Ανισότητα

#1

Με παρόμοιο ύφος ....

Aν $\displaystyle{\,\,a,b,c > 0\,\,\,}$ , αποδείξτε ότι : $\displaystyle{\,\frac{a}{{a + 3b + 3c}} + \frac{b}{{3a + b + 3c}} + \frac{c}{{3a + 3b + c}} \ge \frac{3}{7}\,\,}$

raf616 · #2

exdx έγραψε:Με παρόμοιο ύφος ....

Aν $\displaystyle{\,\,a,b,c > 0\,\,\,}$ , αποδείξτε ότι : $\displaystyle{\,\frac{a}{{a + 3b + 3c}} + \frac{b}{{3a + b + 3c}} + \frac{c}{{3a + 3b + c}} \ge \frac{3}{7}\,\,}$

Βάζω μία προσέγγιση...

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\sum{\dfrac{a}{a + 3b + 3c}} = \sum{\dfrac{a^2}{a^2 + 3ab + 3bc}}}$

Από την Cauchy - Schwarz / Andreescu έχουμε:

$\displaystyle{\sum{\dfrac{a^2}{a^2 + 3ab + 3bc}} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + 6ab + 6bc + 6ca} = \dfrac{(a + b + c)^2}{(a + b + c)^2 + 4(ab + bc + ca) } \geq \dfrac{(a + b + c^2)}{(a + b + c)^2 + \dfrac{4(a + b + c)^2}{3}} \geq \dfrac{3}{7}}$

Στην προτελευταία χρησιμοποιήσαμε τη θεμελιώδη ανισότητα $(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)$ .

simantiris j. · #3

Βάζω άλλη μια λύση(ελπίζω ότι είναι σωστή).
Η ανισότητα είναι ομογενής, επομένως μπορούμε να θέσουμε $\alpha +\beta +\gamma =2$
Η ανισότητα γίνεται $\sum{}\frac{\alpha }{\alpha+3\left(2-\alpha \right) }\geq \frac{3}{7}\Rightarrow \sum{}\frac{-\left(3-\alpha \right)+3}{3-\alpha }\geq \frac{6}{7}\Rightarrow \sum{}-1+\frac{3}{3-\alpha }\geq \frac{6}{7}\Rightarrow \sum{}\frac{1}{3-\alpha }\geq \frac{9}{7}$
Αυτή όμως προκύπτει από την ανισότητα andreescu ως εξής: $\sum{}\frac{1}{3-\alpha }\geq \frac{\left(1+1+1 \right)^2}{9-\left(\alpha +\beta +\gamma \right)}=\frac{9}{7}$

kostas_zervos · #4

exdx έγραψε:Με παρόμοιο ύφος ....

Aν $\displaystyle{\,\,a,b,c > 0\,\,\,}$ , αποδείξτε ότι : $\displaystyle{\,\frac{a}{{a + 3b + 3c}} + \frac{b}{{3a + b + 3c}} + \frac{c}{{3a + 3b + c}} \ge \frac{3}{7}\,\,}$

$\dfrac{a}{a+3b+3c}+\dfrac{b}{3a+b+3c}+\dfrac{c}{3a+3b+c}\geq \dfrac{3}{7}\iff$

$\iff \dfrac{a}{a+3b+3c}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{3a+b+3c}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{3a+3b+c}+\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{3}{7}+3\cdot \dfrac{1}{2}\iff$

$\iff \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3a+3b+3c}{a+3b+3c}+\dfrac{3a+3b+3c}{3a+b+3c}+\dfrac{3a+3b+3c}{3a+3b+c}\right)\geq \dfrac{27}{14}\iff$

$\iff \dfrac{1}{2}(3a+3b+3c)\left(\dfrac{1}{a+3b+3c}+\dfrac{1}{3a+b+3c}+\dfrac{1}{3a+3b+c}\right)\geq \dfrac{27}{14}\iff$

$\iff \dfrac{3}{14}(7a+7b+7c)\left(\dfrac{1}{a+3b+3c}+\dfrac{1}{3a+b+3c}+\dfrac{1}{3a+3b+c}\right)\geq \dfrac{27}{14}\iff$

$\iff (7a+7b+7c)\left(\dfrac{1}{a+3b+3c}+\dfrac{1}{3a+b+3c}+\dfrac{1}{3a+3b+c}\right)\geq 9$ που ισχύει από την C-S

.

G.Bas · #5

exdx έγραψε:Με παρόμοιο ύφος ....

Aν $\displaystyle{\,\,a,b,c > 0\,\,\,}$ , αποδείξτε ότι : $\displaystyle{\,\frac{a}{{a + 3b + 3c}} + \frac{b}{{3a + b + 3c}} + \frac{c}{{3a + 3b + c}} \ge \frac{3}{7}\,\,}$

Και μια "κατασκευαστική" απόδειξη

Ισχύει $\displaystyle{\frac{a}{a+3b+3c}-\frac{a}{3a+3b+3c}=\frac{2a^2}{3(a+b+c)(a+3b+3c)}.}$

Οπότε ισχύει $\displaystyle{\sum\frac{a}{a+3b+3c}-\sum\frac{a}{3a+3b+3c}=\frac{2}{3(a+b+c)}\cdot\sum\frac{a^2}{a+3b+3c},}$

και σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz θα έχουμε για το δεξί μέλος $\displaystyle{\frac{2}{3(a+b+c)}\cdot\sum\frac{a^2}{a+3b+3c}\geq\frac{2}{3(a+b+c)}\cdot\frac{(a+b+c)^2}{7(a+b+c)}=\frac{2}{21}.}$

Δηλαδή θα ισχύει $\displaystyle{\sum\frac{a}{a+3b+3c}-\sum\frac{a}{3a+3b+3c}\geq\frac{2}{21}\Leftrightarrow \sum\frac{a}{a+3b+3c}\geq\frac{2}{21}+\frac{1}{3}=\frac{3}{7}.}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση