Ομάδα_01

#1

Έστω μιά ομάδα $({G,\,\ast})$ και $x\in{G}$ ένα συγκεκριμένο στοιχείο της, διάφορο τού ουδετέρου στοιχείου.

$\alpha)$ Να αποδειχθεί ότι η αντιστοιχία $\oplus:G\times{G}\longrightarrow{G}\,,\quad({a,b})\longmapsto{a}\oplus{b}:={a\ast{x}\ast{b}}$ ,
ορίζει μιά καλώς ορισμένη πράξη επί τού

καί ότι τό ζεύγος $({G,\,\oplus})$ είναι ομάδα.

$\beta)$ Νά αποδειχθεί ότι η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή ομάδα, άν καί μόνο άν, η ομάδα $({G,\,\ast})$ είναι αβελιανή.

manos1992 · #2

Μια προσέγγιση για το α)

Με συγχωρείτε σε περίπτωση λάθους γιατί είμαι καινούριος στον τομέα.

Η πράξη $\oplus$ είναι καλώς ορισμένη αφού αν υπήρχαν $c,d\in G$ ώστε

$(a\oplus b=c)\wedge (a\oplus b=d)\Rightarrow (a*x*b=c)\wedge (a*x*b=d)$ που είναι άτοπο διότι η

είναι καλώς ορισμένη επί του

Tώρα έχουμε $(a\oplus b)\oplus c=(a*x*b)*x*c=a*x*(b*x*c)=a\oplus (b\oplus c)$ αφού η

είναι προσετεριστική..

Ακόμη αφού η (G,*)

είναι ομάδα και το

συγγεκριμένο οριζεται ο αντίστροφός του έστω

Ετσι $a\oplus x'=a*x*x'=a*e=a$ όπου

το ουδέτερο στοιχείο της

άρα το

είναι ουδετερο στοιχείο της $\oplus$

Η

είναι εσωτερική πράξη επί του

άρα $x'*a'*x':=a''\in G$ και ο

ορίζεται αφού η (G,*)

είναι ομάδα

Ετσι $a\oplus a''=a*x*a''=a*x*(x'*a'*x')=a*(x*x')*(a'*x')=(a*e)*(a'*x')=(a*a')*x'=e*x'=x'$

άρα πράγματι ο a''

είναι ο αντίστροφος του

ως προς την $\oplus$ και το ουδετερο στοιχείο..

Βασει των ανωτέρω η δομή $(G,\oplus)$ είναι ομάδα..

Μόλις βρω χρόνο θα γράψω και το β) αν δεν έχει απαντηθεί μέχρι τότε.

#3

Μάνο, πολύ ωραία και αναλυτικά. Νομίζω όμως πως λείπει κάτι. Έχεις δείξει πως το

είναι «δεξιά ουδέτερο», δηλαδή $a \oplus x' = a$ για κάθε $a \in G$ . Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά ουδέτερο. Το ίδιο και με το αντίστροφο στοιχείο. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά αντίστροφο. Οι πράξεις είναι ουσιαστικά οι ίδιες.

#4

Γενικά ισχύει ότι το αριστερό ταυτοτικό στοιχείο είναι και δεξί ταυτοτικό στοιχείο, και το αριστερό αντίστροφο είναι και δεξί αντίστροφο (και ανάποδα).

Η ύπαρξη ταυτοτικού και ουδετέρου στα αξιώματα της ομάδας μπορούν να αντικατασταθούν από την ύπαρξη αριστερού ταυτοτικού και αριστερού ουδετέρου (αντίστοιχα δεξιού).

manos1992 · #5

Demetres έγραψε:Μάνο, πολύ ωραία και αναλυτικά. Νομίζω όμως πως λείπει κάτι. Έχεις δείξει πως το x' είναι «δεξιά ουδέτερο», δηλαδή a \oplus x' = a για κάθε a \in G. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά ουδέτερο. Το ίδιο και με το αντίστροφο στοιχείο. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά αντίστροφο. Οι πράξεις είναι ουσιαστικά οι ίδιες.
Μάνο, πολύ ωραία και αναλυτικά. Νομίζω όμως πως λείπει κάτι. Έχεις δείξει πως το είναι «δεξιά ουδέτερο», δηλαδή $a \oplus x' = a$ για κάθε $a \in G$ . Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά ουδέτερο. Το ίδιο και με το αντίστροφο στοιχείο. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά αντίστροφο. Οι πράξεις είναι ουσιαστικά οι ίδιες.

Δημήτρη έχεις απόλυτο δίκιο!ξεχάστηκα εντελώς και ενώ είχα σκοπό να γράψω ομοίως, αφού πράγματι είναι ίδιες πράξεις, τελικά δεν το κανα...Σ' ευχαριστώ πάντως για την παρέμβαση!

manos1992 · #6

Δίνω και την προσέγγισή μου στο β)

Ελπίζω να ναι σωστή γιατί έχω ένα θέμα ως προς την ορθότητα της απόδειξης της αντίστροφης πρότασης!

Αν η (G,*)

είναι αβελιανή τότε ισχύει $a*b=b*a \forall a,b\in G$

οπότε $a\oplus b=(a*x)*b=b*(a*x)=b*x*a=b\oplus a$ άρα η $(G,\oplus)$ είναι αβελιανή.

Αν η $(G,\oplus)$ είναι αβελιανή τότε ισχύει $a\oplus b=b\oplus a \forall a,b\in G$

Eτσι Θέτω c=a*x,d=b*x

,προφανώς $c,d\in G$

έτσι έχουμε $a*x*b=b*x*a\Rightarrow a*x*b*x=b*x*a*x\Rightarrow c*d=d*c$ , άρα η (G,*)

είναι αβελιανή

#7

manos1992 έγραψε:Δίνω και την προσέγγισή μου στο β)

Ελπίζω να ναι σωστή γιατί έχω ένα θέμα ως προς την ορθότητα της απόδειξης της αντίστροφης πρότασης!........

Αν η $(G,\oplus)$ είναι αβελιανή τότε ισχύει ${\color{dgreen}a\oplus b=b\oplus a} \forall a,b\in G$

Eτσι Θέτω ,προφανώς $c,d\in G$

έτσι έχουμε $a*x*b=b*x*a\Rightarrow a*x*b*x=b*x*a*x\Rightarrow{\color{dgreen} c*d=d*c}$ , άρα η είναι αβελιανή

Μάνο σωστά διαισθάνθηκες ότι μπορεί νά υπάρχει πρόβλημα μέ τό αντίστροφο. Από τό $a\oplus b=b\oplus a$ , θά έπρεπε νά καταλήξουμε στό $a\ast b=b\ast a$ .

Υ.Γ. Δέν δίνω ακόμα τήν λύση πού έχω βρεί, γιά τήν περίπτωση πού κάποιος θέλει νά προσπαθήσει κι άλλο.

#8

Δίνω παρακάτω καί τήν δική μου λύση:

Η $({G,\,\ast})$ είναι ομάδα (1) και $x\in{G}$ ένα συγκεκριμένο στοιχείο της.

$\oplus:G\times{G}\longrightarrow{G}\,,\quad({a,b})\longmapsto{a}\oplus{b}:=a\ast{x}\ast{b}$ .

$\alpha)$ Γιά κάθε $a,b\in{G}$ ισχύει ${a}\oplus{b}=a\ast{x}\ast{b}\stackrel{(1)}{\in}G$ .

Γιά κάθε $a,b,c\in{G}$ ισχύει $({{a}\oplus{b}})\oplus{c}=({a\ast{x}\ast{b}})\oplus{c}=({a\ast{x}\ast{b}})\ast{x}\ast{c}\stackrel{(1)}{=}a\ast{x}\ast({{b}\ast{x}\ast{c}})=$
$a\ast{x}\ast({{b}\oplus{c}})={a}\oplus({{b}\oplus{c}})$ .

Άν, ώς πρός τήν πράξη $\ast$ ,

είναι τό ουδέτερο στοιχείο καί $x^{-1}$ τό αντίστροφο στοιχείο τού

τότε, γιά κάθε $a\in{G}$ , ισχύει ${a}\oplus{x^{-1}}=a\ast{x}\ast{x^{-1}}\stackrel{(1)}{=}a\ast{e}\stackrel{(1)}{=}a$ , αλλά καί ${x^{-1}}\oplus{a}={x^{-1}}\ast{x}\ast{a}\stackrel{(1)}{=}e\ast{a}\stackrel{(1)}{=}a$ . Επομένως τό ουδέτερο στοιχείο τής

ώς πρός τήν πράξη $\oplus$ είναι τό $x^{-1}$ .

Άν γιά $a,b\in{G}$ ισχύει ${a}\oplus{b}=x^{-1}$ , τότε $a\ast{x}\ast{b}=x^{-1}\quad\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow}\quad{a}^{-1}\ast{a}\ast{x}\ast{b}=a^{-1}\ast{x^{-1}}\quad\Leftrightarrow\quad{e}\ast{x}\ast{b}=a^{-1}\ast{x^{-1}}\quad\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow}$
${x}\ast{b}=a^{-1}\ast{x^{-1}}\quad\stackrel{(1)}{\Leftrightarrow}\quad{x^{-1}}\ast{x}\ast{b}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}\quad\Leftrightarrow$
${e}\ast{b}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}\quad\Leftrightarrow\quad{b}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}$ .
Επίσης $b\oplus{a}=({{x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}})\oplus{a}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}\ast{x}\ast{a}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{e}\ast{a}=$
${x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{a}={x^{-1}}\ast{e}=x^{-1}$ .
Επομένως γιά κάθε $a\in{G}$ , τό αντίστροφο στοιχείο τού

, ώς πρός τήν πράξη $\oplus$ , είναι τό ${x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}$ .

Ή ισοδύναμα: Άν γιά κάθε $a\in{G}$ , τό αντίστροφο στοιχείο τού

, ώς πρός τήν πράξη $\ast$ είναι τό $a^{-1}$ , τότε
${a}\oplus({{x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}})=a\ast{x}\ast{x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}=a\ast{e}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}=a\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}=$
${e}\ast{x^{-1}}=x^{-1}$ , αλλά καί $({{x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}})\oplus{a}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}\ast{x}\ast{a}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{e}\ast{a}={x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{a}=$
${x^{-1}}\ast{e}=x^{-1}$ . Επομένως γιά κάθε $a\in{G}$ , τό αντίστροφο στοιχείο τού

, ώς πρός τήν πράξη $\oplus$ , είναι τό ${x^{-1}}\ast{a^{-1}}\ast{x^{-1}}$ .

Από τά παραπάνω προκύπτει ότι τό ζεύγος $({G,\,\oplus})$ είναι ομάδα $.\quad\square$

$\beta)$ (( $\Leftarrow$ )) Έστω ότι η ομάδα $({G,\,\ast})$ είναι αβελιανή (2). Τότε, γιά κάθε $a,b\in{G}$ ισχύει ${a}\oplus{b}=a\ast{x}\ast{b}\stackrel{(2)}{=}x\ast{a}\ast{b}\stackrel{(2)}{=}x\ast{b}\ast{a}\stackrel{(2)}{=}b\ast{x}\ast{a}={b}\oplus{a}\,.$
Άρα η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή.
(( $\Rightarrow$ )) Έστω ότι η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή. Τότε, γιά κάθε $a,b\in{G}$ ισχύει
$({a\ast{x^{-1}}})\oplus({b\ast{x^{-1}}})=({b\ast{x^{-1}}})\oplus({a\ast{x^{-1}}})\quad\Rightarrow$
$({a\ast{x^{-1}}})\ast{x}\ast({b\ast{x^{-1}}})=({b\ast{x}^{-1}})\ast{x}\ast({a\ast{x}^{-1}})\quad\Rightarrow$
${a}\ast({{x}^{-1}\ast{x}})\ast{b}\ast{x}^{-1}={b}\ast({{x}^{-1}\ast{x}})\ast{a}\ast{x}^{-1}\quad\Rightarrow$
${a}\ast{e}\ast{b}\ast{x}^{-1}={b}\ast{e}\ast{a}\ast{x}^{-1}\quad\Rightarrow\quad{a}\ast{b}\ast{x}^{-1}\ast{x}={b}\ast{a}\ast{x}^{-1}\ast{x}\quad\Rightarrow$
${a}\ast{b}\ast{e}={b}\ast{a}\ast{e}\quad\Rightarrow\quad{a}\ast{b}={b}\ast{a}$ .
Άρα η ομάδα $({G,\,\ast})$ είναι αβελιανή $.\quad\square$

#9

Να προσθέσω ακόμη ένα ερώτημα:

Να δειχθεί ότι οι ομάδες $(G,\ast)$ και $(G,\oplus)$ είναι ισόμορφες.

manos1992 · #10

Κύριε Γρηγόρη αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα στη λύση μου είναι ότι ενώ εξαρτώνται τα c,d από τα a,b αντίστοιχα, πιθανώς τα c,d να μη διατρέχουν όλο το G...
Πως ξέρετε όμως ότι τα $a*x^{-1},b*x^{-1}$ διατρεχουν όλο το G με την ίδια λογική;;

Εννοώ ότι μου είπατε ότι θα πρεπε να ξεκινήσω από τη σχέση αντιμεταθετικότητας με a,b για την $\oplus$ και να τελειώσω με a,b για την

πράγμα που δεν κάνατε ούτε κι εσείς!

Εκτός αν δε βλέπω κάτι ή έχω κάνει κάποιο λάθος..

#11

manos1992 έγραψε:Κύριε Γρηγόρη αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα στη λύση μου είναι ότι ενώ εξαρτώνται τα c,d από τα a,b αντίστοιχα, πιθανώς τα c,d να μη διατρέχουν όλο το G...
Πως ξέρετε όμως ότι τα $a*x^{-1},b*x^{-1}$ διατρεχουν όλο το G με την ίδια λογική;;

Εννοώ ότι μου είπατε ότι θα πρεπε να ξεκινήσω από τη σχέση αντιμεταθετικότητας με a,b για την $\oplus$ και να τελειώσω με a,b για την πράγμα που δεν κάνατε ούτε κι εσείς!

Εκτός αν δε βλέπω κάτι ή έχω κάνει κάποιο λάθος..

Μάνο,

ασχέτως άν τά $a\ast{x}^{-1}$ , $b\ast{x}^{-1}$ διατρέχουν τήν

ή όχι, τά

, τό κάνουν, αφού είναι αυθαίρετα (δέν έχουν περιορισμούς). Πιό συγκεκριμένα:

H πρόταση (πού απέδειξα) είναι η:
Άν η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή, τότε, γιά κάθε $a,b\in{G}$ , ισχύει $a\ast{b}={b}\ast{a}$ , δηλαδή $({G,\,\ast})$ αβελιανή.

Εσύ στήν λύση σου ουσιαστικά απέδειξες ότι:
Άν η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή, τότε, γιά κάθε $a,b\in{G}$ , ισχύει $a\ast{x}\ast{b}\ast{x}=b\ast{x}\ast{a}\ast{x}$ ,
πού δέν είναι τό ίδιο!

Επίσης η πρόταση: Άν η ομάδα $({G,\,\oplus})$ είναι αβελιανή, τότε, γιά κάθε $a,b\in{G}$ , ισχύει $c\ast{d}=d\ast{c}$ , όπου $c=a\ast{x}$ , $d=b\ast{x}$ ,
είναι, προβληματική, αφού τά $c=a\ast{x}$ , $d=b\ast{x}$ , δέν είναι δεδομένο ότι διατρέχουν όλο τό

!

Ελπίζω τώρα νά έγινα κατανοητός.

Ένα τελευταίο: Στό mathematica έχουμε υιοθετήσει -καί ορθότατα- τόν ενικό μεταξύ μας.

Φιλικά

manos1992 · #12

Οκ! στον ενικό λοιπόν!

Γρηγόρη έγινες απόλυτα κατανοητός! Αρκετά διδακτικό το λάθος μου...
Στο μέλλον θα 'μαι πιο προσεκτικός. Ευχαριστώ πολύ για τη διασαφήνιση της κατάστασης και τη διδακτική παρέμβαση!

#13

Demetres έγραψε:Να προσθέσω ακόμη ένα ερώτημα:

Να δειχθεί ότι οι ομάδες $(G,\ast)$ και $(G,\oplus)$ είναι ισόμορφες.

Η απεικόνιση $\phi:({G,\,\ast})\longrightarrow({G,\,\oplus})$ , $\phi({a})=x^{-1}\ast{a}$ , είναι ισομορφισμός.

Πράγματι, για κάθε $a,b\in{G}$ , ισχύει $\phi({a})\oplus\phi({b})=\phi({a})\ast{x}\ast\phi({b})=({x^{-1}\ast{a}})\ast{x}\ast({x^{-1}\ast{b}})=$
$x^{-1}\ast{a}\ast({{x}\ast{x}^{-1}})\ast{b}=x^{-1}\ast{a}\ast{e}\ast{b}=x^{-1}\ast{a}\ast{b}=\phi({a\ast{b}})$ .
Άρα η $\phi$ είναι ενδομορφισμός.
Επίσης, επειδή $\ker\phi=\left\{{a\in{G}\,|\,\phi({a})=x^{-1}}\right\}=^{\dagger}$ $\left\{{a\in{G}\,|\,x^{-1}\ast{a}=x^{-1}}\right\}=\left\{{a\in{G}\,|\,a=e}\right\}=$
$\{{e}\}$ , έπεται ότι η $\phi$ είναι μονομορφισμός.
Αλλά ένας ενδομορφισμός που είναι επί είναι ισομορφισμός.
Άρα οι ομάδες $({G,\,\ast})$ και $({G,\,\oplus})$ είναι ισόμορφες $,\quad\square$

$({\dagger})$ το στοιχείο $x^{-1}$ είναι το ουδέτερο τής $({G,\,\oplus})$

Ομάδα_01

Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Re: Ομάδα_01

Μέλη σε σύνδεση