Ανισότητα με γωνίες τριγώνου!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

matha: Γενικός Συντονιστής; Δημοσιεύσεις: 6428; Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ανισότητα με γωνίες τριγώνου!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Οκτ 17, 2013 7:23 pm

Καιρό έχουμε να δούμε τέτοια. Ορίστε λοιπόν μια κλασικότατη και απλή ανισότητα:

Σε τρίγωνο $\displaystyle{\rm ABC}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\rm \frac{\sin A}{\sin ^3B}+\frac{\sin B}{\sin ^3 C}+\frac{\sin C}{\sin ^3 A}\geq 4.}$

Μάγκος Θάνος

dimitris.ligonis: Δημοσιεύσεις: 103; Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 11:55 am

Re: Ανισότητα με γωνίες τριγώνου!

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris.ligonis » Πέμ Οκτ 17, 2013 10:43 pm

Χρησιμοποιώντας νόμο ημιτόνων:

$LHS=4R^2(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3})\overset{*}{\geq} \frac{4}{9}(a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}) \overset{AM-GM}{\geq} 4$

$(*):a^2+b^2+c^2 \leq 9R^2$

Δημήτρης

Απάντηση

2 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης