Συναρτησιακή 364

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (x+y)f(y)+yf(f(x))=(2x+y)f(f(y))

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Η δοσμένη σχέση για x=0

δίνει:

$yf(y)+yf(f(0))=yf(f(0))\Rightarrow yf(y)=0$ για κάθε $y\epsilon R$

Άρα f(x)=0

για κάθε $x\epsilon R$ και εύκολα διαπιστώνουμε ότι επαληθεύει την δοσμένη σχέση.

Χμμμ... την υποτίμησα. Είναι αρκετά δύσκολη τελικά, όπως φαίνεται πιο κάτω!!!

tasosty · #3

Έστω

$\displaystyle{ \Rightarrow }f(f(a))=f(f(b))$

$\displaystyle{ \Rightarrow }yf(f(a))=yf(f(b))$

(1)

\displaystyle{\displaystyle{ \Rightarrow }

(2a+y)f(f(y))-(a+y)f(y)=(2b+y)f(f(y))-(b+y)f(y)

\displaystyle{ \Rightarrow }} (a-b)(2f(f(y))-f(y))=0

$\displaystyle{ \Rightarrow }$ a=b

ή

Aν $f(f(y))=f(y)/2, (1) \displaystyle{ \Rightarrow }$ \displaystyle{(x+y)f(y)+yf(x)/2=(2x+y)f(y)/2

\displaystyle{ \Rightarrow } y(f(y)+f(x))=0 για

x=y\displaystyle{ \ne }0

\displaystyle{ \Rightarrow }

\displaystyle{f(x) = 0}

\displaystyle{\forall x \in }}

{

}

και για $y\displaystyle{ \ne }0, x=0$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ \displaystyle{f(0)=0

\displaystyle{ \Rightarrow }

f(x)=0

\displaystyle{\forall x \in }}

Aν

$\displaystyle{ \Rightarrow }$ \displaystyle{f:1\displaystyle{ \to }1

x=y} $\displaystyle{ \ne }$ \displaystyle{0, (1)

\displaystyle{ \Rightarrow }

2xf(x)+xf(f(x))=3xf(f(x))

\displaystyle{ \Rightarrow }

f(f(x))=f(x),

f:1\displaystyle{ \to }1

\displaystyle{ \Rightarrow }

f(x)=x

\displaystyle{\forall x \in }}

{

}

\displaystyle{\displaystyle{ \ne }} x=0

$\displaystyle{ \Rightarrow }$ f(f(0))=0

\displaystyle{\displaystyle{ \ne }} y=0

$\displaystyle{ \Rightarrow }$ f(0)=0

$\displaystyle{ \Rightarrow }$ f(x)=x

$\displaystyle{\forall x \in }$

και οι 2 συναρτήσεις ικανοποιουν την αρκική σχέση

Συναρτησιακή 364

Συναρτησιακή 364

Re: Συναρτησιακή 364

Re: Συναρτησιακή 364

Μέλη σε σύνδεση