Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Γιώτα · #101

Μια άλλη σκέψη για την 51:

Το τετράγωνο ενός ακεραίου τελειώνει πάντα σε 0,1,4,5,6,9 oπότε υψωμένο πάλι στο τετράγωνο( $(\alpha ^2)^2=\alpha ^4$ ) έχει ως πιθανά τελευταία ψηφία το 0,1,5,6. Άρα:
$\tau (n^4)=(0,1,5,6)$
$\tau (2n^4)=(0,2)$
$\tau (2n^4+5)=(5,7)$

$\tau (m^4)=(0,1,5,6)$
$\tau (2m^4)=(0,2)$
$\tau (2m^4+3)=(3,5)$

Για να σχηματίσω την διαφορά των δυο παραστάσεων που είναι 2 (δηλ. το τελευταίο ψηφίο της είναι 2) εξετάζω όλα τις πιθανές περιπτώσεις των παραπάνω τελευταίων ψηφίων και καταλήγω ότι οι πιθανές περιπτώσεις είναι δυο.

1η περίπτωση
$\tau(5)-\tau(3)=2$ άρα $\tau (2n^4+5)=5$ πρέπει αναγκαστικά το 2n^4+5=5

καθώς ο μόνος πρώτος αριθμός που τελειώνει σε 5 είναι το 5. Άρα 2n^4+5=5

άρα

που είναι άτοπο καθώς ο

είναι φυσικός
2η περίπτωση
$\tau(7)-\tau(5)=2$ άρα $\tau (2m^4+3)=5$ όπως και παραπάνω πρέπει αναγκαστικά το 2m^4+3=5

άρα

Αφού το

το $2n^4+5=7\Rightarrow n=1$
Άρα m=n=1

Οπότε ως συμπέρασμα έχουμε οτι ο μόνος πρώτος αριθμός που τελειώνει σε 5 είναι το 5.

#102

Γιώτα, πάρα πολύ απλή η λύση που παρέθεσες και σου δίνω και πάλι συγχαρητήρια.
Να γράψω μόνο για τον συμβολισμό π.χ $\tau (n^{4})=$ (0,1,5,6)

διαβάζεται:

"Το τελευταίο ψηφίο του $n^{4}$ είναι 0 ή 1 ή 5 ή 6 "

#103

Ας δούμε την λύση της άσκησης 45 (που είχε προταθεί από τον Παναγιώτη Λώλα) και έλεγε ότι:

Αν a,b,c είναι πλευρές τριγώνου και x,y,z είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε να αποδειχθεί ότι: $a^{2}(x-y)(x-z)+b^{2}(y-z)(y-x)+c^{2}(z-x)(z-y)\geq 0$

Προτού δώσουμε μια λύση, είναι χρήσιμο να αποδείξουμε μια ανισότητα (που καλό είναι να απομνημονευθεί)

Αν κ,μ πραγματικοί αριθμοί και λ,ν θετικοί, τότε ισχύει:

$\frac{\kappa ^{2}}{\lambda }+\frac{\mu ^{2}}{\nu }\geq \frac{(\kappa +\mu )^{2}}{\lambda +\nu }$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Επειδή τα λ,ν είναι θετικοί αριθμοί, άρα το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι λ.ν.(λ+ν) θα είναι θετικός αριθμός. Οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της άνισότητας που ζητάμε να αποδείξουμε με το ΕΚΠ και έτσι ισοδύναμα, αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\nu (\lambda +\nu )\kappa ^{2}+\lambda (\lambda +\nu )\mu ^{2}\geq \lambda\nu (\kappa +\mu )^{2}\Leftrightarrow \nu \lambda \kappa ^{2}+\nu ^{2}\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\mu ^{2}+\lambda \nu \mu ^{2}\geq \lambda \nu \kappa ^{2}+2\lambda \nu \kappa \mu +\lambda \nu \mu ^{2}\Leftrightarrow \nu ^{2}\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\mu ^{2}-2\lambda \nu \kappa \mu \geq 0\Leftrightarrow (\nu \kappa -\lambda\mu )^{2}\geq 0$ ,

πράγμα που είναι αληθές. Άρα αληθές είναι και το ζητούμενο.

Τώρα , θα οδηγήσουμε την άσκηση 45, στην προηγούμενη ανισότητα (που ήδη αποδείξαμε) Αρχικά, παρατηρούμε ότι αν ήταν x=y, τότε αρκεί να δείξουμε ότι $c^{2}(z-x)^{2}\geq 0,$ , που προφανώς αληθεύει (και μάλιστα η ισότητα ισχύει όταν z=x, δηλαδή τελικά όταν x=y=z).
Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε στο ζητούμενο και όταν είναι y=z ή z=y.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα x,y,z δεν είναι ίσα ανά δύο, αλλά άνισα. Και έστω ότι x>y>z.

Τότε είναι (x-y)(x-z)(y-z)>0.

Διαιρώντας τώρα τα μέλη της ανισότητας που ζητάμε να αποδείξουμε με το (x-y)(x-z)(y-z), έχουμε ισοδύναμα:

$\frac{a^{2}}{y-z}$

$\frac{b^{2}}{x-z}$ $+\frac{c^{2}}{x-y}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{y-z}+\frac{c^{2}}{x-y}\geq \frac{b^{2}}{x-z} (1)$

Όμως , από την (βοηθητική) ανισότητα που αποδείξαμε στην αρχή, έχουμε ότι:

$\frac{a^{2}}{y-z}+\frac{c^{2}}{x-y}\geq \frac{(a+c)^{2}}{x-z}\geq \frac{b^{2}}{x-z}$

(χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα)

Άρα η σχέση (1) αποδείχθηκε, οπότε αποδείχθηκε και η αρχικά ζητούμενη.

Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να αποδείξουμε το ζητούμενο και στις περιπτώσεις που είναι x<z<y , y<x<z, κλπ...

sokratis lyras · #104

ΑΣΚΗΣΗ 53
Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που απέχει εξήντα πηδήματα από αυτόν.Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κάνει έξι πηδήματα.
Αλλά τρία πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς.Μετά από πόσα πηδήματα θα φτάσει ο σκύλος την αλεπού?

komi · #105

sokratis lyras έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 53
Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που απέχει εξήντα πηδήματα από αυτόν.Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κάνει έξι πηδήματα.Αλλά τρία πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς.Μετά από πόσα πηδήματα θα φτάσει ο σκύλος την αλεπού?

Έστω

τα βήματα τα οποία θα φτάσει ο σκύλος την αλεπού.Αλλά τότε η αλεπού θα έχει κάνει $\displaystyle{60+ \frac{9}{6}\cdot y}$ πηδηματάκια.
Αφού

της αλεπούς είναι

του σκύλου τότε

της αλεπούς είναι $\displaystyle{\frac{3}{7}}$ του σκύλου.

Και άρα $\displaystyle{(60+\frac{9}{6}\cdot y)}$ της αλεπούς είναι $\displaystyle{\frac{3}{7}\cdot(60+\frac{9}{6}\cdot y)}$ του σκύλου.

Συνεπώς $\displaystyle{\frac{3}{7}\cdot(60+\frac{9}{6}\cdot y)=y \rightarrow y=72}$ πηδηματάκια.

sokratis lyras · #106

komi πολύ σωστά!!!

ΑΣΚΗΣΗ 54
Έστω

πραγματικός αριθμός.Αν οι αριθμοί x^3+x

και

είναι ρητοί, να αποδειχθεί ότι ο

είναι ρητός.

#107

Θα δούμε μια λύση στην ενδιαφέρουσα Ασκηση 52 που πρότεινε ο socrates.
Εκείνο που θα μας χρειαστεί είναι το εξής:

|x|=x , αν ο x είναι θετικός αριθμός ή μηδέν και |x|= - x , αν ο x είναι αρνητικός αριθμός.

Παράδειγμα: |5+7+8|=5+7+8 ενώ |-5+(-7)+(-8)|= - [-5+(-7)+(-8)]=-(-5)-(-7)-(-8)
και |7-9+6-10|=-(7-9+6-10)

Η Άσκηση 52 ήταν η εξης:

Αν $x_{1},x_{2},x_{3}, ...,x_{n}$ είναι ακέραιοι και αν $\left|x_{1} \right|+\left|x_{2} \right|+...+\left|x_{n} \right|-\left|x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right|=2$ , να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους πιο πάνω ακέραιους είναι ίσος με 1 ή με -1.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί (που μας έχει δώσει η εκφώνιση) ήταν θετικοί, τότε θα ήταν και $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}>0$

Άρα θα είχαμε ότι: $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}-\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right)=2\Rightarrow 0=2$

πράγμα άτοπο.

Αν πάλι όλοι ήταν αρνητικοί, τότε θα ήταν και $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}<0$

Άρα θα είχαμε ότι: $-x_{1}-x_{2}-...-x_{n}-\left[-\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right) \right]=2\Rightarrow 0=2$ που και πάλι είναι άτοπο.

Άρα κάποιοι από τους $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ θα είναι θετικοί ή μηδέν και κάποιοι αρνητικοί.

Έστω λοιπόν ότι οι ακέραιοι $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ είναι θετικοί ή μηδέν και οι ακέραιοι $x_{k+1},x_{k+2},...,x_{n}$ είναι αρνητικοί (δεν βλάπτει την γενικότητα αυτό που θεωρήσαμε)

Τότε η δομένη σχέση γράφεται:

$x_{1}+x_{2}+...+x_{k}-x_{k+1}-x_{k+2}-...-x_{n}-\left|x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{n} \right|=2\Rightarrow \left(x_{1}+x_{2}+...+x_{k} \right)-\left(x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{n} \right)-\left|\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{k} \right)+\left(x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{n} \right) \right|=2$ (*)

Για ευκολία, ας θέσουμε $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=F\geq 0$

$x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{n}=R<0$

Τότε η σχέση (*) γράφεται:

$F-R-\left|F+R \right|=2$ (1)

Διακρίνουμε τώρα 3 περιπτώσεις:

1η περίπτωση:: F+R=0 Τότε από την σχέση (1) έχουμε F-R=2 και με πρόσθεση κατά μέλη αυτών των σχέσεων βρίσκουμε 2F=2 και άρα F=1, οπότε προκύπτει ότι R=-1.

Άρα $x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{n}=-1$ και αφού οι αριθμοί αυτοί είναι ακέραιοι και αρνητικοί , θα πρέπει τουλάχιστον ένας από αυτούς να ισούται με -1 (αλλιώς το άθροισμά τους θα ήταν <-1 , πράγμα άτοπο)

2η περίπτωση:: F+R>0. Τότε από την σχέση (1) έχουμε: F-R-(F+R)=2 και άρα

-2R=2 άρα R=-1 οπότε πάλι όπως και στην 1η περίπτωση, έχουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους ακέραιους ισούται με το -1.

3η περίπτωση:: F+R<0. Τότε από την σχέση (1) έχουμε: F-R-[-(F+R)]=2 και άρα

F-R+F+R=2 οπότε F=1.

Δηλαδή $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=1$ και αφού οι ακέραιοι αυτοί είναι θετικοί ή μηδέν, τότε αν όλοι ήταν διάφοροι της μονάδας, το άθροισμάτους θα ήταν ή μηδέν ή μεγαλύτερο του 2, πράγμα άτοπο. Άρα ένας τουλάχιστον από αυτούς θα ισούται με την μονάδα.

Από τις παραπάνω περιπτώσεις, συμπεραίνουμε΄το ζητούμενο.

#108

Πολύ διδακτική είναι και η Ασκηση 54 που έχει προτείνει ο sokratis lyras

(Είναι η αμέσως προηγούμενη)

Για να την λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο ότι : Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο ρητών, είναι ρητός (αρκεί στο πηλίκο, ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός)

Προτείνω, να ξεκινήσετε ως εξής:

Έστω

$x^{3}+x=k (1) x^{2}+2x=r$ (2)

όπου k,r είναι ρητοί αριθμοί.

Λύστε τώρα την σχέση (2) ως προς $x^{2}$ και αντικαταστείστε στην (1) με τελικό σκοπό να βρείτε το x....

Πιστεύω, ότι όσοι ασχοληθούν θα τα καταφέρουν (και θα έχουν μάθει αρκετά)

#109

Με αφορμή την Ασκηση 51 που έχει τεθεί από τον socrates και έχει λυθεί από τον Φερμά-96,
θα πρέπει να εξηγήσουμε το γιατί κάθε φυσικός αριθμός όταν υψωθεί εις την τετάρτη και ύστερα διαιρεθεί με το 5, αφήνει πάντα υπόλοιπο ή μηδέν ή 1 (μου ζητήθηκε να το εξηγήσουμε από κάποιους μαθητές γυμνασίου).

Έστω λοιπόν ένας φυσικός αριθμός m. Αν κάνουμε την διαίρεση του m με το 5 θα βρούμε πηλίκο τον φυσικό αριθμό k και υπόλοιπο τον αριθμό u όπου το u παίρνει τις τιμές 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4.

Επειδή "Ο διαιρετέος ισούται με τον διαιρέτη επί το πηλίκο συν το υπόλοιπο", θα έχουμε:

m=5k+u

Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις:

1η περίπτωση: u=0

Τότε m=5k. Άρα $m^{4}=625k^{4}=$ πολλαπλάσιο του 5.

Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση του $m^{4}$ με το 5 δίνει υπόλοιπο μηδέν

2η περίπτωση : u=1

Τότε m=5k+1

Άρα $m^{2}=25k^{2}+10k+1=5(5k^{2}+2k)+1$ =πολλαπλάσιο του 5 +1

Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση του $m^{2}$ με το 5 δίνει υπόλοιπο 1.

Άρα

$m^{2}=5a+1\Rightarrow m^{4}=(5a+1)^{2}\Rightarrow m^{4}=25a^{2}+10a+1=5(5a^{2}+2a)+1$ =πολ/σιο του 5 +1

Αυτό σημαίνει ότι η διαίρεση του $m^{4}$ με το 5 δίνει υπόλοιπο 1

3η περίπτωση: u=2

Τότε m=5k+2

Άρα $m^{2}=25k^{2}+20k+4=5(5k^{2}+4k)+4$

Αυτό σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $m^{2}$ με το 5 δίνει υπόλοιπο 4

Άρα $m^{2}=5b+4\Rightarrow m^{4}=25b^{2}+40b+16=25b^{2}+40b+15+1=5(5b^{2}+8b+3)+1$ =

=πολ/σιο του 5 + 1

Αυτό πάλι σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $m^{4}$ με το 5 δίνει υπόλοιπο 1

Όμοια και στις υπόλοιπες δύο περιπτώσεις , καταλήγουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $m^{4}$ με το 5 έίναι το 1.

#110

Μετά από τα σχετικά δυσκολούτσικα θέματα που μπήκαν τις τελευταίεες ημέρες, ας χαλαρώσουμε λιγάκι με τα δύο επόμενα θέματα που το ένα έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Α Λυκείου και το άλλο για την Β Λυκείου
αλλά μπορούν άνετα να αντιμετωπιστούν και από μαθητές Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 55: Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 18 ισούται με το τετράγωνο του αριθμού.
Να βρεθεί ο αριθμός αυτός.

ΑΣΚΗΣΗ 56: Δείξτε ότι η εξίσωση $x^{2}+x=2n+1$ , όπου n είναι φυσικός αριθμός, έχει πραγματικές ρίζες.
Στη συνέχεια να εξετάσετε αν είναι δυνατόν οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι ακέραιες (για κάποιον n φυσικό αριθμό)

sokratis lyras · #111

Για την 55.
Έχω : x^2-3x-18=0

και εύκολα παίρνω x=6

ή

Για την 56:
Τα φέρνω όλα στο 1ο μέλος και έχς μια δευρεροβάθμια εξίσωση ως προς

.H διακρίνουσα είναι θετική άρα έχει λύσεις στους πραγματικούς αλλά όχι στους ακέραιους αφού ενας άρτιος ισούται με έναν περιττό.

#112

Για την ΑΣΚΗΣΗ 56 ας δώσουμε πιο αναλυτική λύση για το δεύτερο ερώτημα:
Αν υποθέσουμε λοιπόν ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό k. Τότε θα πρέπει:

$k^{2}+k=2n+1\Leftrightarrow k(k+1)=2n+1$ (1)

Όμως έχουμε δει σε προηγούμενες ασκήσεις ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι πάντα άρτιος. Άρα το πρώτο μέλος της (1) είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός. Τούτο όμως είναι άτοπο και άρα η εξίσωση δεν μπορεί να έχει ρίζα ακέραιο αριθμό.

Από τις επόμενες δύο ασκήσεις η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου και η δεύτερη για την Β Λυκείου (αντιμετωπίζεται όμως και με γνώσεις Γυμνασίου)

ΑΣΚΗΣΗ 57.:Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$A=a^{2}-10ab+27b^{2}-8b+8$ .

Για ποιες τιμές των a,b λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α;

ΑΣΚΗΣΗ 58.: Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου x για την οποία ο αριθμός $13^{x}$ διαιρεί τον αριθμό 500!

(ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ν!=1.2.3.4. ... .ν

Στην άσκηση αυτή, 500!=1.2.3. ... .500)

#113

sokratis lyras έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 54
Έστω πραγματικός αριθμός.Αν οι αριθμοί και είναι ρητοί, να αποδειχθεί ότι ο είναι ρητός.

Την είδαμε εδώ.

Άλλη μια σχετική, εδώ...

greek_sorcerer · #114

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 57.:Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$A=a^{2}-10ab+27b^{2}-8b+8$ .

Για ποιες τιμές των a,b λαμβάνεται η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α;

έχω "σχεδόν" δύο ταυτότητες, απλά πρέπει να "τακτοποιήσω" την παράστασή μου.
$A=a^{2}-10ab+27b^{2}-8b+8=$
$=a^{2}-10ab+25b^{2}+2b^{2}-8b+8=$
$=a^{2}-10ab+25b^{2}+2(b^{2}-4b+4)=$
$=(a-5b)^{2}+2(b-2)^{2}$

έχουμε άθροισμα δύο μη αρνητικών όρων, οπότε η ελάχιστη τιμή της παράστασης Α είναι το 0.
Αυτό γίνεται για b=2 και a=10

sokratis lyras · #115

Ας δώσω μία λύση για την 54:
Έστω x^3+x=b

και

με a και b ρητούς.
$b=x^3+x=x^3+x=2x^2-2x^2-4x+4x+x=\left( x^3+2x^2 \right)-2x^2-4x+5x=x\left( x^2+2x \right) -2\left( x^2+2x \right)+5x=ax-2a+5x$
$b=ax-2a+5x\Leftrightarrow b+2a=ax+5x\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2a+b}{a+5}$ αφού $a\neq 5$ μίας και η εξίσωση x^2+2x=-5

είναι αδύνατη.Άρα ο αριθμός

είναι ρητός ως πηλίκο ρητών.

Αυτή τη λύση παρουσιάζει ο κ.Στεργίου στο βιβλίο για Ολυμπιάδες Μαθηματικών Γ'γυμνασίου(αυτή είναι και η πηγή της άσκησης).

#116

Είδαμε ενδιαφέρουσες λύσεις για την άσκηση 54. Ας δώσω μία ακόμα, με βάση την υπόδειξη που πιο πάνω είχα δώσει.

Έστω

$x^{3}+x=k (1) x^{2}+2x=r (2)$

όπου k,r είναι ρητοί αριθμοί. Η σχέση (2) γράφεται:

$x^{2}=r-2x$

Τώρα η (1) γράφεται:
$x.x^{2}+x=k\Rightarrow x(r-2x)+x=k\Rightarrow xr-2x^{2}+x=k\Rightarrow xr-2(r-2x)+x=k\Rightarrow xr-2r+4x+x=k\Rightarrow (r+5)x=2r+k$ (Σχέση 3)

Αν τώρα ήταν r+5=0 τότε r= -5 οπότε η (2) γράφεται $x^{2}+2x+5=0$

Η εξίσωση όμως αυτή είναι αδύνατη, αφού έχει διακρίνουσα Δ= - 16 <0

Άρα η σχέση (3) γράφεται $x=\frac{k+2r}{r+5}$

Άρα ο αριθμός x είναι ρητός, ως πηλίκο ρητών αριθμών.

Άλυτη μένει μέχρι τώρα, η ΑΣΚΗΣΗ 58

sokratis lyras · #117

Μια προσπάθεια για την 58(μιας και δεν υπάρχει ανταπόκριση από τους μικρότερους):
Στο γινόμενο 500! διακρίνουμε τους εξής όρους: 13.1,13.2....13.38
Αλλά ανάμεσά τους έχουμε τους:13.13 και 2.13.13 άρα ο ζητούμενος αριθμός είναο ο 40.

Marios V. · #118

με άλλα λόγια
ονομάζουμε το ζητούμενο

.
επειδή $13^{3}>500$ ,
$a=\lfloor {\frac{500}{13}}\rfloor + \lfloor {\frac{500}{13^{2}}}\rfloor=40$

#119

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Θα δούμε μια λύση στην ενδιαφέρουσα Ασκηση 52 που πρότεινε ο socrates.

Η Άσκηση 52 ήταν η εξης:

Αν $x_{1},x_{2},x_{3}, ...,x_{n}$ είναι ακέραιοι και αν $\left|x_{1} \right|+\left|x_{2} \right|+...+\left|x_{n} \right|-\left|x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right|=2$ , να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους πιο πάνω ακέραιους είναι ίσος με 1 ή με -1.

Εξαιρετική η άσκηση και ωραία η παραπάνω λύση.

Ας δούμε μία παραλλαγή της λύσης:

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \ge 0$ (αλλιώς αλλάζουμε το πρόσημο κάθε αριθμού. Η παράσταση τότε δεν αλλάζει τιμή). Άρα

$2 = \left|x_{1} \right|+\left|x_{2} \right|+...+\left|x_{n} \right|-\left|x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right|=$

$=\left|x_{1} \right|+\left|x_{2} \right|+...+\left|x_{n} \right|-\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right)=$

$= \left(|x_{1}|-x_{1}\right)+\left(|x_{2}| -x_{2}\right)+...+\left(|x_{n}|-x_{n} \right)$

παρατηρούμε ότι όλες οι παρενθέσεις είναι θετικοί αριθμοί ή μηδέν. Επίσης, αν κάποιος x_k

είναι $\ge 0$ τότε $|x_{k}|-x_{k}=0$ . Αυτούς τους σβήνουμε. Δεν αλλάζει το άθροισμα. Συνεπώς έχουμε μόνο αρνητικά x(m)

και το άθροισμά μας είναι της μορφής
2 = -2x(m) - ... - 2x(p)

δηλαδή

.
Επειδή όμως οι x(m), ..., x(p)

είναι (αρνητικοί) ακέραιοι σημαίνει ότι ένας από αυτούς είναι -1 (και οι υπόλοιποι 0). Όπως θέλαμε.
(η περίπτωση του +1 προκύπτει αν αρχικά $x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \le 0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

#120

Συνεχίζουμε με δύο ασκήσεις που έχουν τεθεί σε διαγωνισμούς της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου και την Α Λυκείου

ΑΣΚΗΣΗ 59: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει πλευρές $AB=x, A\Gamma=x+2, B\Gamma =10$ . Αν ισχύει ότι

$(x+2)^{2}-x^{2}=28$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο με ορθή την γωνία

.

ΑΣΚΗΣΗ 60.: Αν για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z

ισχύει ότι xyz=1

, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{1}{y+1-\frac{y}{x+1}}+\frac{1}{z+1-\frac{z}{y+1}}+\frac{1}{x+1-\frac{x}{z+1}}=2}$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση