Γεωμετρία - Αφορμή για πιο ψηλά !

[Μπάμπης Στεργίου]

Στους μαθηματικούς διαγωνισμούς, ακόμα και των junior, ορισμένα βασικά θεωρήματα που είναι στο περιθώριο της σχολικής ύλης, αποτελούν σημαντικά εργαλεία για τη λύση ασκήσεων.Ας δώσουμε αφορμή για εφαρμογή τέτοιων θεωρημάτων , μια και είναι σίγουρο ότι είναι πολύ χρήσιμα.

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω Ε σημείο της διχοτόμου ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ. Η παράλληλη από το Γ προς την ΒΕ τέμνει την ευθεία ΑΒ στο Ζ.Η παράλληλη από το Β προς την ΓΕ τέμνει την ευθεία ΑΓ στο Η.Να αποδειχθεί ότι
α) ΒΖ = ΓΗ.
β) Αν Μ,Ν είναι τα μέσα των ΒΗ,ΓΖ, τότε η ΑΕ είναι κάθετη στην ΜΝ.

Μπάμπης

[achilleas]

Επισυνάπτω μια πρώτη λύση σε pdf. Φαντάζομαι ότι θα υπάρχουνε απλούστερες.**
Συγνώμη για την απουσία σχήματος.

Φιλικά,
Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

**Με μια προσεκτικότερη ανάγνωση της λύσης, βλέπουμε ότι οι σχέσεις ΑΒ/ΒΡ=ΑG/GΗ
και AR/RG=AB/BZ, μπορούν να αιτιολογηθούν πιο σύντομα απλά επειδή BP // ZG και GR//HB.
Η ομοιότητα τριγώνων δεν χρειάζεται.

[Μπάμπης Στεργίου]

Να καλωσορίσω στο κλαμπ τον εκλεκτό συνάδελφο Αχιλλέα Συνεφακόπουλο και να του ευχηθώ καλή σταδιοδρομία στον χώρο των μαθηματικών. Η θέση του είναι σιγά σιγά να βρεθεί στην τριτοβάθμια εκπαίδευση και είμαι σίγουρος ότι θα τα καταφέρει, μια και έχει ανώτερες σπουδές.
Οι φίλοι των ολυμπιάδων και αναγνώστες του CRUX τον ξέρουν από τις ωραίες του λύσεις σε δύσκολα προβλήματα που έχει στείλει σε αυτό το παγκόσμιας φήμης περιοδικό.

Αχιλλέα νάσαι καλά και να βοηθάς με τον τρόπο σου το mathematica.Οι φίλοι που θα κάνεις εδώ θα είναι φίλοι σου σε όλη σου τη ζωή !

Μπάμπης

[achilleas]

Σ' ευχαριστώ πολύ, Μπάμπη!!

Αχιλλέας

[Mihalis_Lambrou]

Αχιλλέα, καλώς ήλθες στην Λέσχη μας.

Με πρόλαβε ο Μπάμπης στην προσφώνησή του αλλά θα ήθελα να συμπλήρωνα:

Ο Αχιλλέας σπούδασε στο Μαθηματικό Αθηνών.

Tον πρωτογνώρισα εξ ακοής πριν από τουλάχιστον δέκα χρόνια, όταν ο ίδιος ήταν ακόμα φοιτητής. Δημοσίευε τότε προβλήματα και εκπληκτικές λύσεις στο CRUX και το MATHEMATICS MAGAZINE.
Όταν διάβαζε κανείς τις λύσεις του Αχιλλέα, σε δύσκολα προβλήματα, έμενε με την εντύπωση ότι ήσαν "ουρανοκατέβατες" σε σημείο που να απορεί κανείς πώς είναι δυνατόν να τις σκέφτηκε άνθρωπος.

Αργότερα γνώρισα τον ίδιο και από κοντά. Ήταν ένας σεμνός άνθρωπος, με σπάνιο ήθος.

Μετά το Μαθηματικό Αθηνών ο Αχιλλέας πήγε για Διδακτορικό στο Cornell, με την διεκπεραίωση του οποίου εργάστηκε μερικά χρόνια στο ίδιο Πανεπιστήμιο.

Τώρα πήρε την δύσκολη απόφαση να επιστρέψει στα Πάτρια εδάφη, και δη στον τόπο καταγωγής του, την Λάρισα.

Αχιλλέα, καλώς ήλθες στον ιερό αλλά δοκιμασμένο τόπο μας. Επίσης, εννοείται, καλώς ήλθες στην Λέσχη μας. Τιμή μας να σε έχουμε μέλος.

Μιχάλης

[achilleas]

κ. Μιχάλη, ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια!!!

Τι να πω...

Θεωρώ πως κι εμένα είναι τιμή μου να είμαι εδώ,
ανάμεσα σε τόσους εκλεκτούς συναδέλφους που αποδεδειγμένα
αγαπούν τα μαθηματικά και προσφέρουν με όποιον τρόπο μπορούν.

Ευχαριστώ και πάλι!

Αχιλλέας

[vittasko]

Έστω τα σημεία και και

Από

Από

Από

Από για να είναι και επειδή ( Θεώρημα διχοτόμου ), αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει

Η όμως αληθεύει από Θεώρημα Ceva, για το σημείο στο εσωτερικό του δοσμένου τριγώνου

Άρα, συμπεραίνουμε ότι και το (a) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση. - Μπορούμε να αποφύγουμε την αναφορά στο θεώρημα Ceva και από την όπου έχουμε ότι να αποδείξουμε ότι το πρώτο μέλος αυτής της ισότητας ισούται με 1, εφαρμόζοντας μόνο το Θεώρημα διχοτόμου στα τρίγωνα

και λαμβάνοντας υπόψη ότι

( τα τρίγωνα έχουν και ίσα ύψη, λόγω διχοτόμου ).

Αφού έχει αποδειχθεί ότι ισχύει η μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι όπου είναι τα μέσα των αντιστοίχως.

Έστω τα σημεία προς το μέρος της ευθείας που δεν κείται το ώστε να είναι και

Από παραλληλόγραμμα έχουμε και άρα η ευθεία περνάει από το μέσον του και είναι

Επομένως, στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε

Από και προκύπτει ότι ως διχοτόμοι δύο ίσων γωνιών με παράλληλες και ομόροπες πλευρές.

Επειδή τώρα, τα σημεία είναι και μέσα των αντιστοίχως, συμπεραίνουμε ότι

Από και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[achilleas]

Επισυνάπτω και δύο pdf με σχήματα για την πρώτη λύση και για την πολύ όμορφη λύση του μέρους (β) από τον κ. Βήττα.

Αχιλλέας

[Μπάμπης Στεργίου]

Πολύ ωραία !

Τη λύση του Κώστα έκανα και γω χθες το πρωί στο σχολείο . Το β' μέρος είναι γνωστό συμπέρασμα :
Αν σε ένα τετράπλευρο δύο απένταντι πλευρές είναι ίσες, τότε η ευθεία που ενώνει τα μέσα των δύο άλλων πλευρών είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ευθείες των ίσων πλευρών.

Αυτό το λήμμα παρουσιάζεται πολύ συχνά και μάλιστα μερικές φορές συνδέεται και με το θεώρημα Newton για πλήρη τετράπλευρα.

Η άσκηση που έδωσα ξεκίνησε από το

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=300637

Νάστε όλοι καλά !

Μπάμπης

[achilleas]

Το (β) ας συγκριθεί και με το Θεώρημα 309 (σελ. 460) του βιβλίου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΗΣΟΥΙΤΩΝ (ΙΙ),
που αποδίδεται στον Catalan, Mathesis 1885.¨

Το ανακάλυξα μόλις τώρα τυχαία ξεφυλλίζοντας το άνω βιβλίο.

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Άλλη μία σύντομη λύση για το πρώτο ερώτημα με ισότητα εμβαδών:
(ΕΒΖ=(ΕΒΓ)=(ΕΓΗ), άρα ΒΖ=ΓΗ καθώς τα τρίγωνα έχουν ίσα ύψη.

Και μία γενίκευση:
ΑΣΚΗΣΗ
Αν το Ε είναι τυχαίο σημείο στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ και ΒΕ//ΓΖ, ΓΕ//ΒΗ με τα Ζ,Η στις ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα, τότε :
α)(ΕΖΒ)=ΕΓΗ)
β)Αν Λ είναι το κοινό σημείο των ΒΗ,ΓΖ και Σ το δεύτερο κοινό σημείο των περίκυκλων (Ο,R) , (Κ,ρ) των τριγώνων ΒΛΖ , ΓΗΛ αντίστοιχα,, τότε R/ρ=ΒΖ/ΓΗ και οι ΑΕ,ΑΣ είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της Α.
ΑΝΔΡΕΑΣ