H εξίσωση του Ολου

nonlinear · #1

Η παρακάτω προέκυψε απο την προσπάθεια να τα συνδυάσουμε όλα :

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

$\displaystyle{\left[ x \right] \cdot \left\{ x \right\} = x \cdot \left| x \right|}$

[]= ακέραιο μέρος
{}= κλασματικό μέρος
$\displaystyle{\left| {} \right|}$ = απόλυτη τιμή

#2

nonlinear έγραψε:Η παρακάτω προέκυψε απο την προσπάθεια να τα συνδυάσουμε όλα :

Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις της

$\displaystyle{\left[ x \right] \cdot \left\{ x \right\} = x \cdot \left| x \right|}$

[]= ακέραιο μέρος
{}= κλασματικό μέρος
$\displaystyle{\left| {} \right|}$ = απόλυτη τιμή

Αν $x \ge 0$ , τότε η εξίσωση γράφεται $[x]\{x\}=x^2 \Leftrightarrow [x]\{x\}=([x]+\{x\})^2$

$\Leftrightarrow [x]^2+[x]\{x\}+\{x\}^2=0$

Αν $\{x\}\neq 0$ , τότε η εξίσωση γράφεται t^2+t+1=0

, όπου $t=\frac {[x]}{\{x\}}$ , η οποία είναι αδύνατη.

Ομοίως καταλήγουμε σε αδύνατη εξίσωση αν υποθέσουμε ότι $[x]\neq 0$

Συνεπώς $[x]=\{x\}=0 \Rightarrow x=0$

Έστω τώρα x<0

, οπότε η εξίσωση γράφεται $[x]\{x\}=-x^2 \Leftrightarrow [x]\{x\}=-([x]+\{x\})^2$

$\Leftrightarrow [x]^2+3[x]\{x\}+\{x\}^2=0$ . Επειδή [x]<0

η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα w^2+3w+1=0

, όπου $w=\frac {\{x\}}{[x]}$

$w=\frac {-3+\sqrt{5}}{2} \vee w= \frac {-3-\sqrt{5}}{2}$

Επειδή |w|<1

δεκτή είναι η λύση $w=\frac {-3+\sqrt{5}}{2}$

Άρα $\{x\}=[x]\frac {-3+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow 0 \le [x]\frac {-3+\sqrt{5}}{2}<1$

$\Rightarrow \frac {2}{\sqrt{5}-3}<[x]<0 \Rightarrow [x]=-1 \vee [x]=-2 \vee [x]=-3$

Στην πρώτη περίπτωση $x=-1+\frac {3-\sqrt{5}}{2}$ . στη δεύτερη $x=-2+3-\sqrt{5}=1-\sqrt{5}$

και στην τρίτη έχουμε $\{x\}=\frac {3}{2}\cdot (3-\sqrt{5})>1$ , η οποία απορρίπτεται

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος σε πράξεις

H εξίσωση του Ολου

H εξίσωση του Ολου

Re: H εξίσωση του Ολου

Μέλη σε σύνδεση