Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1821

ΑΣΚΗΣΗ Αν το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών λήγει σε

, τότε και το άθροισμα των κύβων τους

θα λήγει επίσης σε

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1822

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 29, 2019 3:26 pm
ΑΣΚΗΣΗ Αν το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών λήγει σε , τότε και το άθροισμα των κύβων τους

θα λήγει επίσης σε

Έστω

φυσικοί με $a+b\equiv 5(\mod 10)$

Επειδή $a+b\equiv 1(\mod2)$ θα είναι $ab\equiv 0(\mod2)$ και κατά συνέπεια $5ab\equiv 0(\mod10)$

Είναι $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\equiv 5-15ab\equiv 5(\mod10)$ και το ζητούμενο δείχθηκε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1823

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 9:32 pm
ΑΣΚΗΣΗ 602: Έστω $\displaystyle{a=(-1)^{-1}.(\frac{1}{2})^{-2}.(-3)^{-3}.(-4)^4 .(-5)^{-5}.6^6}$

και $\displaystyle{b}$ ακέραιος με $\displaystyle{- 15.2^{10}<b<-15.2^6}$ . Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x=\sqrt{2\sqrt{ab}}}$ είναι ρητός, να βρεθεί

ο ακέραιος $\displaystyle{b}$ .

Βρίσκουμε $a=-\dfrac{2^{16}\cdot 3^3}{5^5}$

Πρέπει $\sqrt{2\sqrt{ab}}=\dfrac{k}{l},k,l\in \mathbb{N}\Leftrightarrow ab=\dfrac{k^4}{4l^4}\Leftrightarrow b=-\dfrac{5^5\cdot k^4}{2^{18}\cdot l^4\cdot 3^{3}}$

Είναι $l^4 \mid 5^5\Leftrightarrow l=5$

Άρα $b=-\dfrac{5\cdot k^4}{2^{18}\cdot 3^{3}}$

Οπότε $15\cdot 2^6<\dfrac{5\cdot k^4}{2^{18}\cdot 3^{3}}<15\cdot 2^{10}\Leftrightarrow 2^6\cdot 3<k<2^7\cdot 3(*)$

Επίσης επειδή $b\in \mathbb{Z}$ θα είναι $2^{18}\mid k^4\Rightarrow k\equiv 0(\mod32)$

και $3^3\mid k^4\Rightarrow k\equiv 0(\mod3)$ οπότε $k\equiv 0(\mod96)$

Από την (*)

είναι

και έτσι $\boxed{b=-4860}$

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση