ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα 275 από το αρχείο του Θάνου Μάγκου.

Αν $a,b,c\succ 0$ αποδείξτε ότι $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3\left(a+b+c \right)}{a+b+c+3}$

marmix · #2

Διαγράφηκε!..

#3

Μην κατανοώντας τι θέλει να πει ο marmix στην παραπάνω δημοσίευση, δίνω την παρακάτω λύση.

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{a}{{b + 1}} + \frac{b}{{c + 1}} + \frac{c}{{a + 1}} = \frac{{{a^2}}}{{ab + a}} + \frac{{{b^2}}}{{bc + b}} + \frac{{{c^2}}}{{ca + c}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca + a + b + c}}.}$

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι:

$\displaystyle{\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca + a + b + c}} \ge \frac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c + 3}},}$

η οποία ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{\frac{{a + b + c}}{{ab + bc + ca + a + b + c}} \ge \frac{3}{{a + b + c + 3}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} + 3\left( {a + b + c} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) + 3\left( {a + b + c} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca,}$

που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{a = b = c}$ .

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30

Μέλη σε σύνδεση