Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

tasosty · #1

Έστω σημείο

στο εσωτερικο ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με την γωνία

ορθή, τέτοιο ώστε : PC/3=PA/2=PB

Να βρείτε τη γωνία BPA

.

#2

Μια λύση τριγωνομετρική.

: Σημείο σε τρίγωνο.PNG (6.7 KiB) Προβλήθηκε 1235 φορές

Χωρίς να στερείται γενικότητας η αντιμετώπιση θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και το σημείο $\displaystyle{P}$ εντός αυτού σύμφωνα με τις συνθήκες
που δόθηκαν. Δηλαδή: $\displaystyle{PB=1, PA=2, PC=3}$ όπως φαίνεται και στο ανωτέρω σχήμα(*).

Από το νόμο των συνημιτόνων για τα τρία τρίγωνα $\displaystyle{PAB, PAC, PBC}$ προκύπτει:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} AB^2=1^2+2^2-4cos\omega =5-4cos\omega \ \ (1) \\ AC^2=2^2+3^2-12cos\theta =13-12cos\theta \ \ (2) \\BC^2= 1^2+3^2-6cos\phi =10-6cos\phi \ \ (3) \end{matrix}\right.$

Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το $\displaystyle{A}$ θα είναι:
$\displaystyle AB=AC\Leftrightarrow 5-4cos\omega =13-12cos\theta \Leftrightarrow 3cos\theta -cos\omega =2 \ \ (4)$

Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κορυφή το $\displaystyle{A}$ από το πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι:
$\displaystyle AB^2+AC^2=BC^2 \stackrel{(1),(2),(3)}{\Leftrightarrow}\\\Leftrightarrow 5-4cos\omega +13-12cos\theta =10-6cos\phi \Leftrightarrow \\6cos\theta +2cos\omega -3cos\phi =4 \ \ (5)$

Από τις (4) και (5) απαλοίφοντας το $\displaystyle{cos\theta}$ προκύπτει: $\displaystyle 4cos\omega =3cos\phi \ \ (6)$

Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{PAB, PAC}$ προκύπτει:
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{sin(m)}{1}=\frac{sin\omega }{AB}\Rightarrow sin(m)=\frac{sin\omega }{AB}\ \ (7) \\ \\ \displaystyle \frac{sin(n}{3}=\frac{sin\theta }{AC}\Rightarrow sin(n)=3\frac{sin\theta }{AB} \ \ \Rightarrow cos(m)=3\frac{sin\theta}{AB} \ \ (8) \end{matrix}\right.$

Από τις (7) και (8) προκύπτει:
$\displaystyle sin^2(m)+cos^2(m)=1\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \frac{sin^2\omega }{AB^2}+\frac{(3sin\theta )^2}{AB^2}=1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow sin^2\omega +(3sin\theta )^2=(AB)^2 \\ \\ \Rightarrow sin^2\omega +9sin^2\theta =(AB)^2 \\ \\\Rightarrow sin^2\omega +9(1-cos^2\theta )=(AB)^2 \\ \\\Rightarrow sin^2\omega +9-(3cos\theta )^2=(AB)^2 \ \ (9)$

Η (9) σύμφωνα με τις (1) και (4) δίνει:
$\displaystyle sin^2\omega +9-(3cos\theta )^2=(AB)^2 \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 1-cos^2\omega +9-(2+cos\omega )^2=5-4cos\omega \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 5-cos^2\omega -4-4cos\omega -cos^2\omega =-4cos\omega \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 2cos^2\omega =1\Rightarrow cos\omega =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Επειδή τέλος η ζητούμενη γωνία είναι αμβλεία(**) θα είναι:
$\displaystyle cos\omega =-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Δηλαδή:
$\displaystyle{ \omega=135^o}$

Παρατηρήσεις:
(*) Το σημείο $\displaystyle{P}$ κατασκευάστηκε ως η τομή των δύο απολλώνειων κύκλων στις πλευρές $\displaystyle{AB, BC}$ όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

(**) Η γωνία $\displaystyle{\omega}$ είναι αμβλεία γιατί το σημείο $\displaystyle{P}$ βρίσκεται δεξιά της μεσοκαθέτου στο τμήμα $\displaystyle{AB}$ η οποία τέμνει την υποτείνουσα στο μέσον της και ως εκ τούτου
βρίσκεται εντός του τριγώνου που σχηματίζεται από το μέσο της υποτείνουσας και την $\displaystyle{AB}$ . Κάθε σημείο του τριγώνου αυτού εύκολα δείχνεται πως βλέπει την $\displaystyle{AB}$ με αμβλεία γωνία.

Κώστας Δόρτσιος

#3

ΑναλυτικοΓεωμετρικοΤριγωνομετρικά:

: 09-04-2012 Γεωμετρία.jpg (15.25 KiB) Προβλήθηκε 1206 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο

παίρνουμε τα σημεία B(1, 0)

και

που σχηματίζουν ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους

.

Έστω σημείο P(a, b)

, ώστε

, στο εσωτερικό του ABC

.

Αυτό εξασφαλίζεται με τη συνθήκη 0< a, 0 < b, a + b < 1

, οπότε το

περιέχεται στο τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες x = 0, y = 0, x + y = 1

.

$\displaystyle PB = t \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)^2 + b^2 = t^2 \;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$

$\displaystyle PA = 2t \Leftrightarrow a^2 + b^2 = 4t^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\left( 2 \right)$

$\displaystyle PC = 3t \Leftrightarrow a^2 + \left( {b - 1} \right)^2 = 9t^2 \;\;\,\left( 3 \right)$

Από (1), (2), αφαιρώντας κατά μέλη: $\displaystyle 2a - 1 = 3t^2 \Leftrightarrow a = \frac{{3t^2 + 1}}{2}$
Από (2), (3), αφαιρώντας κατά μέλη: $\displaystyle - 2b + 1 = 5t^2 \Leftrightarrow b = \frac{{1 - 5t^2 }}{2}$

Οπότε η (2) γίνεται:

$\displaystyle a^2 + b^2 = 4t^2 \Leftrightarrow \frac{{9t^4 + 6t^2 + 1}}{4} + \frac{{25^4 - 10t^2 + 1}}{4} = 4t^2 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 34t^4 - 20t^2 + 2 = 0 \Leftrightarrow \;17t^4 - 10t^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow t^2 = \frac{{5 \pm 2\sqrt 2 }}{{17}}$

Είναι $\displaystyle CP < CB \Leftrightarrow 3t < \sqrt 2 \Leftrightarrow 9t^2 < 2 \Leftrightarrow t^2 < \frac{2}{9}$

$\displaystyle t^2 = \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{17}} \Rightarrow t^2 > \frac{2}{9}$ , απορρίπτεται

Οπότε $\displaystyle t^2 = \frac{{5 - 2\sqrt 2 }}{{17}} < \frac{2}{9}$
Στο BAT

από Ν. Συνημιτόνων είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \phi = \frac{{5t^2 - 1}}{{4t^2 }}$

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \phi = \frac{{\frac{{25 - 10\sqrt 2 }}{{17}} - 1}}{{\frac{{20 - 8\sqrt 2 }}{{17}}}} = \frac{{8 - 10\sqrt 2 }}{{20 - 8\sqrt 2 }} = \frac{{4 - 5\sqrt 2 }}{{10 - 4\sqrt 2 }} = \frac{{ - 34\sqrt 2 }}{{68}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Άρα $\displaystyle \phi = 135^\circ$

Ιστοσελίδα · #4

: Σημείο-στο-εσωτερικό-τριγώνου.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

Καλησπέρα. Αν στρέψω το τρίγωνο APB

${90^ \circ }$ κατά την ορθή φορά, που λέει και ο φίλτατος Θανάσης (KARKAR), (τρίγωνο ADC

), τότε προκύπτει το ορθογώνιο και ισοσκελές APD

με $PD = 2\sqrt 2 x$ .

Από αντίστροφο Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο PDC

έχουμε $P\widehat DC = {90^ \circ }$ , συνεπώς $B\widehat PA = A\widehat DC = {45^ \circ } + {90^ \circ } = {135^ \circ }$ .

tasosty · #5

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας!Την άσκηση αυτή όμως πρέπει να την εξηγήσω σ' ένα μικρό 6 δημοτικού και δεν ξέρω ποια λύση σκεφτήκανε εκείνοι που του την θέσανε!

parmenides51 · #6

tasosty έγραψε:Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας!Την άσκηση αυτή όμως πρέπει να την εξηγήσω σ' ένα μικρό 6 δημοτικού και δεν ξέρω ποια λύση σκεφτήκανε εκείνοι που του την θέσανε!

Για την ολυμπιακή ομάδα τον προετοιμάζεις?

#7

tasosty έγραψε:Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας!Την άσκηση αυτή όμως πρέπει να την εξηγήσω σ' ένα μικρό 6 δημοτικού και δεν ξέρω ποια λύση σκεφτήκανε εκείνοι που του την θέσανε!

Πρέπει να απευθυνθείς στο ΣΥΝΗΓΟΡΟ του ΠΑΙΔΙΟΥ

Παραβιάζεται το άρθρο 19:
19: βία, παραμέληση, εκμετάλλευση
Τα παιδιά πρέπει να προστατεύονται από κάθε μορφή βίας, προσβολής, παραμέλησης, εγκατά-
λειψης, σωματικής, ψυχολογικής, πνευματικής ή σεξουαλικής κακοποίησης και εκμετάλλευσης,
όσο βρίσκονται στην ευθύνη των γονιών ή των κηδεμόνων τους ή άλλων προσώπων στα οποία
αυτοί τα έχουν εμπιστευθεί.

Επικαμπύλια ολοκληρώματα πότε θα "διδάξουνε" στο παιδί;

tasosty · #8

χαχαχα!!τον είχα πάρει τηλέφωνο πάντως να δω που την βρήκε και λέει έπεσε σε διαγωνισμό της Σιγκαπούρης για τα δημοτικά!!γι' αυτό έψαχνα εύκολη λύση εκτός τριγωνομετρίας!τα υπόλοιπα θέματα πάντως ήταν νορμάλ!!

Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Re: Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση