Ωραία γεωμετρία

#1

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΓ=ΒΓ ) και ( Ο,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος αυτού...Εστω Ρ σημείο του τόξου ΑΒ
(εκείνου που δεν περιέχει το Γ ). Αν ΓΔ είναι η κάθετη προς τη ΡΒ ( Δ σημείο της ΡΒ ) τότε να αποδείξετε πως:
ΡΑ+ΡΒ=2ΡΔ.

mathfinder · #2

Καλημέρα σε όλους
Για την άσκηση κάτι γρήγορο και ά - σχημο.
Προεκτείνω την ΡΔ προς το μέρος του Δ και παίρνω τμήμα ΔΝ=ΡΔ . Θα δείξω ΡΑ=ΒΝ .
Έστω γωνίαΑΓΡ=φ .Τότε και γωνίαΑΒΡ=φ .Το τρίγωνο ΡΓΝ είναι ισοσκελές με ΡΓ=ΓΝ.
γωνίαΑΒΓ=γωνίαΓΑΒ=γωνίαΓΡΒ=γωνίαΓΝΡ=θ . Η γωνίαΡΒΓ=φ+θ και είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΓΒΝ , άρα γωνίαΒΓΝ=γωνίαΑΒΡ=φ . Οπότε τα τρίγωνα ΓΒΝ και ΑΓΡ είναι ίσα ,άρα ΡΑ=ΒΝ.
Αθ. Μπεληγιάννης

hsiodos · #3

Καλησπέρα
Έστω Μ το μέσο του τόξου ΑΒ (που δεν περιέχει το Γ) .

$\bullet$ Αν το Ρ ταυτιστεί με το Α ή το Β τότε το Δ ταυτίζεται με το μέσο της ΑΒ και η ζητούμενη ισότητα είναι προφανής.

$\bullet$ Αν το Ρ ταυτιστεί με το Μ τότε το Δ ταυτίζεται με το Β και η ζητούμενη ισότητα προφανώς ισχύει.

$\bullet$ Έστω τώρα Ρ εσωτερικό σημείο του τόξου ΜΑ.
Τότε $\hat{PA\Gamma }>90^{o}$ (εγγεγραμμένη με αντίστοιχο τόξο μεγαλύτερο ημικυκλίου). Έτσι στο τρίγωνο ΡΑΓ το ίχνος Ε του ύψους ΓΕ είναι σημείο της ημιευθείας ΡΑ με ΡΕ > ΡΑ.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΡΔΓ και ΡΕΓ είναι ίσα (ΡΓ κοινή και $\hat{P_1}=\hat{P_2}$ ) . Προκύπτει ΡΔ = ΡΕ και ΓΔ=ΓΕ
Τώρα είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΓ και ΑΕΓ(ΔΓ=ΓΕ και ΒΓ=ΑΓ). Προκύπτει ΔΒ =ΑΕ

Έτσι ΡΒ + ΡΑ = ΡΔ + ΔΒ + ΡΕ - ΑΕ = ΡΔ + ΔΒ + ΡΔ - ΔΒ = 2ΡΔ

$\bullet$ Για την περίπτωση που το Ρ είναι εσωτερικό σημείο του τόξου ΜΒ εργαζόμαστε αναλόγως.

Γιώργος

: bgeom.png (179.39 KiB) Προβλήθηκε 1556 φορές

lonis · #4

Μία βιαστική λύση, ονομάζοντας Μ το μέσο της ΑΒ. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΓΑΜ και ΓΡΔ, προκύπτει ότι $\frac{\Gamma P}{\Gamma A}=\frac{P\Delta }{AM}\Leftrightarrow AB\cdot \Gamma P=B\Gamma \cdot 2\Delta P$ , (1) αφού ΓΑ=ΒΓ και ΑΒ=2ΑΜ.
Από 1ο Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο ΓΑΡΒ: $AB\cdot \Gamma P=A\Gamma \cdot BP+B\Gamma \cdot AP\Leftrightarrow AB\cdot \Gamma P=B\Gamma \cdot(PA+PB)$ (2).
Από τις (1),(2) προκύπτει άμεσα το ζητούμενο. Όμορφη άσκηση, σίγουρα δέχεται ποικιλία λύσεων.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

EDIT: Πρόσθεσα το σχήμα.

#5

Eυχαριστώ όλους για τις λύσεις σας. Η άσκηση αυτή υπήρξε θέμα σε βαλκανιάδα μαθηματικών (2002).

lonis · #6

Μια απλούστερη λύση, όχι μακριά από τις ιδέες του Θανάση και του Γιώργου:

Υποθέτω ότι το κυρτογώνιο τόξο ΡΑ είναι μικρότερο από το ΡΒ. Άν τα τόξα είναι ίσα, τα πράγματα είναι προφανή ενώ η τρίτη περίπτωση αντιμετωπίζεται ανάλογα με την πρώτη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι: ΡΑ+ΔΒ=ΡΔ.
Παίρνοντας στο τμήμα ΡΒ σημείο Ζ, τέτοιο ώστε ΔΖ=ΔΒ, η αποδεικτέα γίνεται: ΡΑ=ΡΖ. Τα τρίγωνα ΓΔΖ και ΓΔΒ είναι ίσα άρα ΓΖ=ΓΒ=ΓΑ και $\hat{\Gamma ZB }=\hat{\Gamma BZ}$ =μισό τόξου ΓΑΡ. Έτσι η γωνία ΓΖΡ ισούται με $180-{\hat{\Gamma ZB}}$ =180-μισό τόξου ΓΑΡ=μισό του (360-τόξο ΓΑΡ)=μισό τόξου ΓΒΡ= $\hat{\Gamma AP}$ . Επιπλέον $\hat{\Gamma PA}=\hat{\Gamma PZ}$ και τα τρίγωνα ΓΑΡ, ΓΡΖ είναι ίσα. Τέλος. Χρήστο γειά σου

.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

ΥΓ: Συγγνώμη για την απαίσια εμφάνιση, ξέρει κανείς πώς μπαίνει το σύμβολο του τόξου;

p_gianno · #7

Καλησπέρα
Μία ακόμη απάντηση για αυτό το θέμα

geogatos.pdf: (63.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 68 φορές

Ωραία γεωμετρία

Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Re: Ωραία γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση