Ανισότητα με x,y,z.

#1

Αν $\displaystyle{x,y,z>0}$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2\Big[\sqrt{xy(x+z)(y+z)}+\sqrt{yz(y+x)(z+x)}+\sqrt{zx(y+z)(y+x)}\Big]}$ .

G.Bas · #2

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{x,y,z>0}$ , να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2\Big[\sqrt{xy(x+z)(y+z)}+\sqrt{yz(y+x)(z+x)}+\sqrt{zx(y+z)(y+x)}\Big]}$ .

Θέτοντας

η ανισότητα παίρνει τη μορφή

$\displaystyle a^4+b^4+c^4+3abc\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geq 2\sum ab\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}$

Απο CS και AM-GM έχουμε ότι

$\displaystyle \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c$ και $\displaystyle 2\sum ab\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\leq \sum ab(a^2+b^2+2c^2)$

Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle a^4+b^4+c^4+3abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^2+b^2+2c^2)$

ή

$\displaystyle a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^2+b^2)$ όπου ισχύει απο Schur $\square$

Ανισότητα με x,y,z.

Ανισότητα με x,y,z.

Re: Ανισότητα με x,y,z.

Μέλη σε σύνδεση