Υπερδιπλάσια τεθλασμένη

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1954
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Υπερδιπλάσια τεθλασμένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μαρ 12, 2016 3:42 pm

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC με μικρότερη πλευρά την AB, θεωρούμε σημεία M και N στις πλευρές BC και AC αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το μήκος της τεθλασμένης AMNB δεν είναι μικρότερο από το διπλάσιο μήκος της πλευράς AB.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τετ Σεπ 28, 2016 10:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Λέξεις Κλειδιά:
juniors
γεωμετρία
τεθλασμένη
τριγωνική-ανισότητα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 6142
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:
Επικοινωνία S.E.Louridas

Re: Υπερδιπλάσια τεθλασμένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μαρ 13, 2016 12:20 pm

Θεωρούμε το σχήμα που ακολουθεί με AB \leqslant AC \leqslant BC \Rightarrow \angle C \leqslant \frac{\pi }{3}.
Το τρίγωνο A'CB είναι συμμετρικό του τριγώνου ABC ως προς BC και το N' συμμετρικό του N ως προς BC. To τρίγωνο B'CA' είναι συμμετρικό του τριγώνου A’CB ως προς A’C. Έτσι παίρνουμε AM + MN + NB = AM + MN' + N'B' \geqslant AB', με 2AB = 2A'F=FB' \leqslant AB'. Θεωρούμε το σχήμα που ακολουθεί με AB \leqslant AC \leqslant BC \Rightarrow \angle C \leqslant \frac{\pi }{3}. Το τρίγωνο A'CB είναι συμμετρικό του τριγώνου ABC ως προς BC και το N' συμμετρικό του N ως προς BC. To τρίγωνο B'CA' είναι συμμετρικό του τριγώνου A’CB ως προς A’C. Έτσι παίρνουμε AM + MN + NB = AM + MN' + N'B' \geqslant AB', με 2AB = 2A'F \leqslant AB' αφού 2\angle BFA' = \pi - \left( {\pi - 2\angle A} \right) \Rightarrow \angle BFA' \geqslant \pi - 2\angle A\;\; (\angle A \geq \frac{\pi}{3}). Συνεπώς FB \leqslant BA' = AB \Rightarrow \angle FAB \leqslant \angle BFA, με \angle BAB' \leqslant \angle A, οπότε \angle FAB' \leqslant AFB'.

Χρησιμοποιήθηκε ότι \angle ACB'\, = 3\angle C\leq {\pi} και ότι \angle AA'B'\, < \pi.


(*) Ευχαριστώ τον συνάδελφο Παπαδόπουλο Σταύρο που μου επεσήμανε ένα τυπογραφικό λάθος όπου αντί σε ένα σημείο της λύσης να γραφεί (\angle A \geq \frac{\pi}{3}), που είναι το σωστό είχε γραφεί \angle A\leq \frac{\pi}{3}.
Συνημμένα
AAAAAA.png
AAAAAA.png (21.62 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης