Γενικός όρος

Broly · #1

Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας : 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...

Tolis97 · #2

Έστω

η ακολουθία μας. Τότε πριν το a_n

θα υπάρχουν τουλάχιστον 1+2+3+...+(a_n-1)

όροι, όμως αυτοί θα είναι το πολύ n-1

. Άρα $\dfrac{(a_n-1)a_n}{2} \leq n-1 \Leftrightarrow a_n^2 - a_n - (2n-2) \leq 0 \ (1)$ .

Όμως το τριώνυμο x^2-x-(2n-2)

έχει ρίζες $x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{8n-7}}{2}$ . Άρα λόγω της (1)

θα είναι $a_n \in \{x_1, x_2 \}$ . Όμως ο a_n

είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που ικανοποιεί την ανισότητα οπότε θα είναι $a_n = \left[\dfrac{1 + \sqrt{8n-7}}{2}\right]$