Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!

#1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ στο εσωτερικό του. Ας είναι $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{MBC, MCA,MAB,}$ αντίστοιχα. Ως συνήθως, ας είναι $\displaystyle{s,R,r}$ η ημιπερίμετρος, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\geq \frac{4\sqrt{3}+6}{R},}$ όταν $\displaystyle{M}$ είναι το περίκεντρο του $\displaystyle{ABC,}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\geq \frac{3}{r}+\frac{18}{s},}$ όταν $\displaystyle{M}$ είναι το βαρύκεντρο του $\displaystyle{ABC.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Κατασκευάστε και αποδείξτε μια αντίστοιχη ανισότητα για την περίπτωση κατά την οποία $\displaystyle{M}$ είναι το έγκεντρο του $\displaystyle{ABC.}$

Math Rider · #2

matha έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ στο εσωτερικό του. Ας είναι $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{MBC, MCA,MAB,}$ αντίστοιχα. Ως συνήθως, ας είναι $\displaystyle{s,R,r}$ η ημιπερίμετρος, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\geq \frac{4\sqrt{3}+6}{R},}$ όταν $\displaystyle{M}$ είναι το περίκεντρο του $\displaystyle{ABC,}$

Αφού το περίκεντρο $\displaystyle{ M }$ είναι εσωτερικό σημείο του τρίγωνου $\displaystyle{ ABC }$ , το τρίγωνο $\displaystyle{ ABC }$ είναι οξυγώνιο.

: Ανισότητες Με Κέντρα1.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Είναι $\displaystyle{ (MBC) = \frac{1}{2}R^2 \sin 2A = \frac{1}{2}r_1 (2R + a) \Rightarrow \frac{1}{{r_1 }} = \frac{{2R + a}}{{R^2 \sin 2A}} \Rightarrow \frac{1}{{r_1 }} = \frac{{2R + 2R\sin A}}{{R^2 \sin 2A}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{1}{{r_1 }} = \frac{2}{R} \cdot \frac{{1 + \sin A}}{{\sin 2A}} }$ . Ομοίως έχουμε: $\displaystyle{ \frac{1}{{r_2 }} = \frac{2}{R} \cdot \frac{{1 + \sin B}}{{\sin 2B}} }$ και $\displaystyle{ \frac{1}{{r_3 }} = \frac{2}{R} \cdot \frac{{1 + \sin C}}{{\sin 2C}} }$ .

Επομένως $\displaystyle{ \frac{1}{{r_1 }} + \frac{1}{{r_2 }} + \frac{1}{{r_3 }} = \frac{2}{R}\left( {\frac{{1 + \sin A}}{{\sin 2A}} + \frac{{1 + \sin B}}{{\sin 2B}} + \frac{{1 + \sin C}}{{\sin 2C}}} \right) }$ (1)

Επειδή η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \frac{{1 + \sin x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{2\cos x}} }$ , $\displaystyle{ x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) }$ είναι κυρτή

(άθροισμα δυο κυρτών / $\displaystyle{ f''(x) > 0 }$ , $\displaystyle{ \forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) }$ ) από την ανισότητα Jensen έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{{1 + \sin A}}{{\sin 2A}} + \frac{{1 + \sin B}}{{\sin 2B}} + \frac{{1 + \sin C}}{{\sin 2C}} \ge 3 \cdot \frac{{1 + \sin \frac{\pi }{3}}}{{\sin \frac{{2\pi }}{3}}} = 3 \cdot \frac{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 3 \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 + 3 }$ (2)

Η (1) λόγω της (2) δίνει: $\displaystyle{ \frac{1}{{r_1 }} + \frac{1}{{r_2 }} + \frac{1}{{r_3 }} \ge \frac{2}{R} \cdot (2\sqrt 3 + 3) = \frac{{4\sqrt 3 + 6}}{R} }$ .

matha έγραψε:Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ στο εσωτερικό του. Ας είναι $\displaystyle{r_1,r_2,r_3}$ οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\displaystyle{MBC, MCA,MAB,}$ αντίστοιχα. Ως συνήθως, ας είναι $\displaystyle{s,R,r}$ η ημιπερίμετρος, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\geq \frac{3}{r}+\frac{18}{s},}$ όταν $\displaystyle{M}$ είναι το βαρύκεντρο του $\displaystyle{ABC.}$

: Ανισότητες Με Κέντρα2.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Όταν το $\displaystyle{ M }$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ ABC }$ είναι:

$\displaystyle{ \frac{1}{3}(ABC) = (MBC) \Rightarrow \frac{1}{3}rs = \frac{1}{2}r_1 (\frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c + a) \Rightarrow 2rs = r_1 (2m_b + 2m_c + 3a) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{1}{{r_1 }} = \frac{{2m_b + 2m_c + 3a}}{{2rs}} }$ . Κυκλικά έχουμε: $\displaystyle{ \frac{1}{{r_2 }} = \frac{{2m_c + 2m_a + 3b}}{{2rs}} }$ , $\displaystyle{ \frac{1}{{r_3 }} = \frac{{2m_a + 2m_b + 3c}}{{2rs}} }$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει:

$\displaystyle{ \frac{1}{{r_1 }} + \frac{1}{{r_2 }} + \frac{1}{{r_3 }} = \frac{{4(m_a + m_b + m_c ) + 6s}}{{2rs}} = \frac{3}{r} + \frac{{2(m_a + m_b + m_c )}}{{rs}}\mathop \ge \limits^{(*)} \frac{3}{r} + \frac{{2 \cdot 9r}}{{rs}} = \frac{3}{r} + \frac{{18}}{s} }$ .

(*) Η ανισότητα $\displaystyle{ m_a + m_b + m_c \ge 9r }$ αποδεικνύεται π.χ. από τις ανισότητες

$\displaystyle{ m_a + m_b + m_c \ge \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{2R}} }$ και $\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \ge 18Rr }$ που τις έχουμε ξαναδεί αρκετές φόρες στο

.

Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!

Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!

Re: Ανισότητες με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων!

Μέλη σε σύνδεση