πάλι η απάντηση είναι όχι.
Πάρε A=I

και

Εκείνο που μπορούμε να πούμε είναι
1)το ελάχιστο διαιρεί το p(x)

2)Αν το

είναι του ελαχίστου βαθμού με αυτή την ιδιότητα τότε είναι το ελάχιστο
και προφανώς διαιρεί το χαρακτηριστικό.

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

Re: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

Re: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

Re: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα

Μέλη σε σύνδεση