Ομοίως!

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+y)=f(y)+2x ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$

Παναγιώτης 1729 · #2

Διαφράφω την απάντησή μου.
Στην λύση ένα σημείο και μετά το μπέρδεψα καταλάθος με την άσκηση viewtopic.php?f=111&t=18916, καθώς ακολούθησα πολύ παρόμοια μεθοδολογία. Θα το διορθώσω αύριο.

#3

Όμορφη και αυτή η συναρτησιακή.
Αρχικά αν θέσουμε όπου

το

θα πάρουμε ότι
f(x)=f(-f(x))+2x

(*). Κατασκευαστικά από την τελευταία βγαίνει άμεσα ότι η f είναι 1-1.

Αν θέσουμε τώρα όπου

το μηδέν, παίρνουμε f(f(0)+y)=f(y)

και αφού f 1-1, θα είναι f(0)=0

.

Αν τώρα θέσουμε στην αρχική όπου

το μηδέν παίρνουμε f(x+f(x))=2x

(1).
Αν τώρα θέσουμε στην αρχική όπου

το $\frac{-f(y)}{2}$ , τότε πάλι λόγω του 1-1 παίρνουμε ότι
$-\frac{f(y)}{2}+f(-\frac{f(y)}{2})=-y$ . Συνθέτοντας με την f και χρησιμοποιώντας την (1) παίρνουμε

-f(y)=f(-y)

. Επομένως η (*) δίνει f(f(x))+f(x)=2x

(2). Συνεπώς η (1) για

το

δίνει

(3).

Τέλος θέτοντας στηνα αρχική για

το

και με τη βοήθεια των (2),(3) παίρνουμε
f(2x+y)=f(y)+f(2x)

επομένως η

ικανοποιεί την Cauchy στους ρητούς και άρα έχουμε ότι f(x)=cx

. Αντικαθιστώντας στην αρχική παίρνουμε τις συναρτήσεις f(x)=x

και

.

Μπορεί να τσεκάρει κάποιος αν είναι εντάξει ;

#4

smar έγραψε: Μπορεί να τσεκάρει κάποιος αν είναι εντάξει ;

Σωστή μου φαίνεται.

#5

Ας δούμε και το

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+y)=f(y)+2x ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#6

socrates έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2015 2:08 am
Ας δούμε και το

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Επαναφορά!

2nisic · #7

socrates έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 24, 2015 2:08 am
Ας δούμε και το

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

$\Rightarrow f(x+f(x)+y)+x+f(x)+y+z=f(y)+2x+x+f(x)+y+z$
$\Rightarrow f(f(x+f(x)+y)+x+f(x)+y+z)=f(f(y)+y+x+f(x)+2x+z)$
$\Rightarrow f(z)+2(x+f(x)+y)=f(x+f(x)+2x+z)+2y$
$\Rightarrow f(z)+2(x+f(x)+y)=f(2x+z)+2x+2y$
$\Rightarrow f(2x+z)=f(z)+2f(x)$ (1)

Για $z\rightarrow 2z$ στην τελευταία και αλλάζοντας της θέση των x,z

έχουμε:
$f(2z)+2f(x)=f(2x)+2f(z)\Rightarrow f(2x)-2f(x)=f(2z)-2f(z)=c$

Αντικαθιστωντας αυτή στην (1) και $x\rightarrow \frac{x}{2}$ έχουμε f(x+z)=f(x)+f(z)-c

που για

έχουμε $c=-c\Rightarrow c=0\Rightarrow f(x+z)=f(x)+f(z)$

Και επειδή $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ έχουμε f(x)=ax

αντικαθιστωντας στην αρχική έχουμε a=1

.

Ομοίως!

Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Re: Ομοίως!

Μέλη σε σύνδεση