Συναρτησιακή στο Ζ!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Συναρτησιακή στο Ζ!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Απρ 09, 2012 5:05 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f,g:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε g(0) = 0 και mf(m) + 2f(mn) + nf(n) = (m + n)g(m + n), \ \forall m,n \in\mathbb{Z}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Kostas_94
Δημοσιεύσεις: 34
Εγγραφή: Δευ Φεβ 28, 2011 7:19 pm
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Συναρτησιακή στο Ζ!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas_94 » Τρί Απρ 10, 2012 1:15 am

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f,g:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε g(0) = 0 και mf(m) + 2f(mn) + nf(n) = (m + n)g(m + n), \ \forall m,n \in\mathbb{Z}.
Για m,n=0 είναι f(0)=0. Για n=0 είναι mf(m)=mg(m), και επειδή f(0)=0=g(0) έχουμε f(m)=g(m).
Για n=1, mf(m)+2f(m)+f(1)=(m+1)f(m+1).
Θα δείξουμε οτι f(m)=f(1)m πρώτα για τους φυσικούς. Για m=1 προφανές. Έστω οτι ισχύει για κάποιο m\geq1. Τότε η τελευταία δίνει
f(1)m^2+2f(1)m+f(1)=(m+1)f(m+1)\Rightarrow f(m+1)=f(1)(m+1).
Τώρα για m=1, n=-1 προκύπτει -f(-1)=f(1). Οπότε για n=-1, είναι mf(m)+2f(-m)+f(1)=(m-1)f(m-1). Σ`αυτή για m θετικό, λόγω των προηγουμένων f(1)m^2+2f(-m)+f(1)=f(1)(m-1)^2\Rightarrow f(-m)=f(1)(-m). Τελικά g(n)=f(n)=cn


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες