Πολυώνυμο και βαθμός

#1

Έστω το πολυώνυμο:
$\displaystyle{P(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}}$
του οποίου όλοι οι συντελεστές $a_{i},i=0,1...n$ είναι είτε

είτε

.
Αν

μία ρίζα του πολυωνύμου με $\displaystyle{\left| r \right| > \frac{{15}}{8}}$ να βρείτε την
ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει ο

.

#2

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε $\displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) = \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}$ . (*) Πρέπει επομένως $(15/8)^n \geqslant 8$ και άρα πρέπει $n \geqslant 4$ αφού αλλιώς $(15/8)^n \leqslant (15/8)^3 < 2^3 = 8$ .

Από την άλλη για το πολυώνυμο f(x) = x^4 - x^3 - x^2 - x - 1

έχουμε

aφού

. Επειδή επιπλέον $f(x) \to +\infty$ όταν $x \to +\infty$ το

έχει μια ρίζα

με

.

Άρα η ελάχιστη τιμή του

είναι το

.

(*) Αυτό δεν είναι σωστό. Δείτε τις επόμενες αναρτήσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: Δευ Αύγ 20, 2012 12:08 am Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε $\displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) = \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}$ . Πρέπει επομένως $(15/8)^n \geqslant 8$ και άρα πρέπει $n \geqslant 4$ αφού αλλιώς $(15/8)^n \leqslant (15/8)^3 < 2^3 = 8$ .

Από την άλλη για το πολυώνυμο έχουμε aφού . Επειδή επιπλέον $f(x) \to +\infty$ όταν $x \to +\infty$ το έχει μια ρίζα με .

Άρα η ελάχιστη τιμή του είναι το .

Δημήτρη πώς προκύπτει η δεύτερη ισότητα στο παρακάτω

$\displaystyle{0 = |P(r)| \geqslant |r|^n - (|r|^{n-1} + \cdots + 1) = \frac{8}{7} - \frac{1}{7}\left( \frac{15}{8}\right)^n}$ .

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό;

Θα μπορούσε να το αντιμετωπισθεί και ως εξής:

Για n=2,3

δεν γίνεται γιατί για

$r\geq \frac{15}{8}$

είναι $r^{2}> r+1,r^{3}>r^{2}+ r+1$

Ετσι πάμε στο n=4

με το παράδειγμα που έδωσε ο Δημήτρης.

#4

Σταύρο, όντως υπάρχει ένα θεματάκι. Διορθώνεται και ως εξής (ίσως κάτι παρόμοιο να είχα υπόψη και στην προσπάθεια μου να το συντομεύσω έκανα το λάθος).

Πρέπει $\displaystyle |r|^n \leqslant 1 + |r| + \cdots + |r|^{n-1} = \frac{|r|^n - 1}{|r| - 1}$ και αφού |r| > 1

πρέπει $|r|^{n+1} - |r|^n \leqslant |r|^n - 1$ . Ισοδύναμα πρέπει $|r|^n(|r|-2) \leqslant -1$ οπότε πρέπει και |r| < 2

. Όμως $|r| - 2 \geqslant -\frac{1}{8}$ άρα πρέπει και $2^n > |r|^n \geqslant 8$ που δίνει $n \geqslant 4$ .

Πολυώνυμο και βαθμός

Πολυώνυμο και βαθμός

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

Re: Πολυώνυμο και βαθμός

Μέλη σε σύνδεση