Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#61

ΑΣΚΗΣΗ 30

Αφήστε την για λίγο σε κάποιο μαθητή

Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο έχει εμβαδόν $\displaystyle{\,\,1\,\,}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm H}\Theta {\rm E}}}\,\,\,}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{{\rm{ }}\,\,\frac{2}{3}\,\,}$ .
Να βρείτε το μήκος της $\displaystyle{\,{\rm{ {\rm H}\Theta }}\,\,}$ .

orestisgotsis · #62

ΠΕΡΙΤΤΑ

#63

Σωστός

Μια λύση με εμβαδά κάποιος ;

orestisgotsis · #64

ΠΕΡΙΤΤΑ

KARKAR · #65

Μεταφέρω το

"κατακόρυφα" ώστε να γίνει συνευθειακό των D,C

. Το ύψος

του τριγώνου TCE

δεν άλλαξε , άρα ούτε η βάση

. Από την ομοιότητα των TCE , TBA

παίρνω : $\displaystyle CE=\frac{x}{1-x}$ , $x\neq1$ .

Συνεπώς : $\displaystyle \frac{x}{2}{\cdot}\frac{x}{1-x}=\frac{2}{3}...\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$

Ιστοσελίδα · #66

ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού

, σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το

#67

AΣΚΗΣΗ 32.:Αν $\displaystyle{a , b , c}$ είναι ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός :

$\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)}$ , είναι άρτιος.

#68

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 32.:Αν $\displaystyle{a , b , c}$ είναι ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός :

$\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)}$ , είναι άρτιος.

Μεταξύ των τριών αυτών αριθμών θα υπάρχουν σίγουρα δύο - ας υποθέσουμε οι a,b

- οι οποίοι είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Συνεπώς η διαφορά τους a-b

είναι άρτιος άρα και το γινόμενο (a-b)(b-c)(c-a)

είναι άρτιος.

Αλέξανδρος

#69

stranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού , σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το

$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{p(p+1)}+\dfrac{1}{p+1}$

#70

stranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού , σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το

Έστω

πρώτος. Τότε: $\displaystyle{\frac{1}{p}=\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p}}$

Μήπως έχει παραληφθεί κάτι από την εκφώνηση; Γιατί δεν είναι απαραίτητο να είναι ο

πρώτος...

#71

ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^2 +2}$ , με $\displaystyle{x\epsilon Z}$ , δεν διαιρείται με το

#72

ΑΣΚΗΣΗ 34. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

, δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δέκα ακεραίων προσθετέων, καθένας από τους οποίους να είναι ίσος με

, ή

#73

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27:

Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{(x^{2n}+1)(y^{2m}+1)=2x^n}$ , με άγνωστο τον πραγματικό αριθμό , όταν $\displaystyle{m ,n\epsilon N^{*}}$ .

Λόγω του ότι οι αριθμοί $x^{2m}+1, \ y^{2m}+1$ είναι θετικοί και ισχύει $x^{2m}+1\geq 2x^n$ έχουμε $(x^{2n}+1)(y^{2m}+1)\geq 2x^n(y^{2m}+1)$ δηλαδή $2χ^{2n}\geq 2x^n(y^{2m}+1)$ οπότε $y^{2m}\leq 0$ που ισχύει μόνο αν y=0

.

Για

είναι $x^{2n}+1=2x^n$ δηλαδή (x^n-1)^2=0

απ' όπου αν

άρτιος έχουμε τις λύσεις $x=\pm 1$ ενώ αν

περιττός έχουμε τη λύση x=1

.

Άρα τελικά αν

άρτιος οι λύσεις είναι (x,y)=(1,0)

και

ενώ αν

περιττός τότε η λύση είναι η (x,y)=(1,0)

.

Αλέξανδρος

#74

ΑΣΚΗΣΗ 33

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^2 +2}$ , με $\displaystyle{x\epsilon Z}$ , δεν διαιρείται με το

Έστω $\displaystyle{\,\,\,x = 4{\rm{\kappa + \upsilon }}\,\,{\rm{, \upsilon = 0}}{\rm{,1}}{\rm{,2}}{\rm{,3}}\,\,\,\,\,}$ . Τότε:
$\displaystyle{{{\rm{x}}^2} + 2 = {\left( {4{\rm{\kappa + \upsilon }}} \right)^2} + 2 = 16{\kappa ^2} + 8\kappa \upsilon + {\upsilon ^2} + 2 = 4(4{\kappa ^2} + 2\kappa \upsilon ) + {\upsilon ^2} + 2 = 4\rho + {\upsilon ^2} + 2}$

Επομένως :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon = 0 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho + 2 \\ \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon = 1 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho + 3 \\ \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon = 2 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho + 6 = 4\rho + 4 + 2 = 4\mu + 2 \\ \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon = 3 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho + 11 = 4\rho + 8 + 3 = 4\nu + 3 \\ \end{array}}$
Βλέπουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\,\,\,{{\rm{x}}^2} + 2\,\,}$ έχει πάντα τη μορφή
$\displaystyle{\,\,4\rho + 2\,\,}$ ή $\displaystyle{\,\,\,4\rho + 3\,\,}$ και επομένως δεν διαιρείται με το $\displaystyle{\,\,4}$

#75

ΑΣΚΗΣΗ 34

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δέκα ακεραίων προσθετέων, καθένας από τους οποίους να είναι ίσος με , ή , ή

Έστω ότι αυτό γίνεται . Έστω ότι χρησιμοποιούμε $\displaystyle{\,\,\,k\,\,}$ φορές το $\displaystyle{\,\,1\,\,\,,}$
$\displaystyle{\,\,m\,\,}$ φορές το $\displaystyle{\,\,\,3\,\,\,,}$ $\displaystyle{\,\,n\,\,\,}$ φορές το $\displaystyle{\,\,5\,\,\,}$
Τότε ισχύει :
$\displaystyle{k + m + n = 10 \Leftrightarrow n = 10 - k - m}$
και
$\displaystyle{\begin{array}{l} k \cdot 1 + m \cdot 3 + n \cdot 5 = 25 \Leftrightarrow k + 3m + 5(10 - k - m) = 25 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow - 4k - 2m = - 25 \Leftrightarrow 4k + 2m = 25 \Leftrightarrow 2\left( {2k + m} \right) = 25 \Leftrightarrow 2{\rm{\rho = 25}} \\ \end{array}}$
Το τελευταίο είναι προφανώς άτοπο

#76

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x^2 +2}$ , με $\displaystyle{x\epsilon Z}$ , δεν διαιρείται με το

Και ένας ακόμα παρόμοιος τρόπος λύσης για την άσκηση 33:

Αν x=2k

, τότε

, άρα ο

, δεν διαιρείται με το

, (αφού αφήνει υπόλοιπο

)

Αν πάλι x=2k+1

, τότε

, και άρα και πάλι δεν διαιρείται με το

, (αφού δίνει υπόλοιπο

)

#77

AΣΚΗΣΗ 35. Αν ο

είναι περιττός ακέραιος, τότε ο αριθμός:

$\displaystyle{A=a^2 +(a+2)^2 +(a+4)^2 +1}$ , διαιρείται με το

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#78

ΑΣΚΗΣΗ 36

Γνωρίζοντας ότι ο κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle{\,\,\,1\,\,\,}$ και το τόξο $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}\Gamma }}\,\,\,\,}$ είναι τετραπλάσιο από το $\displaystyle{\,\,{\rm{\Gamma {\rm B}}}\,\,}$ , να υπολογίσετε τη διαφορά $\displaystyle{\,\,{{\rm E}_1} - {{\rm E}_2}}$
των έγχρωμων κυκλικών τμημάτων

orestisgotsis · #79

ΠΕΡΙΤΤΑ

#80

ΑΣΚΗΣΗ 37

Να βρείτε το πλήθος των αριθμών από το $\displaystyle{\,\,\,\,1\,\,\,}$ έως το $\displaystyle{\,\,\,2012\,\,\,}$ που έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση