Μία με norm

#1

Με αφορμή το αντιπαράδειγμα του Βαγγέλη εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewt ... =9&t=72870.

Έστω $V=\mathbb{R}^{n}$ και $\left\| .\right\|$ μία στάθμη (norm) του

. Έστω $T: V \rightarrow V$ γραμμικός μετασχηματισμός. 'Εστω η απεικόνιση
$\left\| .\right\| _{T}:V\rightarrow \mathbb{R}$ με $\left\| v\right\| _{T}=\left\| T\left( v\right) \right\|$ για όλα τα $v\in V$ .
Υπό ποιές προϋποθέσεις η $\left\| .\right\| _{T}$ είναι στάθμη;

#2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 18, 2022 2:50 am
Με αφορμή το αντιπαράδειγμα του Βαγγέλη εδώ
https://www.mathematica.gr/forum/viewt ... =9&t=72870.

Έστω $V=\mathbb{R}^{n}$ και $\left\| .\right\|$ μία στάθμη (norm) του . Έστω $T: V \rightarrow V$ γραμμικός μετασχηματισμός. 'Εστω η απεικόνιση
$\left\| .\right\| _{T}:V\rightarrow \mathbb{R}$ με $\left\| v\right\| _{T}=\left\| T\left( v\right) \right\|$ για όλα τα $v\in V$ .
Υπό ποιές προϋποθέσεις η $\left\| .\right\| _{T}$ είναι στάθμη;

α) Η τριγωνική ανισότητα ισχύει χωρίς προϋποθέσεις αφού $\displaystyle{\left \|v\right \|_T= \left\| T\left( v\right) \right\| \ge 0}$ .

β) To ίδιο και υπογραμμικότητα της νόρμας, με χρήση της γραμμικότητας της

:

$\displaystyle{\left \|\lambda v\right \|_T= \left \|T(\lambda v)\right \|=\left \|\lambda (Tv)\right \|= |\lambda |\left \|Tv\right \|= |\lambda ||\left \|v\right \|_T}$

γ) Η θετικότητα άμμεση. Αλλά θέλουμε ακόμα μόνο το

να έχει νόρμα

. Το λοιπόν

$\left \| v \riight \|_T =0 \Leftrightarrow \left (\left \| Tv \right \| = 0 \right )\Leftrightarrow \left ( T(v)=0 \right ) \Leftrightarrow \left ( T(v)=T(0) \right )$

Αν λοιπόν αυτό ισοδυναμεί με το v=0

, έχουμε ότι η

είναι 1-1, και αντίστροφα.

Με άλλα λόγια, η συνθήκη για να είναι νόρμα η $\left\| .\right\| _{T}$ είναι η (γραμμική)

είναι να είναι 1-1

.

Μία με norm

Μία με norm

Re: Μία με norm

Μέλη σε σύνδεση