Τετράδες ακεραίων!

#1

Να βρείτε όλες τις τετράδες (p, q, m, n)

φυσικών αριθμών τέτοιες ώστε οι αριθμοί

και

να είναι πρώτοι και να ισχύει η σχέση $\displaystyle{p^m- q^3 = n^ 3.}$

Tolis97 · #2

$p^m-q^3=n^3 \Leftrightarrow p^m=q^3+n^3=(q+n)(q^2-qn+n^2) \Rightarrow \begin{cases} q+n = p^k \\ q^2 - qn +n^2 = p^l \end{cases}$

Αφού q+n < q^2-qn+n^2

, είναι $k < l \Rightarrow q+n|q^2-qn+n^2 \Rightarrow q+n|3qn$ . Άμα (q,n) = 1

είναι $q+n|3n \Rightarrow q+n|3q \Rightarrow q+n=3q \Rightarrow n = 2q$ , άτοπο. Άρα $(q,n) = q \Rightarrow n = xq \Rightarrow (x+1)q|3q^2x \Rightarrow (x+1)|3qx \Rightarrow (x+1)|3q$ $\Rightarrow x \in \{2, q-1, 3q-1\} \Rightarrow n \in \{2q, q(q-1), q(3q-1)\}$ .

$\bullet n = 2q \Rightarrow p^k = 3q \Rightarrow p = q = 3, k = 2 \Rightarrow n = 6 \Rightarrow l = 3$ . Συνεπώς: $\fbox{\displaystyle(p,q,m,n) = (3,3,5,6)}$

$\bullet n = q(q-1) \Rightarrow p^k = q^2 \Rightarrow p = q, k = 2 \Rightarrow q^2 - q^2(q-1)+q^2(q-1)^2 = q^l$ $\Rightarrow \cdots \Rightarrow q = 2,3$ . Συνεπώς: $\fbox{\displaystyle(p,q,m,n) = (2,2,4,2)}$ (η περίπτωση q=3

βγάζει την ίδια λύση με την πρώτη περίπτωση)

$\bullet n = q(3q-1) \Rightarrow p^k = 3q^2 \Rightarrow p = q = 3, k = 3 \Rightarrow n = 24 \Rightarrow p^l = 513$ , άτοπο!

Τετράδες ακεραίων!

Τετράδες ακεραίων!

Re: Τετράδες ακεραίων!

Μέλη σε σύνδεση