Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y) = xf(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Bern · #2

1. Για

και

παίρνουμε

.

2. Για y=0

έχουμε

. Απ' αυτή έπεται ότι η

είναι περιττή. Ακόμη έχουμε f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)

οπότε

για κάθε

.

3. Αν $y\in \mathbb R$ γράφουμε: (y+1)(f(y)+f(1))=(y+1)f(y+1)=f(y^2+2y+1)=yf(y)+f(2y)+f(1)

απ' όπου έπεται f(y)=yf(1)

.

#3

Το δίδυμο είναι μάλλον ευκολότερο...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y) = xf(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

nikoszan · #4

socrates έγραψε:Το δίδυμο είναι μάλλον ευκολότερο...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y) = xf(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Δημοσίευσηαπό nikoszan » Τετ. Δεκ. 03, 2014 12:54 am
... $f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right)$
... $f({x^2} + y) = xf(x) + f(y),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right):\left( 1 \right)$

Για κάθε ${x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$ ισχύει
$f({x^2} + y) = xf(x) + f(y)\mathop > \limits^{\left( {\chi ,f\left( x \right) > 0} \right)} f(y) \Rightarrow f({x^2} + y) > f(y):\left( a \right)$
Έστω ${x_1},{x_2} \in \left( {0, + \infty } \right)\,\,\mu \varepsilon \,\,{x_1} < {x_2}$ .Από την $\left( a \right)$ για $x = \sqrt {{x_2} - {x_1}} > 0,y = {x_1} > 0$ ,έχουμε ότι ισχύει
$f({\left( {\sqrt {{x_2} - {x_1}} } \right)^2} + {x_1}) > f({x_1}) \Rightarrow f({x_1}) < f\left( {{x_2}} \right)$ .Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0, + \infty } \right)$ .Έχουμε
$\bullet \left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{x = 1} f(y + 1) = f(y) + f\left( 1 \right),\forall y \in \left( {0, + \infty } \right):\left( 2 \right)$
$\bullet \left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {y: \to 2x + 1 + y} \right)} \left( {f({x^2} + 2x + 1 + y) = xf(x) + f(2x + 1 + y),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow$
$\Rightarrow \left( {f({{\left( {x + 1} \right)}^2} + y) = xf(x) + f(\left( {2x + y} \right) + 1),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \left( {\left( {x + 1} \right)f\left( {x + 1} \right) + f(y) = xf(x) + f\left( {2x + y} \right) + f\left( 1 \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \left( {\left( {x + 1} \right)\left( {f\left( x \right) + f\left( 1 \right)} \right) + f(y) = xf(x) + f\left( {2x + y} \right) + f\left( 1 \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow$ $\left( {f\left( {2x + y} \right) = f\left( x \right) + f(y) + xf\left( 1 \right),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right):\left( 3 \right)$
$\bullet \left( 3 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {y = 1} \right)} \left( {f\left( {2x + 1} \right) = f\left( x \right) + f(1) + xf\left( 1 \right),\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \left( {f\left( {2x} \right) + f\left( 1 \right) = f\left( x \right) + f(1) + xf\left( 1 \right),\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow$
$\Rightarrow \left( {f\left( {2x} \right) = f\left( x \right) + xf\left( 1 \right),\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)} \right):\left( 4 \right)$
$\bullet \left( 3 \right) \wedge \left( 4 \right) \Rightarrow \left( {f\left( {2x + y} \right) = f\left( {2x} \right) + f(y),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {x: \to \frac{x}{2}} \right)} \left( {f\left( {2\left( {\frac{x}{2}} \right) + y} \right) = f\left( {2\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right) + f(y),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow$
$\Rightarrow \left( {f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f(y),\forall x,y \in \left( {0, + \infty } \right)} \right)$
Άρα η $f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right)$ ικανοποιει την συναρτησιακή εξίσωση του CAUCHY και είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχει τύπο της μορφής $f\left( x \right) = ax,x > 0$ , όπου a θετική σταθερά (ικανοποιει την υπόθεση).
Ν.Ζ.

#5

socrates έγραψε:Το δίδυμο είναι μάλλον ευκολότερο...

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y) = xf(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Διαφορετικά:

Είναι f(1+y)=f(1)+f(y)

και

οπότε

Η αρχική γράφεται f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)

δηλαδή

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 26

Μέλη σε σύνδεση