Ανισότητα και σταθερά

#1

Για ποιες τιμές της σταθεράς

ισχύει $x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx)\geq 0$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R};$

kleovoulos · #2

socrates έγραψε:Για ποιες τιμές της σταθεράς ισχύει $x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx)\geq 0$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R};$

"Με το μάτι" βρίσκω ότι ισχύει για:

t=0

όποτε έχουμε τετράγωνα τριών πραγματικών αριθμών, που δίνουν θετικό αριθμό, αν ένας τουλάχιστον είναι μεγαλύτερος του μηδενός, ή μηδέν, αν και οι τρεις είναι ίσοι του μηδενός.

t=2

όποτε προκύπτει η ταυτότητα (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

που είναι πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο, που εννοείται ότι είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός για κάθε x=y=z=0

ή

Bill K · #3

Παρατηρούμε ότι για t=2

ισχύει ενώ για t=-2

δεν ισχύει για κάθε $x,y,z \in R$

Ισοδύναμα γράφεται $x^2+t(y+z)x+y^2+z^2+tyz \geq 0$ και το τριώνυμο έχει διακρίνουσα D=t^2(y+z)^2-4y^2-4z^2-4tyz=(t^2-4)y^2+2tz(t-2)y+(t^2-4)z^2

και θέλουμε $D \leq0$

Η διακρίνουσα του δεύτερου τριωνύμου( $t^2\neq4$ ) είναι
D'=(2tz(t-2))^2-(2(t-2)(t+2)z)^2=2z(t-2)(t-t-2)2z(t-2)2(t+1)=-16z^2(t-2)^2(t+1)

άρα θέλουμε $D'\leq0 \Rightarrow t\geq -1$ και

$t^2<4 \Rightarrow -2<t<2$ οπότε μαζί με την αρχική παρατήρηση $t \in [-1,2]$

#4

kleovoulos · #5

Bill K έγραψε: $t \in [-1,2]$

Μιας και δεν μελετήσαμε διαστήματα φέτος (Γ Γυμνασίου), θέλω να ρωτήσω: Ο παραπάνω συμβολισμός σημαίνει ότι εάν το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει η μεταβλητή $\displaystyle \rm {t}$ το ονομάσουμε $\displaystyle \rm {A}$ , τότε $\displaystyle \rm {A=[-1,0,1,2]}$ ;

#6

Με το $t\in [-1,2]$ συμβολίζουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς

με $-1\leq t\leq 2...$

Αντίστοιχα, με $t\in (-1,2)$ όλους τους πραγματικούς αριθμούς

με

Ανάλογα για $\displaystyle{t\in (-1,2]}$ και $\displaystyle{t\in [-1,2).}$

kleovoulos · #7

socrates έγραψε:Με το $t\in [-1,2]$ συμβολίζουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς με $-1\leq t\leq 2...$

Αντίστοιχα, με $t\in (-1,2)$ όλους τους πραγματικούς αριθμούς με

Ανάλογα για $\displaystyle{t\in (-1,2]}$ και $\displaystyle{t\in [-1,2).}$

Ευχαριστώ πολύ.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

Μέ τήν χρήση στοιχειώδους Γραμμικῆς Ἄλγεβρας:

$\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx) = \frac{1}{2}(x,y,z)\left(\begin{array}{ccc} 2 & t & t \\ t & 2 & t \\ t & t & 2\end{array}\right)\left(\!\!\begin{array}{ccc}x\\ y\\ z\end{array}\!\!\right) =\frac{1}{2}(x,y,z)\,A(t)\left(\!\!\begin{array}{ccc}x\\ y\\ z\end{array}\!\!\right). }$

Ὅμως ὁ πίνακας A(t)

εἶναι συμμετρικός καί συνεπῶς ἡ ἀνωτέρω παράσταση εἶναι μή ἀρνητική ἄν καί μόνον ἄν ὁ A(t)

ἔχει μή ἀρνητικές ἰδιοτιμές. Τό χαρακτηριστικό πολυώνυμο τοῦ A(t)

εἶναι

$\displaystyle{ p(\lambda) \,=\, \left|\begin{array}{ccc} 2-\lambda & t & t \\ t & 2-\lambda & t \\ t & t & 2-\lambda\end{array}\right| \,=\, (2-\lambda)^3-3t^2(2-\lambda)+2t^3 \,=\, (2-\lambda-t)^2(2-\lambda+2t). }$

Οἱ ἰδιοτιμές λοιπόν τοῦ A(t)

εἶναι οἱ

(διπλή) καί 2(t+1)

. Εἶναι ἀμφότερες μή ἀρνητικές ἄν καί μόνον ἄν $t\in[-1,2]$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Στίς προηογύμενες λύσεις δέν ὑπάρχει ἐπαλήθευση! Δηλαδή, ἀπεδείχθη μέν ὅτι: ἄν ἡ παράσταση εἶναι μή ἀρνητική, τότε $t\in[-1,2]$ . Ἀπαιτεῖται ὅμως καί ἡ ἀπόδειξη τοῦ ἀντιστρόφου!

Petros N. · #9

Δίνω άλλη μία λύση:

Για x=y=z

λαμβάνω $t \geq -1$ και για x=-y-z

είναι $t \leq 2$
Θα δείξουμε ότι η δοσμένη ισχύει για κάθε $t \in [-1,2]$

A= x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx)

1) $\diplaystyle xy+yz+zx \geq 0$
$\displaystyle A \geq x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 +(z-x)^2] \geq 0$

2) $xy+yz+zx \leq 0$
$\displaystyle A \geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = (x+y+z)^2 \geq 0$

Ανισότητα και σταθερά

Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Re: Ανισότητα και σταθερά

Μέλη σε σύνδεση