Πολυώνυμο και βαθμός

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6817
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Πολυώνυμο και βαθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Αύγ 19, 2012 11:30 pm

Έστω το πολυώνυμο:
\displaystyle{P(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}}
του οποίου όλοι οι συντελεστές a_{i},i=0,1...n είναι είτε 1 είτε -1.
Αν r μία ρίζα του πολυωνύμου με \displaystyle{\left| r \right| > \frac{{15}}{8}} να βρείτε την
ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει ο n.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Αύγ 20, 2012 12:08 am

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε \displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) =  \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}. (*) Πρέπει επομένως (15/8)^n \geqslant 8 και άρα πρέπει n \geqslant 4 αφού αλλιώς (15/8)^n \leqslant (15/8)^3 < 2^3 = 8.

Από την άλλη για το πολυώνυμο f(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 έχουμε f(15/8) < 0 aφού (15/8)^4 > (16/8)^2(12/8)^2 = 9 > 8. Επειδή επιπλέον f(x) \to +\infty όταν x \to +\infty το f έχει μια ρίζα r με r > 15/8.

Άρα η ελάχιστη τιμή του n είναι το 4.

(*) Αυτό δεν είναι σωστό. Δείτε τις επόμενες αναρτήσεις.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 17, 2019 2:18 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Αύγ 20, 2012 12:08 am
Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε \displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) =  \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}. Πρέπει επομένως (15/8)^n \geqslant 8 και άρα πρέπει n \geqslant 4 αφού αλλιώς (15/8)^n \leqslant (15/8)^3 < 2^3 = 8.

Από την άλλη για το πολυώνυμο f(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 έχουμε f(15/8) < 0 aφού (15/8)^4 > (16/8)^2(12/8)^2 = 9 > 8. Επειδή επιπλέον f(x) \to +\infty όταν x \to +\infty το f έχει μια ρίζα r με r > 15/8.

Άρα η ελάχιστη τιμή του n είναι το 4.
Δημήτρη πώς προκύπτει η δεύτερη ισότητα στο παρακάτω

\displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) =  \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}.

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό;

Θα μπορούσε να το αντιμετωπισθεί και ως εξής:

Για n=2,3 δεν γίνεται γιατί για

r\geq \frac{15}{8}

είναι r^{2}> r+1,r^{3}>r^{2}+ r+1

Ετσι πάμε στο n=4 με το παράδειγμα που έδωσε ο Δημήτρης.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 18, 2019 1:23 pm

Σταύρο, όντως υπάρχει ένα θεματάκι. Διορθώνεται και ως εξής (ίσως κάτι παρόμοιο να είχα υπόψη και στην προσπάθεια μου να το συντομεύσω έκανα το λάθος).

Πρέπει \displaystyle  |r|^n \leqslant 1 + |r| + \cdots + |r|^{n-1} = \frac{|r|^n - 1}{|r| - 1} και αφού |r| > 1 πρέπει |r|^{n+1} - |r|^n \leqslant |r|^n - 1. Ισοδύναμα πρέπει |r|^n(|r|-2) \leqslant -1 οπότε πρέπει και |r| < 2. Όμως |r| - 2 \geqslant -\frac{1}{8} άρα πρέπει και 2^n > |r|^n \geqslant 8 που δίνει n \geqslant 4.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες