Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

#1

Η συνάρτηση $f: [0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ είναι φραγμένη στο [0, 1]

και ισχύει

$\displaystyle{ f(x) f(y)\leq x^2f(\frac{y}{2}) + y^2f(\frac{x}{2}),}$ για κάθε x, y

.

Να δείξετε ότι $f(x)\leq x^2$ για κάθε

csar · #2

Αν και δε χρησιμοποιώ όλα τα δεδομένα (ένδειξη ότι έχω κάνει κάποια αβλεψία), το αναρτώ.

Για x=y=0

, παιρνουμε $f(0)\leq0$ δηλαδή f(0)=0

που ικανοποιεί την $f(x)\leq x^2$ .

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν

για τα οποία f(x)>x^2

και ας είναι a>0

το μικρότερο από αυτά. Τότε για x=y=a

παίρνουμε
$a^4 < f^2(a)\leq 2\left(\frac{a}{2}\right)^2f\left(\frac{a}{2}\right)$ .
Όμως $\frac{a}{2}<a$ άρα $f\left(\frac{a}{2}\right)\leq\left(\frac{a}{2}\right)^2$ .

Δηλαδή έχουμε τελικά
$a^4 <2\left(\frac{a}{2}\right)^2f\left(\frac{a}{2}\right)\leq2\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^4}{2}$ , που είναι άτοπο.

Χ

#3

csar έγραψε:... ένδειξη ότι έχω κάνει κάποια αβλεψία...

..... ας είναι το μικρότερο από αυτά...

Εδώ υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα αν τα

με

ήσαν (λέω τώρα) τα $c\in (1, \infty)$ τότε δεν υπάρχει "μικρότερο από αυτά". Κανένας αριθμός στο ανοικτό $(1, \infty)$ δεν είναι μικρότερος από τους υπόλοιπους.

Μ.

csar · #4

Μιχάλη, ευχαριστώ. Ήμουν σίγουρος ότι εκεί ήταν το λάθος.

Ανασκευάζω λοιπόν, ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν αριθμοί

τέτοιοι ώστε f(x)>x^2

και ας είναι

ένας από αυτούς. Θεωρώ την ακολουθία αριθμών (b_n)

με γενικό τύπο $b_n = \frac{a}{2^n}$ (και η οποία συγκλίνει στο 0) και την ακολουθία κάτω-φραγμάτων (B_n)

των $f(b_n) = f\left(\frac{a}{2^n}\right)$ . Για παράδειγμα για n=0

έχουμε $f(b_0) = f\left(\frac{a}{2^0}\right)>a^2$ άρα B_0=a^2

.

Τότε από τη σχέση που δίνεται και για κάθε n>0

έχουμε (θέτω $x=y=b_n=\frac{a}{2^n}$ )
$B_n^2 < f^2(b_n) = f^2\left(\frac{a}{2^n}\right) = 2\left(\frac{a}{2^n}\right)^2f\left(\frac{a}{2^{n+1}}\right) = 2b_n^2f(b_{n+1})$ συνεπώς $f(b_n) >\frac{B_n^2}{2b_n^2} = B_{n+1}.$
Δηλαδή,
$\displaystyle{B_{n+1} = \frac{B_n^2}{2b_n^2} = \frac{2^{2n-1}}{a^2} B_n^2.}$

Εύκολα δείχνει κανείς ότι η ακολουθία κάτω φραγμάτων (B_n)

είναι γνησίως αύξουσα και μη φραγμένη για $n\geq 2$ .

Ας είναι

ένα άνω φράγμα της

στο

και

ακέραιος, τέτοιος ώστε $\frac{a}{2^{n_0}}\leq 1$ . Αφού η (B_n)

είναι αύξουσα και μη φραγμένη, υπάρχει $m_0\geq n_0$ (άρα και $b_{m_0}=\frac{a}{2^{m_0}}\leq 1$ , τέτοιος, ώστε $B_{m_0}>M$ , που αντιφάσκει με την υπόθεση ότι η

είναι φραγμένη στο [0,1]

.

Χρήστος

#5

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=194834

#6

Ισχύει το ισχυρότερο συμπέρασμα:

$\displaystyle{ f(x)\leq\frac{x^{2}}{2} }$

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=40382

Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα (2)

Μέλη σε σύνδεση