Τριγωνομετρική Ανισότητα!

#1

Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ ισχύει

$\displaystyle{\rm \frac{b}{\sin \Big(C+\frac{A}{3}\Big)}+\frac{c}{\sin \Big(B+\frac{A}{3}\Big)}>\frac{2}{3}\frac{a}{\sin \frac{A}{3}}.}$

Math Rider · #2

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά σε όλους!

Μια προσπάθεια:

: Τριγωνομετρική Ανισότητα.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{ ABC }$ και τις τριχοτόμους $\displaystyle{ AD }$ , $\displaystyle{ AE }$ της γωνίας $\displaystyle{ \angle A }$ .
Θέτουμε $\displaystyle{ BD = y }$ , $\displaystyle{ DE = x }$ και $\displaystyle{ EC = z }$ .
Από τον νομό των ημιτόνων στα τρίγωνα $\displaystyle{ ABD }$ και $\displaystyle{ ACE }$ παίρνουμε αντίστοιχα:

$\displaystyle{ y = \frac{{c \cdot \sin \frac{A}{3}}}{{\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)}} }$ (1) και $\displaystyle{ z = \frac{{b \cdot \sin \frac{A}{3}}}{{\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right)}} }$ (2).

Οπότε για να αποδείξουμε την ανισότητα $\displaystyle{ \frac{b}{{\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right)}} + \frac{c}{{\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)}} > \frac{2}{3}\frac{a}{{\sin \frac{A}{3}}} }$ ,
αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{ y + z > \frac{2}{3}a }$ , δηλαδή αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{ x + y + z > x + \frac{2}{3}a }$
και τελικά ότι $\displaystyle{ a > 3x }$ (3), (αφού $\displaystyle{ x + y + z = a }$ ).

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι $\displaystyle{ yz > x^2 }$ (4)

Από τον τύπο $\displaystyle{ bc = 2Rh_a }$ και τον νομό των ημιτόνων βρίσκουμε ότι
$\displaystyle{ a = h_a \frac{{\sin A}}{{\sin B\sin C}} }$ (5). Εφαρμόζοντας την (5) στο τρίγωνο $\displaystyle{ ADE }$ παίρνουμε $\displaystyle{ x = h_a \frac{{\sin \frac{A}{3}}}{{\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right)}} }$ (6)
(τα τρίγωνα $\displaystyle{ ABC }$ και $\displaystyle{ ADE }$ έχουν κοινό ύψος από την κορυφή $\displaystyle{ A }$ ).

Επομένως για να αποδείξουμε την (4) αρκεί να αποδείξουμε [βλ. (1), (2), (6)] ότι:

$\displaystyle{ \frac{{c \cdot \sin \frac{A}{3}}}{{\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)}} \cdot \frac{{b \cdot \sin \frac{A}{3}}}{{\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right)}} > h_a^2 \frac{{\sin ^2 \frac{A}{3}}}{{\sin ^2 \left( {B + \frac{A}{3}} \right)\sin ^2 \left( {C + \frac{A}{3}} \right)}} }$

γι’ αυτό αρκεί $\displaystyle{ bc\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right) > h_a^2 }$ ,

αρκεί $\displaystyle{ bc\sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right) > \frac{{b^2 c^2 }}{{4R^2 }} }$

αρκεί $\displaystyle{ \sin \left( {B + \frac{A}{3}} \right)\sin \left( {C + \frac{A}{3}} \right) > \sin B\sin C }$

αρκεί $\displaystyle{ \cos (B - C) - \cos \left( {B + C + \frac{{2A}}{3}} \right) > \cos (B - C) - \cos (B + C) }$

αρκεί $\displaystyle{ - \cos \left( {\pi - \frac{A}{3}} \right) > - \cos (\pi - {\rm A}) }$

αρκεί $\displaystyle{ \cos \frac{A}{3} > \cos A }$ που ισχύει. (η συνάρτηση $\displaystyle{ \cos x }$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{ (0,\pi ) }$ )

Από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε:
$\displaystyle{ \left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 \ge xyz \Rightarrow \left( {\frac{a}{3}} \right)^3 \ge xyz \Rightarrow a^3 \ge 27xyz = 27x(yz)\mathop > \limits^{(4)} 27x^3 }$ ,
δηλαδή $\displaystyle{ a^3 > 27x^3 }$ οπότε $\displaystyle{ a > 3x }$ .

Τριγωνομετρική Ανισότητα!

Τριγωνομετρική Ανισότητα!

Re: Τριγωνομετρική Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση